Matematică Clasa a VIII-a

56. Teorema celor trei perpendiculare.

Teorema celor trei perpendiculare este unul dintre cele mai elegante rezultate din geometria spațiului — și, totodată, unul dintre cele mai utile când trebuie să găsești unghiuri sau distanțe în figuri tridimensionale. Lecția video de față îți arată pas cu pas cum funcționează această teoremă, când anume o poți aplica și, mai ales, cum să o recunoști în enunțurile de la teză sau examen. Dacă te-ai lovit vreodată de o problemă cu o piramidă sau un con și nu știai de unde să începi construcția perpendicularei, răspunsul e exact aici. Urmărind demonstrațiile din lecție, vei vedea că geometria în spațiu nu e mai grea decât cea plană — doar că are un nivel în plus de adâncime, la propriu.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege enunțul teoremei celor trei perpendiculare și ce condiții trebuie îndeplinite pentru a o aplica.
Vei ști să identifici proiecția unui segment pe un plan și să construiești corect perpendiculara din teoremă.
Vei înțelege reciproca teoremei și cum o folosești pentru a demonstra că două drepte sunt perpendiculare.
Vei ști să rezolvi probleme cu piramide și prisme în care trebuie să calculezi unghiuri diedre sau distanțe de la un punct la un plan.

Exemplu rezolvat

Enunț

Fie piramida regulată $VABC$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$ cu latura $a = 6$ cm și înălțimea $VG = h = 4$ cm, unde $G$ este centrul bazei. Fie $M$ mijlocul laturii $BC$ . Demonstrează că $VM \perp BC$ și calculează măsura unghiului $\angle VMG$ .

Rezolvare

Fiecare pas separat:

AM \perp BC \text{ (mediană = înălțime în triunghi echilateral, deci } AM \perp BC \text{)}

VG \perp \text{plan } ABC \Rightarrow VG \perp BC

BC \perp AM \text{ și } BC \perp VG,\ AM \cap VG = G

\Rightarrow BC \perp \text{plan } VAM

\Rightarrow BC \perp VM \text{ (teorema celor trei perpendiculare)}

GM = \frac{a}{2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}

\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}… \text{ Pentru } a=

6\text{ cm: } GM = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ cm}

\tan(\angle VMG) = \frac{VG}{GM} = \frac{4}{\sqrt{3}} =

\frac{4\sqrt{3}}{3}

\angle VMG = \arctan\!\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) \approx 66{,}6°

Explicație

Cheia problemei este să observi că $BC$ este perpendiculară pe două drepte concurente din planul $VAM$ — anume $AM$ (din proprietatea triunghiului echilateral) și $VG$ (înălțimea piramidei). Din acest moment, teorema garantează că $BC \perp VM$ . Unghiul $\angle VMG$ se calculează apoi simplu, în triunghiul dreptunghic $VMG$ , folosind $\tan$ .

Idei cheie de reținut

Teorema se aplică atunci când o dreaptă este perpendiculară pe un plan și vrei să „transmiți” perpendicularitatea spre o dreaptă oblică din acel plan.
Proiecția ortogonală a segmentului pe plan este elementul-cheie: dacă proiecția este perpendiculară pe o dreaptă din plan, atunci și segmentul original este perpendicular pe acea dreaptă.
Reciproca este la fel de importantă: dacă $VA \perp d$ și $AA’ \perp \alpha$ (cu $A’ \in \alpha$ ), atunci proiecția $A’…$ este tot perpendiculară pe $d$ — folosești asta pentru a demonstra perpendicularități în plan.

Întrebări frecvente

Cum știu când să aplic teorema celor trei perpendiculare și nu altceva?

Simplu: cauți o dreaptă $d$ care pare perpendiculară pe o dreaptă oblică $VA$ , dar nu poți demonstra direct. Dacă găsești că $d$ este perpendiculară pe proiecția lui $VA$ în plan și că există o perpendiculară pe plan prin punctul de proiecție, teorema se activează automat. Recunoașterea acestui „pattern” vine cu puțină practică pe figuri.

Care este cea mai frecventă greșeală la această teoremă?

Să uiți să verifici că dreapta este cu adevărat perpendiculară pe plan, nu doar pe o singură dreaptă din plan. O dreaptă perpendiculară pe plan trebuie să fie perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan care trece prin piciorul perpendicularei. Dacă ai demonstrat perpedicularitatea doar pe una sau două drepte neconcurente, nu e suficient.

Teorema asta apare la Evaluarea Națională?

Da, apare frecvent mascată în probleme cu piramide regulate sau prisme, unde se cere unghiul dintre o muchie laterală și planul bazei, sau distanța de la vârf la o față. Odată ce recunoști că trebuie să construiești o perpendiculară și să identifici proiecția ei, jumătate din problemă e deja rezolvată.

Înapoi la Matematică Clasa a VIII-a — toate lecțiile

Vrei acces la toate lecțiile?

Lecții video structurate pe capitole, cu exerciții, teste și jocuri

Abonează-te acum — 5 lei prima lună