Matematică Clasa a VI-a

2. Determinarea c.m.m.d.c. Numere prime între ele.

Calculezi cel mai mare divizor comun și te oprești după ce găsești numărul — dar ești sigur că ai ales metoda potrivită? Această lecție video îți arată pas cu pas cum funcționează determinarea c.m.m.d.c. folosind algoritmul împărțirilor succesive (algoritmul lui Euclid), plus un concept care apare des la teste și olimpiade: numerele prime între ele. Vei vedea cum să recunoști rapid dacă două sau mai multe numere au c.m.m.d.c. egal cu 1 — fără să factorizezi tot — și de ce asta contează atunci când simplifici fracții sau rezolvi probleme de împărțire în părți egale.

Ce vei învăța în această lecție

Vei ști să aplici algoritmul împărțirilor succesive pentru a determina c.m.m.d.c. a două numere naturale.
Vei înțelege ce înseamnă că două numere sunt prime între ele și cum verifici rapid această proprietate.
Vei ști să extinzi metoda pentru mai mult de două numere, calculând c.m.m.d.c. etapă cu etapă.
Vei înțelege legătura dintre c.m.m.d.c. și simplificarea fracțiilor la forma ireductibilă.

Exemplu rezolvat

Enunț

Determină $\text{c.m.m.d.c.}(252,\, 168)$ folosind algoritmul împărțirilor succesive, apoi precizează dacă numerele $252$ și $168$ sunt prime între ele.

Rezolvare

Fiecare pas reprezintă o împărțire cu rest, până când restul devine 0:

252 = 1 \cdot 168 + 84

168 = 2 \cdot 84 + 0

\text{c.m.m.d.c.}(252,\, 168) = 84

84 \neq 1 \Rightarrow 252 \text{ și } 168 \textbf{ nu } \text{sunt prime între ele}

Explicație

La fiecare pas, împărțim numărul mai mare la cel mai mic și reținem restul. Noul „cuplu” devine (divizor, rest), și repetăm până restul e $0$ . Ultimul divizor nenul — aici $84$ — este c.m.m.d.c.-ul. Deoarece $84 \neq 1$ , cele două numere nu sunt prime între ele; ele au în comun factorul $84$ .

Idei cheie de reținut

Algoritmul lui Euclid se bazează pe împărțiri cu rest repetate; se oprește când restul devine $0$ , iar c.m.m.d.c. este ultimul rest nenul.
Două numere sunt prime între ele dacă și numai dacă $\text{c.m.m.d.c.} = 1$ — nu trebuie să fie ele însele numere prime.
Dacă $\text{c.m.m.d.c.}(a, b) = d$ , atunci fracția $\frac{a}{b}$ se simplifică împărțind ambii termeni prin $d$ , obținând forma ireductibilă.

Întrebări frecvente

Care este cea mai frecventă greșeală la algoritmul lui Euclid?

Mulți elevi confundă câtul cu restul și trec câtul în pasul următor în loc de rest. Ține minte: la fiecare pas, noul număr mai mic este restul împărțirii anterioare, nu câtul. Dacă scrii împărțirea complet — $a = c \cdot b + r$ — și subliniezi $r$ , nu vei greși.

„Prime între ele” înseamnă că ambele numere trebuie să fie prime?

Nu, și asta e o capcană clasică! Numerele $8$ și $9$ sunt prime între ele — $\text{c.m.m.d.c.}(8, 9) = 1$ — deși niciunul nu e număr prim. Condiția este doar ca cel mai mare divizor comun să fie $1$ , adică să nu aibă niciun factor comun mai mare decât $1$ .

Cum calculez c.m.m.d.c. pentru trei numere, nu doar două?

Calculezi mai întâi $\text{c.m.m.d.c.}$ pentru primele două numere, apoi aplici din nou algoritmul între rezultatul obținut și al treilea număr. De exemplu, pentru $a, b, c$ : $\text{c.m.m.d.c.}(a, b, c) = \text{c.m.m.d.c.}\!\left(\text{c.m.m.d.c.}(a,b),\, c\right)$ . Pasul se repetă pentru oricâte numere ai.

Înapoi la Matematică Clasa a VI-a — toate lecțiile

Vrei acces la toate lecțiile?

Lecții video structurate pe capitole, cu exerciții, teste și jocuri

Abonează-te acum — 5 lei prima lună