ÎNĂLȚIMEA ÎN TRIUNGHIUL ISOSCEL, definiție și formulă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 24 septembrie 2026

Într-un triunghi isoscel, înălțimea dusă din vârf pe bază este în același timp mediană și bisectoare, iar lungimea ei se află cu teorema lui Pitagora. Mai jos găsești definiția cu figură, formula și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Înălțimea în triunghiul isoscel: definiție, proprietate și formulă

Definiție. Înălțimea unui triunghi este segmentul dus dintr-un vârf, perpendicular pe dreapta laturii opuse. Orice triunghi are trei înălțimi, deci și triunghiul isoscel are trei: una din vârful $A$ și câte una din vârfurile bazei, $B$ și $C$ .

Pătrățelul arată

A D ⟂ B C

, cele două liniuțe arată

B D = D C

, iar arcele arată

∠ B A D \equiv ∠ D A C

Proprietatea importantă. Într-un triunghi isoscel cu $A B = A C$ , înălțimea $A D$ dusă din vârful $A$ pe baza $B C$ este în același timp mediană, bisectoare și este inclusă în mediatoarea bazei. De aici rezultă cele două lucruri pe care le folosești în aproape orice exercițiu:

$D$ este mijlocul bazei, deci $B D =$ $D C =$ $\frac{B C}{2}$ ;
$A D$ înjumătățește unghiul de la vârf: $m (∠ B A D) =$ $m (∠ D A C) =$ $\frac{m (∠ A)}{2}$ .

Formula lungimii. Înălțimea $A D$ împarte triunghiul isoscel în două triunghiuri dreptunghice congruente. În triunghiul $A B D$ , dreptunghic în $D$ , aplici teorema lui Pitagora și, notând cu $l$ latura laterală și cu $b$ baza, obții:

$h^{2} =$ $l^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2}$

Apoi afli $h$ căutând numărul pozitiv al cărui pătrat este rezultatul. Aceeași relație îți dă, la nevoie, latura sau baza:

$l^{2} =$ $h^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2}$

Înălțimile din vârfurile bazei. Ele nu au proprietățile de mai sus, dar sunt congruente între ele: $B E = C F$ . Vezi exercițiul 7.

Proprietățile complete ale figurii sunt explicate la triunghiul isoscel: definiție și proprietăți, iar formula suprafeței, la aria triunghiului isoscel.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Înălțimea este și medianăușor

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C$ și baza $B C = 22$ cm. Punctul $D$ este piciorul înălțimii duse din $A$ . Calculează $B D$ și $D C$ .

Rezolvare pas cu pas

$A D$ este înălțimea dusă din vârful $A$ pe bază, deci este și mediană.
Fiind mediană, $D$ este mijlocul bazei $B C$ .
$B D =$ $D C =$ $\frac{B C}{2} =$ $\frac{22}{2} =$ $11$ cm.

Răspuns: $B D = D C = 11$ cm

EXERCIȚIUL 2Înălțimea este și bisectoareușor

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C$ și $m (∠ A) =$ $64^{\circ}$ . Înălțimea din $A$ taie baza în $D$ . Calculează $m (∠ B A D)$ și $m (∠ B)$ .

Rezolvare pas cu pas

Înălțimea dusă din vârf pe bază este și bisectoarea unghiului $A$ .
$m (∠ B A D) =$ $\frac{64^{\circ}}{2} =$ $32^{\circ}$ .
În triunghiul $A B D$ , dreptunghic în $D$ , unghiurile ascuțite sunt complementare: $m (∠ B) =$ $90^{\circ} - 32^{\circ} =$ $58^{\circ}$ .
Verificare cu unghiurile de la bază: $m (∠ B) =$ $\frac{180^{\circ} - 64^{\circ}}{2} =$ $58^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ B A D) =$ $32^{\circ}$ , $m (∠ B) =$ $58^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Calculezi înălțimeamediu

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C = 15$ cm și baza $B C = 24$ cm. Calculează lungimea înălțimii $A D$ dusă din $A$ .

Rezolvare pas cu pas

$A D$ este și mediană, deci $B D =$ $\frac{B C}{2} =$ $\frac{24}{2} =$ $12$ cm.
Triunghiul $A B D$ este dreptunghic în $D$ , cu ipotenuza $A B$ .
Teorema lui Pitagora: $A D^{2} =$ $A B^{2} - B D^{2} =$ $15^{2} - 12^{2}$ .
$A D^{2} =$ $225 - 144 =$ $81$ , iar $81 = 9^{2}$ , deci $A D = 9$ cm.

Răspuns: $A D = 9$ cm

EXERCIȚIUL 4Afli laturile și perimetrulmediu

Triunghiul $M N P$ este isoscel, cu $M N = M P$ , baza $N P = 12$ cm și înălțimea $M Q = 8$ cm. Calculează $M N$ și perimetrul triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

$M Q$ este înălțimea dusă din vârf, deci $Q$ este mijlocul bazei: $N Q =$ $\frac{12}{2} =$ $6$ cm.
În triunghiul $M N Q$ , dreptunghic în $Q$ , aplicăm teorema lui Pitagora: $M N^{2} = M Q^{2} + N Q^{2}$ .
$M N^{2} =$ $8^{2} + 6^{2} =$ $64 + 36 =$ $100$ , iar $100 = 10^{2}$ , deci $M N = 10$ cm.
Latura $M P$ este egală cu $M N$ , deci perimetrul este $P =$ $10 + 10 + 12 =$ $32$ cm.

Răspuns: $M N = 10$ cm, $P = 32$ cm

EXERCIȚIUL 5Bază mare, laturi micimediu

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C = 15$ cm și baza $B C = 18$ cm. Calculează înălțimea dusă din $A$ .

Rezolvare pas cu pas

Piciorul înălțimii, $D$ , este mijlocul bazei: $B D =$ $\frac{18}{2} =$ $9$ cm.
În triunghiul $A B D$ , dreptunghic în $D$ : $A D^{2} =$ $A B^{2} - B D^{2} =$ $15^{2} - 9^{2}$ .
$A D^{2} =$ $225 - 81 =$ $144$ , iar $144 = 12^{2}$ , deci $A D = 12$ cm.
Observă că aici baza este mai mare decât laturile laterale. E în regulă, atâta timp cât e respectată inegalitatea triunghiului: $15 + 15 > 18$ .

Răspuns: $A D = 12$ cm

EXERCIȚIUL 6Când înălțimea cade în afara triunghiuluimediu

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C$ și $m (∠ A) =$ $120^{\circ}$ . Se duce înălțimea din $B$ , iar piciorul ei este punctul $E$ . Arată că $E$ se află pe prelungirea laturii $C A$ și calculează $m (∠ A B E)$ .

Segmentul punctat

E A

este prelungirea laturii

C A

, nu o latură a triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Unghiul $A$ este obtuz, deci perpendiculara dusă din $B$ pe dreapta $A C$ nu poate cădea între $A$ și $C$ : ea cade pe prelungirea laturii $C A$ , dincolo de $A$ .
Unghiurile $∠ B A C$ și $∠ B A E$ sunt suplementare, pentru că $E$ , $A$ și $C$ sunt coliniare.
$m (∠ B A E) =$ $180^{\circ} - 120^{\circ} =$ $60^{\circ}$ .
Triunghiul $A B E$ este dreptunghic în $E$ , deci $m (∠ A B E) =$ $90^{\circ} - 60^{\circ} =$ $30^{\circ}$ .

Răspuns: $E$ este pe prelungirea lui $C A$ , iar $m (∠ A B E) =$ $30^{\circ}$

EXERCIȚIUL 7Înălțimile din vârfurile bazeigreu

În triunghiul isoscel $A B C$ , cu $A B = A C$ , se duc înălțimea $B E$ (cu $E$ pe $A C$ ) și înălțimea $C F$ (cu $F$ pe $A B$ ). Arată că $B E = C F$ .

Nu am marcat

B E = C F

: exact asta trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

Comparăm triunghiurile dreptunghice $B E C$ și $C F B$ , dreptunghice în $E$ , respectiv în $F$ .
Latura $B C$ este ipotenuză în amândouă și este comună.
Unghiurile de la bază ale triunghiului isoscel sunt congruente: $∠ B C E \equiv ∠ C B F$ .
După cazul ipotenuză-unghi ascuțit, $△ B E C \equiv △ C F B$ .
Din congruența triunghiurilor rezultă că laturile care se corespund sunt egale, deci $B E = C F$ .

Răspuns: $B E = C F$ , pentru că $△ B E C \equiv △ C F B$

EXERCIȚIUL 8Înălțimea, din perimetru și bazăgreu

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C$ , are perimetrul de $64$ cm, iar baza $B C = 14$ cm. Calculează lungimea înălțimii $A D$ dusă din $A$ .

Pe figură apare doar baza

B C

; înălțimea

A D

este necunoscuta exercițiului.

Rezolvare pas cu pas

Din perimetru: $A B + A C + B C = 64$ , deci $A B + A C =$ $64 - 14 =$ $50$ cm.
Cum $A B = A C$ , rezultă $A B =$ $A C =$ $50 : 2 =$ $25$ cm.
$A D$ este și mediană, deci $B D =$ $\frac{B C}{2} =$ $\frac{14}{2} =$ $7$ cm.
Triunghiul $A B D$ este dreptunghic în $D$ , cu ipotenuza $A B$ : $A D^{2} =$ $A B^{2} - B D^{2} =$ $25^{2} - 7^{2}$ .
$A D^{2} =$ $625 - 49 =$ $576$ , iar $576 = 24^{2}$ , deci $A D = 24$ cm.

Răspuns: $A D = 24$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe înălțimea din triunghiul isoscel

Enunțul îți dă un triunghi isoscel și o perpendiculară dusă din vârf pe bază: folosește imediat că piciorul ei este mijlocul bazei și că împarte unghiul de la vârf în două.
Ai două dintre mărimile $l$ , $b$ și $h$ și o ceri pe a treia: lucrezi în triunghiul dreptunghic format de jumătate de bază, înălțime și latura laterală.
Unghiul de la vârf este obtuz: înălțimile duse din vârfurile bazei cad pe prelungirile laturilor, deci desenează figura înainte de a calcula.

Greșeli frecvente

Scazi baza întreagă, nu jumătatea ei. În triunghiul dreptunghic $A B D$ , cateta este $B D = \frac{b}{2}$ . La exercițiul 3 se scade $5^{2}$ , nu $10^{2}$ .
Crezi că orice înălțime este și mediană. Doar înălțimea dusă din vârful opus bazei are această proprietate. Înălțimea din $B$ nu este mediană și nici bisectoare.
Confunzi ipotenuza cu cateta. Latura laterală $A B$ este ipotenuza triunghiului $A B D$ , deci este mereu mai mare decât înălțimea $A D$ . Dacă îți iese $h > l$ , ai greșit semnul din teorema lui Pitagora.

Exersează

Fișă de lucru: Înălțimile unui triunghi, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu figuri Test: Linii importante în triunghi, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Înălțimile unui triunghiclasa a VI-a, partea a 2-a

Din același capitol

Întrebări frecvente

Câte înălțimi are un triunghi isoscel?

Trei, ca orice triunghi. Doar cea dusă din vârful opus bazei este în același timp mediană și bisectoare.

Înălțimea din vârf împarte triunghiul isoscel în două triunghiuri egale?

Da. Cele două triunghiuri dreptunghice formate sunt congruente, pentru că au aceeași înălțime, jumătăți egale din bază și laturile laterale congruente.

Poate înălțimea să cadă în afara triunghiului isoscel?

Da, dar numai cele duse din vârfurile bazei și numai când unghiul de la vârf este obtuz. Înălțimea din vârf cade mereu pe bază, între $B$ și $C$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 18 iunie 2026, actualizat 24 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

MEDIATOARELE LATURILOR UNUI TRIUNGHI și circumcentrul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

ÎNĂLȚIMILE UNUI TRIUNGHI: definiție și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

MEDIANA UNUI TRIUNGHI: definiție și centrul de greutate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

ARIA TRIUNGHIULUI ISOSCEL, formula și înălțimea pe bază - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 9: Proprietățile triunghiurilor

TRIUNGHIUL ISOSCEL, proprietăți și formule - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 9: Proprietățile triunghiurilor

TRIUNGHIUL ECHILATERAL, proprietăți și formule - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 9: Proprietățile triunghiurilor

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună