Matematică Clasa a VIII-a

6. Funcția liniară f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Reprezentarea grafică a funcției, a și b ∈ ℝ.

Știi ce au în comun traiectoria unui avion pe hartă, prețul unui abonament lunar și graficul de consum al unui telefon? Toate pot fi descrise cu o funcție liniară de forma $f(x) = ax + b$ . În lecția video de astăzi ajungem la unul dintre cele mai frumoase și utile concepte din matematica gimnaziului: funcția liniară $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = ax + b$ , cu $a, b \in \mathbb{R}$ . Vei vedea cum doi coeficienți — atât de simpli la prima vedere — controlează complet cum arată o dreaptă pe grafic: unde o taie pe axa $Oy$ , cât de înclinată e și în ce direcție urcă sau coboară. Dacă până acum graficele ți se părea un mister, după această lecție vei putea trasa orice dreaptă cu ochii închiși.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce reprezintă coeficienții $a$ (panta) și $b$ (ordonata la origine) și cum îi identifici dintr-o expresie dată.
Vei ști să calculezi valorile funcției pentru diferite valori ale lui $x$ și să construiești un tabel de valori.
Vei ști să reprezinți grafic funcția liniară trasând dreapta prin (cel puțin) două puncte determinate corect.
Vei înțelege cum se schimbă graficul atunci când $a > 0$ , $a < 0$ sau $a = 0$ , și ce rol joacă $b$ în deplasarea dreptei.

Exemplu rezolvat

Enunț

Fie funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x – 3$ . Determină coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, apoi reprezintă grafic funcția.

Rezolvare

Intersecția cu Oy — înlocuim $x = 0$ :

f(0) = 2 \cdot 0 – 3 = -3 \Rightarrow A(0,\ -3)

Intersecția cu Ox — rezolvăm $f(x) = 0$ :

2x – 3 = 0

2x = 3

x = \frac{3}{2} \Rightarrow B\!\left(\frac{3}{2},\ 0\right)

Graficul este dreapta determinată de punctele $A$ și $B$ :

A\!\left(0,\ -3\right),\quad B\!\left(\tfrac{3}{2},\ 0\right) \xrightarrow{\text{unim}} \text{dreapta } f

Explicație

Ca să găsești unde dreapta taie axa $Oy$ , înlocuiești direct $x = 0$ — rezultatul este chiar $b = -3$ . Pentru axa $Ox$ , impui $f(x) = 0$ și rezolvi ecuația. Ai două puncte distincte? Perfect — două puncte determină unic o dreaptă. Fiindcă $a = 2 > 0$ , dreapta urcă de la stânga spre dreapta.

Idei cheie de reținut

Coeficientul $a$ se numește pantă: dacă $a > 0$ dreapta urcă, dacă $a < 0$ coboară, dacă $a = 0$ e orizontală.
Coeficientul $b$ îți spune imediat unde taie dreapta axa $Oy$ — este ordonata la origine, fără niciun calcul suplimentar.
Pentru a trasa graficul îți sunt suficiente două puncte; cel mai simplu le obții punând $x = 0$ și $f(x) = 0$ .

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă dacă ? Mai e tot funcție liniară?

Dacă $a = 0$ , obții $f(x) = b$ , adică o funcție constantă — graficul devine o dreaptă orizontală paralelă cu axa $Ox$ . Tehnic, unii autori o numesc „funcție liniară degenerată”, alții o tratează separat. La clasa ta e important să recunoști că panta zero înseamnă dreaptă orizontală și că funcția totuși există și e perfect definită.

Cum știu din grafic care e și care e , fără să mi se dea formula?

$b$ se citește direct: este ordonata punctului unde dreapta intersectează axa $Oy$ . Pentru $a$ , alegi două puncte clare de pe dreaptă și calculezi $a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$ . Acest raport se numește pantă și îți arată cu cât crește (sau scade) $f(x)$ când $x$ crește cu o unitate.

Care e cea mai frecventă greșeală la reprezentarea grafică a funcției liniare?

Să trasezi dreapta prin un singur punct — adică să o „rotești” după ureche. Mereu verifică cel puțin un al treilea punct: înlocuiește orice valoare a lui $x$ și confirmă că rezultatul se află pe dreapta deja trasată. Dacă nu se potrivește, ai o eroare de calcul undeva și e mai bine să o prinzi tu înainte de test.

Înapoi la Matematică Clasa a VIII-a — toate lecțiile

Vrei acces la toate lecțiile?

Lecții video structurate pe capitole, cu exerciții, teste și jocuri

Abonează-te acum — 5 lei prima lună