ÎNĂLȚIMILE UNUI TRIUNGHI: definiție și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

1. Aplici direct formula ariei: $𝒜=$ ${\displaystyle \frac{BC\cdot AD}{2}}$.
2. $𝒜=$ ${\displaystyle \frac{14\cdot 9}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{126}{2}}=$ $63$ cm².

Răspuns: $𝒜=63$ cm²

1. Din $𝒜=$ ${\displaystyle \frac{\text{bază}\cdot h}{2}}$ obții $h=$ ${\displaystyle \frac{2\cdot 𝒜}{\text{bază}}}$.
2. $h=$ ${\displaystyle \frac{2\cdot 40}{8}}=$ ${\displaystyle \frac{80}{8}}=$ $10$ cm.

Răspuns: $h=10$ cm

1. Unghiul din $A$ este drept, deci $AB⟂AC$. Asta înseamnă că segmentul $AB$ este chiar perpendiculara dusă din $B$ pe dreapta $AC$, deci $AB$ este exact înălțimea $h_b$.
2. La fel, $AC$ este perpendiculara dusă din $C$ pe dreapta $AB$, deci $AC$ este exact înălțimea $h_c$.
3. Nu ai nevoie de niciun calcul: cele două catete SUNT cele două înălțimi, prin însăși definiția perpendicularității.

Răspuns: $h_b=AB=6$ cm, $h_c=AC=8$ cm

1. Un unghi de ${115}^{\circ }$ este obtuz (mai mare de ${90}^{\circ }$), deci triunghiul $MNP$ este obtuzunghic.
2. Într-un triunghi obtuzunghic, două dintre înălțimi cad în exterior, iar ortocentrul se află tot în exteriorul triunghiului.

Răspuns: ortocentrul $H$ se află în exteriorul triunghiului $MNP$

1. $h_a=$ ${\displaystyle \frac{2\cdot 𝒜}{BC}}=$ ${\displaystyle \frac{2\cdot 84}{24}}=$ ${\displaystyle \frac{168}{24}}=$ $7$ cm.
2. $h_b=$ ${\displaystyle \frac{2\cdot 𝒜}{AC}}=$ ${\displaystyle \frac{2\cdot 84}{21}}=$ ${\displaystyle \frac{168}{21}}=$ $8$ cm.
3. Aria rămâne aceeași, $84$ cm², indiferent de perechea bază-înălțime folosită: doar bazele și înălțimile corespunzătoare lor se schimbă.

Răspuns: $h_a=7$ cm, $h_b=8$ cm

1. Aria în metri pătrați: $𝒜=$ ${\displaystyle \frac{40\cdot 25}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{1000}{2}}=$ $500$ m².
2. Transformi în ari: $500:100=5$ ari.

Răspuns: $𝒜=500$ m² $=5$ ari

1. Aria triunghiului, calculată cu catetele: $𝒜=$ ${\displaystyle \frac{AB\cdot AC}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{9\cdot 12}{2}}=$ $54$ cm².
2. Fiindcă unghiul din $A$ e drept, catetele sunt chiar celelalte două înălțimi: $h_b=AB=9$ cm (înălțimea pe $AC$) și $h_c=AC=12$ cm (înălțimea pe $AB$).
3. Înălțimea $h_a$ (pe ipotenuza $BC$) o afli din aceeași arie, dar cu baza $BC$: $h_a=$ ${\displaystyle \frac{2\cdot 𝒜}{BC}}=$ ${\displaystyle \frac{2\cdot 54}{15}}=$ ${\displaystyle \frac{108}{15}}=$ $\mathrm{7,2}$ cm.

Răspuns: $h_a=\mathrm{7,2}$ cm, $h_b=9$ cm, $h_c=12$ cm

1. Înălțimea corespunzătoare unei laturi este segmentul perpendicular dus din vârful opus pe acea latură.
2. Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt perpendiculare una pe cealaltă, prin însăși definiția unghiului drept dintre ele.
3. Asta înseamnă că fiecare catetă este deja perpendiculara dusă din vârful opus pe cealaltă catetă, deci fiecare catetă joacă rolul de înălțime pentru cealaltă.
4. Ipotenuza nu e perpendiculară pe nicio latură a triunghiului (unghiurile din capetele ei sunt ascuțite, nu drepte), deci înălțimea corespunzătoare ei trebuie construită separat, ca un segment nou, din vârful unghiului drept.

Răspuns: catetele sunt perpendiculare una pe alta prin definiție, deci fiecare e deja înălțimea celeilalte; ipotenuza nu are această proprietate, așa că înălțimea ei se construiește separat