de Echipa Școala Virtuală18 iunie 2026

Înălțimea în triunghiul isoscel — definiție, formulă

Știi când ai un triunghi isoscel în față și nu ești sigur de unde „cade" înălțimea? Nu ești singurul. Asta e una dintre cele mai frecvente confuzii la geometrie — mulți elevi trag înălțimea la nimereală, dintr-un vârf oarecare, și apoi se întreabă de ce nu le iese calculul. Înălțimea în triunghiul isoscel are ceva special față de celelalte triunghiuri: atunci când o duci din vârful unghiului dintre laturile egale, face ceva elegant și foarte util — împarte triunghiul exact în jumătate. Practic, dintr-un triunghi isoscel obții două triunghiuri dreptunghice identice. Și tocmai asta îți simplifică enorm calculele. Hai să vedem de ce se întâmplă asta și cum o folosești concret.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este înălțimea în triunghiul isoscel și de ce e specială față de celelalte înălțimi
Vei ști să găsești înălțimea folosind teorema lui Pitagora, pas cu pas
Vei recunoaște greșelile frecvente care duc la calcule greșite
Vei rezolva singur exerciții de dificultate diferită, cu răspunsurile la vedere

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce înseamnă înălțimea în triunghiul isoscel

Să zicem că ai un triunghi isoscel — adică un triunghi cu două laturi egale. Îl numim $A B C$ , unde $A B = A C$ sunt laturile egale, și $B C$ este baza. Înălțimea despre care vorbim cel mai des este cea dusă din vârful $A$ perpendicular pe baza $B C$ . O notăm cu $h$ sau $A D$ , unde $D$ este piciorul înălțimii — adică punctul unde linia atinge baza. Acum vine partea frumoasă. Fiindcă triunghiul e isoscel, înălțimea din $A$ cade exact în mijlocul bazei $B C$ . Asta înseamnă că $D$ este mijlocul lui $B C$ , deci $B D = D C = \frac{B C}{2}$ . Practic, înălțimea este și mediană, și bisectoare în același timp. Trei în unu. Asta nu se întâmplă la orice triunghi — e privilegiul triunghiului isoscel.

💡 Regula de bază

În triunghiul isoscel $A B C$ cu $A B = A C$ , înălțimea dusă din $A$ pe baza $B C$ cade în mijlocul bazei. Dacă notezi piciorul înălțimii cu $D$ , atunci $B D = D C = \frac{B C}{2}$ . Înălțimea $h = A D$ se calculează cu teorema lui Pitagora din triunghiul dreptunghic $A B D$ : $h = \sqrt{A B^{2} - B D^{2}}$ .

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Triunghiul isoscel $A B C$ are laturile egale $A B = A C = 10$ cm și baza $B C = 12$ cm. Calculează înălțimea $A D$ corespunzătoare bazei $B C$ .

🔢 Rezolvare

B D = \frac{B C}{2} = \frac{12}{2} = 6 cm

A D^{2} = A B^{2} - B D^{2}

A D^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64

A D = \sqrt{64} = 8 cm

✅ Explicație

Primul lucru pe care îl faci e să împarți baza la 2 — pentru că înălțimea cade exact în mijloc. Obții astfel un triunghi dreptunghic cu ipotenuza 10 și o catetă 6. De acolo e Pitagora clasic: scazi pătratele și extragi radical. Simplu, odată ce știi trucul cu mijlocul bazei.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii folosesc toată baza în Pitagora, nu jumătatea ei. Adică scriu $A D^{2} = A B^{2} - B C^{2}$ cu $B C = 12$ , în loc de $B D = 6$ . Rezultatul iese complet greșit — și nu înțeleg de ce.

✅ Corect: Înălțimea împarte baza în două jumătăți egale. Mereu lucrezi cu $\frac{B C}{2}$ în formula lui Pitagora, nu cu $B C$ întreg. Asta e cheia întregului calcul.

❌ Greșeala #2: Se confundă care latură e ipotenuza în triunghiul dreptunghic format. Unii scriu $A B^{2} = A D^{2} - B D^{2}$ , adică tratează latura egală ca și cum ar fi o catetă mai mică decât înălțimea.

✅ Corect: Ipotenuza este mereu latura din triunghi — adică $A B$ . Înălțimea $A D$ și jumătatea bazei $B D$ sunt catetele. Formula corectă: $A B^{2} = A D^{2} + B D^{2}$ , deci $A D^{2} = A B^{2} - B D^{2}$ .

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Triunghiul isoscel $A B C$ are $A B = A C = 5$ cm și baza $B C = 6$ cm. Calculează înălțimea $A D$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

B D = \frac{B C}{2} = \frac{6}{2} = 3 cm

A D^{2} = A B^{2} - B D^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16

A D = \sqrt{16} = 4 cm

Împarți baza la 2 ca să afli BD, apoi aplici Pitagora în triunghiul dreptunghic ABD: scazi pătratul catetei BD din pătratul ipotenuzei AB și extragi radical.

Răspuns: $A D = 4 cm$

Exercițiul 2. Un triunghi isoscel are laturile egale de 13 cm și baza de 10 cm. Află înălțimea corespunzătoare bazei.

Vezi rezolvarea pas cu pas

B D = \frac{10}{2} = 5 cm

A D^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144

A D = \sqrt{144} = 12 cm

Același drum ca mai sus: jumătatea bazei devine o catetă, latura egală devine ipotenuza, iar înălțimea e cealaltă catetă.

Răspuns: $12 cm$

Exercițiul 3. Triunghiul isoscel $A B C$ are $A B = A C = 17$ cm și înălțimea $A D = 15$ cm. Calculează lungimea bazei $B C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

B D^{2} = A B^{2} - A D^{2} = 17^{2} - 15^{2} = 289 - 225 = 64

B D = \sqrt{64} = 8 cm

B C = 2 \cdot 8 = 16 cm

De data asta pornești invers: cunoști ipotenuza AB și cateta AD, așa că afli cealaltă catetă BD scăzând pătratele. Apoi dublezi, pentru că BD e doar jumătate din bază.

Răspuns: $B C = 16 cm$

Exercițiul 4. Un triunghi isoscel are baza $B C = 18$ cm și înălțimea corespunzătoare bazei $A D = 12$ cm. Calculează lungimea laturilor congruente $A B$ și $A C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

B D = \frac{18}{2} = 9 cm

A B^{2} = A D^{2} + B D^{2} = 12^{2} + 9^{2} = 144 + 81 = 225

A B = \sqrt{225} = 15 cm

De data asta pornești de la cele două catete ale triunghiului dreptunghic ABD, jumătatea bazei și înălțimea, și aduni pătratele lor ca să afli ipotenuza, care e chiar latura congruentă a triunghiului isoscel.

Răspuns: $A B = A C = 15 cm$

Exercițiul 5. Provocare: Într-un triunghi isoscel, raportul dintre latura congruentă și jumătatea bazei este 5:3, iar înălțimea corespunzătoare bazei este 20 cm. Calculează perimetrul triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm latura congruentă cu $5 k$ și jumătatea bazei cu $3 k$ , apoi aplicăm Pitagora în triunghiul dreptunghic format cu înălțimea:

25 k^{2} = 20^{2} + 9 k^{2}

16 k^{2} = 400

k^{2} = 25 \Rightarrow k = 5

A B = 5 \cdot 5 = 25 cm

B D = 3 \cdot 5 = 15 cm \Rightarrow B C = 30 cm

P = 2 \cdot 25 + 30 = 80 cm

Notezi latura congruentă și jumătatea bazei ca multipli ai lui k, respectând raportul din enunț. Rezolvi ecuația pentru k, apoi înlocuiești înapoi ca să afli toate lungimile. La final aduni cele trei laturi pentru perimetru.

Răspuns: $P = 80 cm$

Întrebări frecvente

De ce înălțimea din vârful A cade exact în mijlocul bazei BC?

Fiindcă triunghiul isoscel are o axă de simetrie care trece exact prin vârful $A$ și prin mijlocul lui $B C$ . Dacă „pliezi" triunghiul pe această axă, cele două jumătăți se suprapun perfect. Înălțimea e perpendiculară pe bază — și cade fix pe axa de simetrie, adică în mijlocul bazei. Asta nu e o coincidență, e o consecință directă a egalității laturilor.

Trebuie să știu neapărat teorema lui Pitagora ca să calculez înălțimea?

La clasele 7-8, da — Pitagora e metoda standard și cea mai rapidă. La clasa 5-6, dacă nu ai făcut încă Pitagora, poți primi valoarea înălțimii direct în enunț sau poți lucra cu formule de arie. Dar sincer, odată ce înveți Pitagora, înălțimea în triunghiul isoscel devine unul dintre cele mai simple exerciții de geometrie.

Ce fac dacă nu îmi iese un număr întreg sub radical?

Lași rezultatul sub formă de radical simplificat. De exemplu, dacă obții $\sqrt{48}$ , îl simplifici: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt{3}$ . Nu e nicio problemă dacă răspunsul nu e un număr întreg — matematica nu promite mereu numere „frumoase". Verifică totuși că nu ai greșit la împărțit baza la 2, că asta e sursa cel mai des a radicalilor ciudați.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Textul narativ ficțional explicat cu exemple, clasele 5-8

9 august 2026

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună