Matematică Clasa a V-a

9. Descompunerea numerelor compuse în produse de numere prime. Numărul divizorilor unui număr natural

Știi acel moment când nu mai știi dacă un număr are 4, 6 sau 12 divizori și îți iei câmpii numărând? Exact asta rezolvăm astăzi. Lecția aceasta te ghidează pas cu pas prin descompunerea numerelor compuse în produse de numere prime — adică scriem orice număr ca un produs de factori primi — și îți arătăm o formulă elegantă prin care afli instantaneu câți divizori are acel număr, fără să-i listezi pe toți. E una dintre cele mai utile tehnici din aritmetică, folosită la fracții, la c.m.m.d.c., la c.m.m.m.c. și la o grămadă de probleme de concurs. Odată ce înțelegi logica din spate, o să vezi că nu e magie — e un sistem clar și frumos.

Ce vei învăța în această lecție

Vei ști să descompui orice număr compus în produs de numere prime folosind împărțiri succesive.
Vei înțelege cum se scrie forma canonică a unui număr: $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$ .
Vei ști să aplici formula numărului de divizori: $d(n) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$ .
Vei putea rezolva exerciții în care se cere câți divizori are un număr dat sau se construiește un număr cu un anumit număr de divizori.

Exemplu rezolvat

Enunț

Descompune numărul $360$ în produs de numere prime, apoi determină câți divizori naturali are.

Rezolvare

Împărțiri succesive la factori primi, apoi aplicarea formulei:

360 = 2 \cdot 180 = 2 \cdot 2 \cdot 90 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45

45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5

360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1

d(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

Explicație

Împărțim repetat la cel mai mic factor prim posibil până ajungem la 1. Exponenții din forma canonică $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ sunt 3, 2 și 1. La fiecare adăugăm 1 și înmulțim rezultatele — obținem numărul total de divizori fără să-i enumerăm pe toți. Formula funcționează pentru orice număr natural mai mare decât 1.

Idei cheie de reținut

Orice număr compus se scrie unic ca produs de factori primi (teorema fundamentală a aritmeticii) — ordinea factorilor nu contează, forma canonică este unică.
Formula $d(n) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$ îți dă numărul total de divizori, inclusiv 1 și $n$ .
Dacă un număr are un număr impar de divizori, atunci este în mod obligatoriu un pătrat perfect — ține minte asta pentru probleme de concurs!

Întrebări frecvente

Cum știu la ce număr prim să mă opresc când împart?

Te oprești când câtul devine 1. Regula practică: nu trebuie să încerci factori mai mari decât rădăcina pătrată a numărului rămas — dacă niciunul dintre primii 2, 3, 5, 7, 11… nu divide numărul până la acea limită, înseamnă că numărul rămas este el însuși prim și îl scrii ca atare.

Am greșit exponentul la un factor prim — îmi strică tot rezultatul la numărul de divizori?

Din păcate, da — un exponent greșit schimbă produsul din formulă. Cea mai bună metodă de verificare: înmulțește la final toți factorii primi cu puterile lor și vezi dacă obții numărul original. $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$ ✓. Acest pas de control îți salvează puncte la test.

Formula numărului de divizori se aplică și pentru 1 sau pentru numere prime?

Numărul 1 are un singur divizor (pe el însuși) și nu are o descompunere în factori primi — e caz separat. Un număr prim $p$ se scrie $p^1$ , deci are $(1+1) = 2$ divizori: 1 și $p$ . Formula funcționează perfect pentru orice număr prim sau compus mai mare decât 1.

Înapoi la Matematică Clasa a V-a — toate lecțiile

Vrei acces la toate lecțiile?

Lecții video structurate pe capitole, cu exerciții, teste și jocuri

Abonează-te acum — 5 lei prima lună