Școala Virtuală

Matematică Clasa a VII-a

11. Modulul unui număr real.

Știi acel moment când calculezi o distanță și îți dai seama că nu contează dacă mergi spre stânga sau spre dreapta — rezultatul e tot pozitiv? Exact asta captează modulul unui număr real: distanța față de zero pe axa numerelor, indiferent de semn. În lecția video de astăzi vei vedea cum funcționează această noțiune, cum se calculează pentru orice număr — pozitiv, negativ sau zero — și cum rezolvi ecuații și inecuații care conțin modul. E una dintre acele definiții simple la suprafață, dar cu surprize când începi să o aplici în exerciții mai complexe.

Ce vei învăța în această lecție

  • Vei înțelege definiția modulului unui număr real și ce reprezintă geometric pe axa numerelor.
  • Vei ști să calculezi modulul oricărui număr real, inclusiv al expresiilor algebrice.
  • Vei ști să rezolvi ecuații de tipul ∣x−a∣=b|x – a| = b urmând pașii corecți.
  • Vei înțelege de ce modulul nu poate fi niciodată negativ și cum folosești această proprietate în verificări.

Exemplu rezolvat

Enunț

Rezolvă ecuația ∣2x−6∣=4|2x – 6| = 4 și verifică soluțiile obținute.

Rezolvare

Descompunem ecuația în două cazuri, conform definiției modulului:

∣2x−6∣=4⇒2x−6=4sau2x−6=−4|2x – 6| = 4 \Rightarrow 2x – 6 = 4 \quad \text{sau} \quad 2x – 6 = -4
Cazul 1:2x−6=4⇒2x=10⇒x=5\textbf{Cazul 1:} \quad 2x – 6 = 4 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5
Cazul 2:2x−6=−4⇒2x=2⇒x=1\textbf{Cazul 2:} \quad 2x – 6 = -4 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1
Verificare:∣2⋅5−6∣=∣4∣=\textbf{Verificare:} \quad |2 \cdot 5 – 6| = |4| =
4✓și∣2⋅1−6∣=∣−4∣=4✓4 \checkmark \quad \text{și} \quad |2 \cdot 1 – 6| = |-4| = 4 \checkmark

Explicație

Cheia este că ∣A∣=b|A| = b cu b≥0b \geq 0 înseamnă că expresia din interior poate fi ori +b+b, ori −b-b — deci mereu două cazuri. Rezolvi fiecare ecuație simplă separat și verifici ambele soluții la final. Dacă b<0b < 0, ecuația n-are soluții, pentru că modulul nu produce niciodată valori negative.

Idei cheie de reținut

  • ∣x∣≥0|x| \geq 0 pentru orice număr real xx — modulul nu este niciodată negativ.
  • Dacă x≥0x \geq 0, atunci ∣x∣=x|x| = x; dacă x<0x < 0, atunci ∣x∣=−x|x| = -x (adică opusul lui, care iese pozitiv).
  • La ecuații cu modul, desparte întotdeauna în două cazuri și verifică soluțiile la final.

Întrebări frecvente

De ce modulul lui −5-5 este 55 și nu −5-5?

Modulul măsoară distanța față de zero, iar distanța nu poate fi negativă. Când spui că −5-5 se află la 5 unități față de zero, nu îți pasă de direcție — contează doar cât de departe ești. Definiția spune: dacă numărul e negativ, îi schimbi semnul, și obții automat o valoare pozitivă.

Care este greșeala cea mai frecventă când rezolv ecuații cu modul?

Mulți elevi uită să scrie al doilea caz — cel cu valoarea negativă — și găsesc o singură soluție în loc de două. Altă capcană: dacă termenul liber din ecuație este negativ (ex: ∣2x+1∣=−3|2x+1| = -3), nu există nicio soluție, dar unii continuă să calculeze fără să verifice condiția b≥0b \geq 0.

Am văzut exerciții cu ∣x∣|x| la inecuații — e același principiu?

Da, logica e aceeași, dar regulile de descompunere diferă ușor. La ∣x∣<b|x| < b obții un interval: −b<x<b-b < x < b. La ∣x∣>b|x| > b obții reuniunea a două intervale: x<−bx < -b sau x>bx > b. Veți aprofunda inecuațiile cu modul în lecțiile următoare — acum e important să stăpânești bine ecuațiile.

Înapoi la Matematică Clasa a VII-a — toate lecțiile

Vrei acces la toate lecțiile?

Lecții video structurate pe capitole, cu exerciții, teste și jocuri

Abonează-te acum — 5 lei prima lună