Matematică Clasa a VIII-a

27. Ecuația de gradul al doilea. Rezolvarea cu Delta. Descompunerea în factori cu ajutorul rădăcinilor.

Dacă ai ajuns la ecuația de gradul al doilea și simți că e un munte de urcat, vestea bună e că există o formulă care face tot greul pentru tine — delta. Lecția aceasta îți arată pas cu pas cum să calculezi discriminantul $\Delta = b^2 – 4ac$ , cum să găsești rădăcinile $x_1$ și $x_2$ și, mai departe, cum să folosești acele rădăcini pentru a descompune trinomul în factori. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu delta nu e magie — e un algoritm clar pe care, odată ce l-ai înțeles, îl aplici fără să te pierzi. Vei vedea că semnul lui $\Delta$ îți spune dintr-o privire câte soluții are ecuația, iar descompunerea în factori cu ajutorul rădăcinilor devine o unealtă extrem de utilă la simplificări și la exercițiile mai avansate.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce este discriminantul $\Delta$ și ce îți spune semnul lui despre numărul de soluții ale ecuației.
Vei ști să aplici formula rădăcinilor $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ corect, pas cu pas.
Vei înțelege cum se leagă rădăcinile $x_1, x_2$ de coeficienții ecuației prin relațiile lui Viète.
Vei ști să descompui un trinom de gradul al doilea în factori de forma $a(x – x_1)(x – x_2)$ .

Exemplu rezolvat

Enunț

Rezolvă ecuația $2x^2 – 5x + 3 = 0$ și descompune trinomul $2x^2 – 5x + 3$ în factori cu ajutorul rădăcinilor.

Rezolvare

Fiecare pas separat:

a = 2,\quad b = -5,\quad c = 3

\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 – 24 = 1

x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 1}{4} =

\frac{6}{4} = \frac{3}{2}

x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 – 1}{4} = \frac{4}{4} = 1

2x^2 – 5x + 3 = 2\!\left(x – \frac{3}{2}\right)(x – 1)

Explicație

Primul pas e mereu să identifici $a$ , $b$ , $c$ și să calculezi $\Delta$ . Fiindcă $\Delta = 1 > 0$ , ecuația are două rădăcini reale distincte. La descompunere, factorul $a = 2$ rămâne în față — mulți elevi uită de el și greșesc exact acolo. Verificarea e simplă: înmulțești factorii și trebuie să obții trinomul inițial.

Idei cheie de reținut

Dacă $\Delta < 0$ , ecuația nu are soluții reale — nu forța calculul cu radical dintr-un număr negativ.
La descompunerea în factori, coeficientul $a$ din fața lui $x^2$ nu dispare — se scoate obligatoriu în față: $a(x-x_1)(x-x_2)$ .
Relațiile lui Viète, $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ și $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ , sunt cel mai rapid mod de a verifica dacă rădăcinile tale sunt corecte.

Întrebări frecvente

Ce fac dacă îmi iese ? E greșit?

Nu e greșit deloc — înseamnă că ecuația are o singură rădăcină reală, numită rădăcină dublă: $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$ . La descompunere vei scrie $a(x – x_1)^2$ . E un caz special, dar perfect valid și apare des la probleme de concurs sau la evaluare națională.

De ce trebuie să știu să descompun în factori? Nu e suficient să găsesc rădăcinile?

La exercițiile simple, poate da. Dar când lucrezi cu fracții algebrice și trebuie să simplifici un numărător sau un numitor, descompunerea în factori e singura cale. Fără ea, rămâi blocat. E una dintre cele mai folosite tehnici în matematica din clasele 8–12, deci merită investit timp acum.

Care e cea mai frecventă greșeală la calculul cu delta?

De departe: greșeli de semn când $b$ este negativ. Dacă $b = -5$ , atunci $-b = 5$ și $b^2 = 25$ — nu $-25$ . Scrie întotdeauna $b$ cu tot cu semn între paranteze înainte să ridici la pătrat: $(-5)^2$ . Această precauție îți salvează jumătate din greșelile de calcul.

Înapoi la Matematică Clasa a VIII-a — toate lecțiile

Vrei acces la toate lecțiile?

Lecții video structurate pe capitole, cu exerciții, teste și jocuri

Abonează-te acum — 5 lei prima lună