de Echipa Școala Virtuală8 august 2026

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

Q: Teorema lui Pitagora merge și la triunghiuri care nu sunt dreptunghice?

Nu. Teorema lui Pitagora funcționează doar la triunghiuri dreptunghice — adică cele cu un unghi de exact 90°. De fapt, poți folosi această relație și invers: dacă a2+b2=c2 e adevărat pentru trei laturi, atunci triunghiul e garantat dreptunghic. E exact ce am făcut în exercițiul 3.

Ai un triunghi dreptunghic în față și trei numere. Știi că două sunt catete și una e ipotenuza — dar care e care? Exact acolo se blochează aproape toată lumea la primul contact cu ipotenuza și catetele. Nu e pentru că ești mai lent decât alții. E pentru că nimeni nu ți-a explicat vizual ce înseamnă fiecare, înainte să arunce formula. Hai să schimbăm asta. O să îți arăt cum gândesc eu aceste lucruri — nu cum scrie în manual — și o să fie mult mai simplu decât te aștepți. Promis.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce sunt ipotenuza și catetele și cum le recunoști instantaneu
Vei ști să aplici teorema lui Pitagora ca să găsești orice latură lipsă
Vei recunoaște cele mai frecvente greșeli și vei ști cum să le eviți
Vei rezolva 5 exerciții pas cu pas, de la simplu la provocare reală

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce sunt ipotenuza și catetele — și cum le recunoști imediat

Uită-te la orice triunghi dreptunghic. Cel mai simplu mod să îl recunoști e unghiul drept — adică acel unghi de 90°, marcat de obicei cu un mic pătrat în colț. Bun. Acum ai trei laturi. Latura care stă față în față cu unghiul drept — adică cea opusă lui — se numește ipotenuza. E întotdeauna cea mai lungă dintre cele trei. Celelalte două laturi, care formează unghiul drept, se numesc catete. Practic, catetele sunt „pereții" unghiului drept, iar ipotenuza e „acoperișul" de deasupra lor. Gândește-te la un tobogan în parc: scările și podeaua formează un unghi drept — astea sunt catetele. Toboganu în sine, cel care coboară oblic, e ipotenuza.

💡 Regula de bază

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza e latura opusă unghiului drept și e mereu cea mai lungă. Catetele sunt celelalte două laturi. Teorema lui Pitagora leagă aceste trei laturi printr-o relație simplă: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , unde $c$ e ipotenuza, iar $a$ și $b$ sunt catetele.

Teorema lui Pitagora — cum gândești cu ea, nu doar cum o scrii

Okay, să zicem că ai un triunghi dreptunghic cu catetele de 3 cm și 4 cm. Vrei să știi cât e ipotenuza. Cum gândești? Îți zici: „Ipotenuza la pătrat e egală cu suma pătratelor catetelor." Adică $c^{2} = 3^{2} + 4^{2}$ . Asta înseamnă $c^{2} = 9 + 16 = 25$ . Și atunci $c = \sqrt{25} = 5$ . Gata. Cinci centimetri. De fapt, nu e o formulă magică — e o regulă despre cum se „adună" suprafețele pătratelor construite pe laturile unui triunghi dreptunghic. Nu trebuie să înțelegi demonstrația acum. Trebuie să înțelegi că formula merge în ambele sensuri: dacă știi ipotenuza și o catetă, poți găsi cealaltă catetă. Pur și simplu muți termenii.

💡 Regula de bază

Formula completă e $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Dacă vrei cateta $a$ , muți: $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ , deci $a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$ . Dacă vrei cateta $b$ , la fel: $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$ . O singură formulă, trei variante de folosire.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Un triunghi dreptunghic are catetele $a = 6$ cm și $b = 8$ cm. Calculează lungimea ipotenuzei $c$ .

🔢 Rezolvare

c^{2} = a^{2} + b^{2}

c^{2} = 6^{2} + 8^{2}

c^{2} = 36 + 64

c^{2} = 100

c = \sqrt{100} = 10 cm

✅ Explicație

Am aplicat teorema lui Pitagora direct: am ridicat fiecare catetă la pătrat, am adunat rezultatele și am extras radicalul. Numărul 100 are radical exact — 10 — deci răspunsul e curat. Asta e o triplă pitagoreică clasică: 6, 8, 10. O să o mai întâlnești des, merită reținută.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii adună catetele simplu, fără să le ridice la pătrat — adică scriu $c = a + b$ în loc de $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Pe exemplul de mai sus ar ieși $c = 6 + 8 = 14$ , ceea ce e complet greșit.

✅ Corect: Ridici întâi la pătrat, aduni, apoi extragi radicalul. Niciodată nu aduni laturile direct. Teorema lui Pitagora e despre pătrate, nu despre laturi brute.

❌ Greșeala #2: Când se caută o catetă (nu ipotenuza), mulți tot adună în loc să scadă — scriu $a^{2} = c^{2} + b^{2}$ în loc de $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ . Greșeala asta o fac și eu uneori dacă mă grăbesc.

✅ Corect: Când știi ipotenuza și cauți o catetă, scazi pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei. Adică $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ . Gândește-te că „dai înapoi" ce știai deja.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Un triunghi dreptunghic are catetele $a = 3$ cm și $b = 4$ cm. Cât este ipotenuza $c$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

c^{2} = a^{2} + b^{2}

c^{2} = 3^{2} + 4^{2}

c^{2} = 9 + 16

c^{2} = 25

c = \sqrt{25} = 5 cm

Asta e cea mai clasică triplă pitagoreică: 3, 4, 5. Dacă o memorezi, o recunoști instant în orice exercițiu.

Răspuns: $c = 5$ cm

Exercițiul 2. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza $c = 13$ cm și cateta $b = 5$ cm. Găsește cateta $a$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

a^{2} = c^{2} - b^{2}

a^{2} = 13^{2} - 5^{2}

a^{2} = 169 - 25

a^{2} = 144

a = \sqrt{144} = 12 cm

Când cauți o catetă, scazi — nu aduni. Am scăzut pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei și am obținut un număr cu radical exact.

Răspuns: $a = 12$ cm

Exercițiul 3. Verifică dacă un triunghi cu laturile $5$ cm, $12$ cm și $13$ cm este dreptunghic.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Verificăm dacă a^{2} + b^{2} = c^{2}

5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169

13^{2} = 169

169 = 169 ✓

Dacă suma pătratelor celor două laturi mai mici e egală cu pătratul celei mai mari, triunghiul e dreptunghic. Aici egalitatea se verifică, deci da — e dreptunghic.

Răspuns: Da, triunghiul este dreptunghic. Ipotenuza este latura de 13 cm.

Exercițiul 4. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele egale cu $a = b = 5$ cm. Calculează ipotenuza $c$ . Lasă răspunsul sub formă de radical simplificat.

Vezi rezolvarea pas cu pas

c^{2} = a^{2} + b^{2}

c^{2} = 5^{2} + 5^{2}

c^{2} = 25 + 25

c^{2} = 50

c = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \sqrt{2} cm

Radicalul din 50 nu e exact, dar se simplifică: 50 = 25 · 2, iar $\sqrt{25} = 5$ . Scoți 5 din radical și rămâi cu $5 \sqrt{2}$ . Asta e forma corectă și simplificată.

Răspuns: $c = 5 \sqrt{2}$ cm

Exercițiul 5. Provocare: Andrei vrea să prindă un banner diagonal pe un perete dreptunghic de 9 m lățime și 12 m înălțime. Cât de lung trebuie să fie bannerul ca să ajungă exact din colțul stânga-jos până în colțul dreapta-sus?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Lățimea și înălțimea sunt catetele: a = 9 m, b = 12 m

c^{2} = a^{2} + b^{2}

c^{2} = 9^{2} + 12^{2}

c^{2} = 81 + 144

c^{2} = 225

c = \sqrt{225} = 15 m

Diagonala peretelui dreptunghic e exact ipotenuza unui triunghi dreptunghic format de cele două dimensiuni ale peretelui. Ai recunoscut tripla 9, 12, 15 — care e de fapt 3, 4, 5 înmulțite cu 3.

Răspuns: Bannerul trebuie să aibă 15 m.

Întrebări frecvente

Cum știu care latură e ipotenuza, dacă nu e desenat unghiul drept?

Simplu: ipotenuza e mereu cea mai lungă dintre cele trei laturi. Dacă ai numerele și nu ai desen, compară-le. Cea mai mare e ipotenuza — opusă unghiului drept. Poți și verifica: dacă $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ e adevărat, ai găsit corect. Dacă nu, poate că triunghiul nu e dreptunghic deloc.

Ce fac dacă radicalul nu iese exact?

Încearcă să simplifici. Descompune numărul din radical în factori, caută un pătrat perfect în el — ca în exercițiul 4, unde $\sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ . Dacă tot nu se simplifică, lași răspunsul sub formă de radical. Nu e greșit. E chiar forma corectă în matematică.

Teorema lui Pitagora merge și la triunghiuri care nu sunt dreptunghice?

Nu. Teorema lui Pitagora funcționează doar la triunghiuri dreptunghice — adică cele cu un unghi de exact 90°. De fapt, poți folosi această relație și invers: dacă $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ e adevărat pentru trei laturi, atunci triunghiul e garantat dreptunghic. E exact ce am făcut în exercițiul 3.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Mijloacele de caracterizare a personajului, explicate simplu

7 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună