Matematică Clasa a VIII-a

4. Arii și volum trunchi de piramidă regulată.

Trunchiul de piramidă regulată sună complicat, dar după această lecție o să realizezi că e doar o piramidă „cu vârful tăiat” — și că formulele se construiesc logic, pas cu pas. Lecția video îți arată cum să calculezi aria laterală, aria totală și volumul unui trunchi de piramidă regulată, cu toate detaliile pe care manualul le sare prea repede: apotema trunchiului, cele două baze și relația dintre ele. Dacă ai de pregătit un test sau ai rămas blocat la un exercițiu cu un trunchi de piramidă, exact aici găsești explicația clară de care ai nevoie. Exemplele sunt alese să semene cu ce apare la lucrări, nu cu exerciții artificiale din cărți vechi.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce este trunchiul de piramidă regulată și cum se obține din piramida completă.
Vei ști să calculezi aria laterală folosind apotema trunchiului și perimetrele celor două baze.
Vei ști să determini aria totală adăugând corect cele două baze poligonale.
Vei înțelege formula volumului trunchiului și cum o aplici când cunoști înălțimea și ariile bazelor.

Exemplu rezolvat

Enunț

Un trunchi de piramidă regulată cu baza pătrată are latura bazei mari $a = 6$ cm, latura bazei mici $a’ = 3$ cm și apotema trunchiului $a_t = 5$ cm. Înălțimea trunchiului este $h = 4$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul trunchiului.

Rezolvare

Calculăm pe rând aria laterală, ariile bazelor, aria totală și volumul:

A_L = \frac{(P + P’) \cdot a_t}{2} = \frac{(4

\cdot 6 + 4 \cdot 3) \cdot 5}{2}

A_L = \frac{(24 + 12) \cdot 5}{2} = \frac{36 \cdot 5}{2} =

\frac{180}{2} = 90 \text{ cm}^2

A_b = 6^2 = 36 \text{ cm}^2, \quad A_{b’} = 3^2 = 9 \text{ cm}^2

A_{totala} = A_L + A_b + A_{b’} = 90 + 36 + 9 = 135 \text{ cm}^2

V = \frac{h}{3}(A_b + A_{b’} + \sqrt{A_b

\cdot A_{b’}}) = \frac{4}{3}(36 + 9 + \sqrt{36 \cdot 9})

V = \frac{4}{3}(36 + 9 + 18) = \frac{4}{3} \cdot 63 = 84 \text{ cm}^3

Explicație

Aria laterală se calculează cu suma perimetrelor bazelor înmulțită cu apotema trunchiului $a_t$ , totul împărțit la 2 — gândește-te că fețele laterale sunt trapeze. Volumul are acel termen special $\sqrt{A_b \cdot A_{b’}}$ care „leagă” cele două baze; fără el, formula ar fi greșită. Identifică întâi corect $A_b$ și $A_{b’}$ înainte să înlocuiești.

Idei cheie de reținut

Aria laterală a trunchiului se calculează ca $A_L = \frac{(P + P’) \cdot a_t}{2}$ , unde $P$ și $P’$ sunt perimetrele celor două baze, iar $a_t$ este apotema trunchiului — nu apotema piramidei întregi.
Volumul trunchiului de piramidă regulată conține obligatoriu termenul $\sqrt{A_b \cdot A_{b’}}$ ; dacă îl uiți, rezultatul va fi greșit chiar dacă restul calculelor e corect.
Aria totală = aria laterală + aria bazei mari + aria bazei mici; nu uita niciodată să adaugi ambele baze.

Întrebări frecvente

Care este cel mai frecvent greșit la trunchiul de piramidă?

Cel mai des, elevii confundă apotema trunchiului cu apotema piramidei complete sau cu înălțimea trunchiului. Sunt trei mărimi diferite! Apotema trunchiului $a_t$ este înălțimea feței trapezoidale laterale. Dacă nu ți se dă direct în problemă, trebuie calculată cu Pitagora din triunghiul dreptunghic format cu înălțimea și diferența apotomelor bazelor.

De unde vine termenul din formula volumului?

Provine din demonstrația matematică a formulei, care implică integrare sau descompunerea trunchiului în piramide. Nu trebuie să știi demonstrația la clasa a 7-a, dar trebuie să reții că acel termen există și nu poate fi ignorat. Gândește-l ca pe o „medie geometrică” între cele două baze — fără el, formula e incompletă.

Ce fac dacă nu îmi este dată apotema trunchiului la un exercițiu de test?

O calculezi tu! Construiești un triunghi dreptunghic cu catete: înălțimea trunchiului $h$ și diferența dintre apotomele bazelor $\frac{a_p – a_p’}{2}$ . Ipotenuza acestui triunghi este exact apotema trunchiului $a_t$ . Aplici Teorema lui Pitagora: $a_t = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a_p – a_p’}{2}\right)^2}$ .

Înapoi la Matematică Clasa a VIII-a — toate lecțiile

Vrei acces la toate lecțiile?

Lecții video structurate pe capitole, cu exerciții, teste și jocuri

Abonează-te acum — 5 lei prima lună