Matematică Clasa a VII-a

10. Teorema bisectoarei. Teorema paralelelor neechidistante

Două teoreme, un singur fir roșu: cum împarte o dreaptă specială segmentele unui triunghi. Lecția aceasta te poartă prin teorema bisectoarei și teorema paralelelor neechidistante — exact instrumentele de care ai nevoie când dai de exerciții cu rapoarte de segmente și nu știi de unde să începi. Vei vedea cum bisectoarea unui unghi nu taie latura opusă la întâmplare, ci respectă un raport perfect legat de celelalte două laturi. Iar paralelele neechidistante îți arată ce se întâmplă când mai multe paralele taie două transversale în puncte inegale. Odată ce înțelegi logica din spatele lor, nu mai memorezi formule goale — le construiești singur(ă) din rațiune.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege enunțul teoremei bisectoarei și de ce raportul în care bisectoarea împarte latura opusă este egal cu raportul laturilor adiacente unghiului.
Vei ști să calculezi lungimi de segmente folosind teorema bisectoarei, inclusiv în probleme cu valori numerice concrete.
Vei înțelege cum formulează teorema paralelelor neechidistante relația dintre segmentele determinate pe două transversale de un fascicul de paralele.
Vei ști să aplici ambele teoreme în exerciții combinate, recunoscând care dintre ele se potrivește configurației geometrice din figură.

Exemplu rezolvat

Enunț

În triunghiul $ABC$ , bisectoarea unghiului $A$ intersectează latura $BC$ în punctul $D$ , astfel încât $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm și $BC = 10$ cm. Calculează lungimile $BD$ și $DC$ .

Rezolvare

Aplicăm teorema bisectoarei, apoi rezolvăm sistemul de proporții:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

BD = 2k, \quad DC = 3k, \quad \text{unde } k > 0

BD + DC = BC

\Rightarrow 2k + 3k = 10 \Rightarrow 5k = 10 \Rightarrow k = 2

BD = 4 \text{ cm}, \quad DC = 6 \text{ cm}

Explicație

Teorema bisectoarei spune că $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ — bisectoarea împarte latura opusă proporțional cu laturile care formează unghiul bisectat. Scriem $BD$ și $DC$ ca multipli ai aceluiași $k$ , folosim faptul că suma lor este $BC$ și aflăm $k$ . Simplu și elegant, fără nicio formulă suplimentară de memorat.

Idei cheie de reținut

Teorema bisectoarei: dacă $AD$ este bisectoarea unghiului $A$ din triunghiul $ABC$ , atunci $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ — raportul segmentelor de pe latura opusă egal cu raportul laturilor adiacente.
Teorema paralelelor neechidistante: dacă mai multe drepte paralele taie două transversale, segmentele corespunzătoare de pe cele două transversale sunt proporționale, chiar dacă paralelele nu sunt egal depărtate.
Când nu știi ce teoremă să aplici, uită-te la figură: bisectoare vizibilă → teorema bisectoarei; fascicul de paralele care taie două drepte → teorema paralelelor neechidistante.

Întrebări frecvente

Cum recunosc la test dacă trebuie să aplic teorema bisectoarei sau teorema paralelelor neechidistante?

Dacă problema menționează explicit bisectoarea unui unghi dintr-un triunghi și cere lungimi pe latura opusă — e teorema bisectoarei. Dacă vezi mai multe drepte paralele care taie alte două drepte și se cere un raport sau o lungime pe acele transversale — e teorema paralelelor neechidistante. Figura te ajută enorm: desenează-o întotdeauna înainte să scrii orice calcul.

De ce raportul

\frac{BD}{DC}

este egal tocmai cu

\frac{AB}{AC}

și nu cu altceva?

Teorema bisectoarei se demonstrează ducând o paralelă prin $C$ la bisectoarea $AD$ și folosind proprietăți ale unghiurilor și ale triunghiurilor asemănătoare. Rezultatul nu e o coincidență — e o consecință directă a faptului că bisectoarea împarte unghiul exact în două părți egale. Demonstrația completă o găsești explicată pas cu pas în lecția video.

Care este cea mai frecventă greșeală la aceste teoreme?

Mulți elevi confundă ordinea raportului: scriu $\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB}$ în loc de $\frac{AB}{AC}$ . Regula simplă: $BD$ e mai aproape de $B$ , deci sus stă latura din $B$ , adică $AB$ . Dacă ții minte această legătură vizuală — segment lângă $B$ corespunde laturii $AB$ — nu vei mai greși niciodată.

Înapoi la Matematică Clasa a VII-a — toate lecțiile

Vrei acces la toate lecțiile?

Lecții video structurate pe capitole, cu exerciții, teste și jocuri

Abonează-te acum — 5 lei prima lună