Matematică Clasa a VII-a

29. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea x² = a, a număr real.

Știi acel moment când dai de un exercițiu cu x² și nu știi dacă să aduni, să scazi sau să faci ceva cu totul altceva? Exact asta rezolvăm azi! Lecția aceasta te ghidează pas cu pas prin rezolvarea ecuației de gradul al doilea x² = a, unde a poate fi orice număr real — pozitiv, negativ sau chiar zero. Vei vedea că secretul e unul singur: rădăcina pătrată. Dar atenție, e o regulă de aur pe care mulți o uită și care face diferența între răspuns corect și greșit la test. Urmărește lecția video cu stiloul în mână — exemplele sunt gândite să îți rămână în cap, nu să le înveți pe de rost.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege de ce ecuația $x^2 = a$ poate avea două soluții, una sau nicio soluție reală, în funcție de semnul lui a.
Vei ști să aplici corect proprietatea rădăcinii pătrate și să nu uiți soluția negativă.
Vei exersa recunoașterea rapidă a cazurilor: $a > 0$ , $a = 0$ și $a < 0$ .
Vei putea rezolva exerciții de tip ecuație pătratăincomplectă fără coeficient la x și fără termen liber amestecat.

Exemplu rezolvat

Enunț

Rezolvă ecuația $x^2 = 12$ în mulțimea numerelor reale și verifică soluțiile obținute.

Rezolvare

Fiecare pas urmează direct din cel anterior:

x^2 = 12

x = \pm\sqrt{12}

x = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm 2\sqrt{3}

x_1 = 2\sqrt{3}, \quad x_2 = -2\sqrt{3}

Explicație

Deoarece $a = 12 > 0$ , ecuația are exact două soluții reale, una pozitivă și una negativă — ambele la fel de valide! Scriem $\pm\sqrt{12}$ , apoi simplificăm rădăcina descompunând 12 ca $4 \cdot 3$ . Greșeala clasică e să uiți soluția negativă: $-2\sqrt{3}$ satisface și ea ecuația, pentru că $(-2\sqrt{3})^2 = 12$ .

Idei cheie de reținut

Dacă $a > 0$ : ecuația $x^2 = a$ are două soluții reale, $x = \sqrt{a}$ și $x = -\sqrt{a}$ — nu o uita niciodată pe cea negativă!
Dacă $a = 0$ : singura soluție este $x = 0$ , deoarece $\sqrt{0} = 0$ .
Dacă $a < 0$ : ecuația nu are soluții reale, pentru că niciun număr real ridicat la pătrat nu dă un rezultat negativ.

Întrebări frecvente

De ce apar două soluții? Nu e de ajuns una?

Gândește-te așa: atât $3$ cât și $-3$ , ridicate la pătrat, dau $9$ . Deci ambele sunt răspunsuri corecte pentru $x^2 = 9$ . La test, dacă scrii doar soluția pozitivă, pierzi jumătate din punctaj. Regula $\pm$ există tocmai ca să nu uiți că pătratul „șterge” semnul.

Cum știu rapid dacă o ecuație de forma x² = a are sau nu soluții reale?

Uită-te doar la numărul din dreapta semnului egal. Dacă e pozitiv — două soluții. Dacă e zero — o soluție ( $x=0$ ). Dacă e negativ — nicio soluție reală. Nu trebuie să calculezi nimic înainte de a lua această decizie; e suficient semnul lui $a$ .

Ce greșeală fac cei mai mulți elevi la acest tip de ecuație?

Cea mai frecventă greșeală este să scrie doar $x = \sqrt{a}$ și să uite complet de $x = -\sqrt{a}$ . A doua greșeală des întâlnită: nu simplifică rădăcina până la capăt — de exemplu, lasă $\sqrt{12}$ în loc de $2\sqrt{3}$ . Ambele îți costă puncte, dar se corectează ușor cu puțină atenție.

Înapoi la Matematică Clasa a VII-a — toate lecțiile

Vrei acces la toate lecțiile?

Lecții video structurate pe capitole, cu exerciții, teste și jocuri

Abonează-te acum — 5 lei prima lună