Matematică Clasa a VII-a

17. Introducerea factorilor sub radical.

Știi cum uneori ai un radical care arată complicat, dar de fapt poți să-l simplifici scoțând factori afară? Ei bine, acum facem exact invers: introducerea factorilor sub radical — adică ducem numere sau expresii din fața radicalului înăuntru, ca să putem compara, ordona sau simplifica radicali mai ușor. Lecția aceasta îți arată pas cu pas când și cum faci asta, ce condiții trebuie respectate și de ce această tehnică îți salvează calculele atunci când compari radicali cu coeficienți diferiți. Dacă te-ai blocat vreodată la exerciții de tipul „aranjați în ordine crescătoare” cu radicali, tocmai ai găsit cheia.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege regula de bază: cum un factor pozitiv $a$ din fața unui radical intră sub radical devenind $a^2$ .
Vei ști să introduci factori întregi și fracționari sub semnul radicalului fără să schimbi valoarea expresiei.
Vei ști să compari doi radicali cu coeficienți diferiți folosind introducerea sub radical ca instrument.
Vei înțelege de ce tehnica funcționează doar pentru valori nenegative și ce se întâmplă dacă ignori această condiție.

Exemplu rezolvat

Enunț

Compară cele două expresii $3\sqrt{5}$ și $2\sqrt{11}$ introducând factorii sub radical, apoi precizează care dintre ele este mai mare.

Rezolvare

Fiecare pas separat:

3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}

2\sqrt{11} = \sqrt{2^2 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44}

45 > 44

\Rightarrow 3\sqrt{5} > 2\sqrt{11}

Explicație

Regula spune că $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ , atunci când $a \geq 0$ . Odată ce ambii radicali au același indice și nicio expresie în față, îi comparăm direct după ce se află sub radical — adică simplu: 45 față de 44. Niciun calculator nu mai e necesar, doar o ridicare la pătrat și o comparație de numere întregi.

Idei cheie de reținut

Formula de bază este $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ , valabilă pentru $a \geq 0$ și $b \geq 0$ .
Introducerea factorilor sub radical este cel mai rapid mod de a compara radicali cu coeficienți diferiți — aduci totul la aceeași formă, apoi compari numerele de sub radical.
Nu uita că factorul care intră se ridică la puterea a doua — greșeala clasică este să introduci $a$ în loc de $a^2$ .

Întrebări frecvente

De ce introduc factorul la pătrat și nu direct numărul?

Radicalul „anulează” pătratul: $\sqrt{a^2} = a$ . Dacă ai $3\sqrt{5}$ și vrei să muți 3 înăuntru, trebuie să-l scrii ca $\sqrt{9}$ , pentru că $\sqrt{9} = 3$ . Dacă ai băga pur și simplu 3, ai obține $\sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{15}$ , ceea ce este altceva. Pătratul este „prețul” pe care îl plătești ca să intri sub radical.

Merge tehnica asta și cu radicali de indice 3 (radicali cubici)?

Da, logica e aceeași, dar factorul se ridică la puterea a treia: $a \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3 \cdot b}$ . La clasa a 5-a–8-a lucrezi aproape exclusiv cu radicali de ordinul 2, deci nu te stresa cu asta acum — dar e bine să știi că regula se extinde frumos.

Ce greșeală fac cel mai des elevii la test la acest tip de exercițiu?

Greșeala numărul unu: introduc factorul fără să-l ridice la pătrat. Scriu $3\sqrt{5} = \sqrt{3 \cdot 5}$ în loc de $\sqrt{9 \cdot 5}$ . A doua greșeală frecventă: uită că regula cere ca factorul să fie pozitiv — dacă $a < 0$ , apare o problemă de semn pe care trebuie s-o tratezi separat. Verifică întotdeauna condiția $a \geq 0$ înainte să aplici formula.

Înapoi la Matematică Clasa a VII-a — toate lecțiile

Vrei acces la toate lecțiile?

Lecții video structurate pe capitole, cu exerciții, teste și jocuri

Abonează-te acum — 5 lei prima lună