de Echipa Școala Virtuală9 iunie 2026

Înălțimile unui triunghi — definiție, proprietăți

Toată lumea desenează înălțimea unui triunghi și o pune mereu în interiorul lui. Pare logic, nu? Triunghi, înălțime, o linie dreaptă care coboară de sus. Numai că asta e valabil doar uneori — și exact asta îi încurcă pe aproape toți când văd un triunghi obtuzunghic. Înălțimile unui triunghi nu cad mereu înăuntru. Uneori cad în afara triunghiului, pe prelungirea bazei. Și când vezi asta prima dată, e destul de greu de acceptat. Dar are sens perfect — și îți arăt imediat de ce. Odată ce înțelegi logica, o să-ți dai seama că nu e nimic de memorat forțat. E geometrie, nu magie.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este o înălțime a unui triunghi și de ce e definită exact așa
Vei ști să desenezi corect toate cele trei înălțimi — și în triunghiuri ascuțitunghice, și în cele obtuzunghice
Vei înțelege ce e ortocentrul și unde se află el în fiecare tip de triunghi
Vei ști să calculezi aria unui triunghi folosind înălțimea, fără să confunzi baza cu latura

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce înseamnă, de fapt, înălțimea unui triunghi

Hai să gândim împreună. Ai un triunghi și vrei să știi cât de „înalt” e — adică ce distanță e de la un vârf până la latura opusă lui. Asta e înălțimea. Practic, tragi o perpendiculară din vârf pe latura din față. Nu o linie oarecare, ci una care face unghi drept cu baza. De asta înălțimea și baza formează mereu un unghi de exact $90 °$ . Un triunghi are trei vârfuri, deci are și trei înălțimi — câte una pentru fiecare vârf. Fiecare înălțime pleacă dintr-un vârf și cade perpendicular pe latura opusă acelui vârf. Simplu de zis, dar trebuie puțin antrenament să le și desenezi corect pe toate trei.

💡 Regula de bază

Înălțimea unui triunghi este segmentul perpendicular dus dintr-un vârf pe dreapta ce conține latura opusă acelui vârf. Notăm înălțimile cu $h_{a}$ , $h_{b}$ , $h_{c}$ — indicele arată latura pe care cade perpendiculara, nu vârful din care pleacă. Orice triunghi are exact trei înălțimi.

Unde cad înălțimile — și de ce contează tipul triunghiului

Uite ce se întâmplă în funcție de tipul triunghiului. Într-un triunghi ascuțitunghic — adică cel cu toate unghiurile mai mici de $90 °$ — toate trei înălțimile cad în interiorul triunghiului. Asta e varianta pe care o știi din clasele mici. Dar când triunghiul are un unghi obtuz, adică mai mare de $90 °$ , două dintre înălțimi cad în afara triunghiului, pe prelungirile laturilor. Nu e o greșeală. Pur și simplu, perpendiculara din vârf nu mai ajunge pe latura propriu-zisă — ajunge pe prelungirea ei. Iar în triunghiul dreptunghic, două dintre înălțimi sunt chiar catetele. Nu mai trebuie să tragi nimic — ele sunt deja acolo, sunt chiar laturile care formează unghiul drept.

💡 Regula de bază

— Triunghi ascuțitunghic: toate înălțimile sunt în interiorul triunghiului.
— Triunghi dreptunghic: două înălțimi sunt chiar catetele; a treia cade din vârful unghiului drept pe ipotenuză.
— Triunghi obtuzunghic: două înălțimi cad în exterior, pe prelungirile laturilor.

Ortocentrul — punctul în care se întâlnesc toate trei

Hai să vedem ceva interesant. Dacă trasezi toate cele trei înălțimi ale unui triunghi, ele se întâlnesc într-un singur punct. Mereu. Nu e coincidență, e o proprietate demonstrată. Acel punct se numește ortocentru și îl notăm de obicei cu $H$ . Unde se află el? Depinde de triunghi. Într-un triunghi ascuțitunghic, ortocentrul e înăuntru. Într-un triunghi dreptunghic, e chiar în vârful unghiului drept — fix acolo. Iar într-un triunghi obtuzunghic, ortocentrul ajunge în afara triunghiului. Știu că sună ciudat. Dar dacă trasezi pe hârtie prelungirile înălțimilor, o să vezi că se întâlnesc tot într-un punct, doar că e dincolo de triunghi.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Un triunghi are baza $B C = 8 cm$ și înălțimea corespunzătoare $h_{a} = 5 cm$ . Calculează aria triunghiului. Apoi, știind că $A B = 10 cm$ , calculează înălțimea $h_{c}$ corespunzătoare laturii $A B$ .

🔢 Rezolvare

$𝒜 = \frac{B C \cdot h_{a}}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2}$
$𝒜 = \frac{40}{2} = 20 {cm}^{2}$
$𝒜 = \frac{A B \cdot h_{c}}{2} \Rightarrow 20 = \frac{10 \cdot h_{c}}{2}$
$h_{c} = \frac{20 \cdot 2}{10} = \frac{40}{10} = 4 cm$

✅ Explicație

Formula ariei e mereu aceeași: baza ori înălțimea corespunzătoare, împărțit la 2. Cheia e că orice latură poate fi bază — important e că înălțimea folosită să fie cea perpendiculară pe acea latură. Când cunoști aria și o latură, înălțimea corespunzătoare o găsești simplu: scoți $h$ din formulă, adică înmulțești aria cu 2 și împarți la bază.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confunzi înălțimea cu latura. Adică, în loc să iei segmentul perpendicular pe bază, iei direct lungimea laturii laterale și o bagi în formula ariei. Asta dă un rezultat greșit și e una dintre cele mai frecvente erori — am văzut-o de zeci de ori.

✅ Corect: Înălțimea e mereu perpendiculară pe bază. Latura nu e același lucru cu înălțimea decât în triunghi dreptunghic, și numai pentru catetele care formează unghiul drept. În orice alt caz, verifici: face unghi de $90 °$ cu baza? Dacă nu, nu e înălțimea.

❌ Greșeala #2: Crezi că înălțimea cade mereu în interiorul triunghiului și, când desenezi un triunghi obtuzunghic, forțezi perpendiculara să ajungă pe latură — chiar dacă nu iese drept. Rezultatul e un desen greșit și o confuzie și mai mare.

✅ Corect: La triunghiul obtuzunghic, prelungești latura în afara triunghiului și abia acolo cobori perpendiculara din vârf. Înălțimea e tot un segment perpendicular, dar piciorul ei e pe prelungirea laturii, nu pe latura în sine. E complet normal și corect geometric.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Un triunghi are baza $a = 6 cm$ și înălțimea corespunzătoare $h_{a} = 4 cm$ . Calculează aria.

Vezi rezolvarea pas cu pas

𝒜 = \frac{a \cdot h_{a}}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = \frac{24}{2} = 12 {cm}^{2}

Formula ariei triunghiului: baza înmulțită cu înălțimea corespunzătoare ei, totul împărțit la 2.

Răspuns: $12 {cm}^{2}$

Exercițiul 2. Aria unui triunghi este $30 {cm}^{2}$ și o latură măsoară $12 cm$ . Calculează înălțimea corespunzătoare acelei laturi.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pornim de la formula ariei și scoatem înălțimea:

𝒜 = \frac{a \cdot h}{2} \Rightarrow h = \frac{2 \cdot 𝒜}{a}

h = \frac{2 \cdot 30}{12} = \frac{60}{12} = 5 cm

Verificare: $12 \cdot 5$ : 2 = 30. Corect.

Răspuns: $5 cm$

Exercițiul 3. Un triunghi isoscel are baza $B C = 10 cm$ și aria $𝒜 = 35 {cm}^{2}$ . Calculează înălțimea $h_{a}$ dusă din vârful $A$ pe baza $B C$ , apoi precizează dacă ortocentrul e în interiorul sau exteriorul triunghiului, știind că toate unghiurile sunt ascuțite.

Vezi rezolvarea pas cu pas

h_{a} = \frac{2 \cdot 𝒜}{B C} = \frac{2 \cdot 35}{10} = \frac{70}{10} = 7 cm

Triunghiul are toate unghiurile ascuțite, deci e ascuțitunghic. Regula spune că într-un triunghi ascuțitunghic ortocentrul se află mereu în interior. Doar la triunghiul obtuzunghic ortocentrul iese în afară.

Răspuns: $h_{a} = 7 cm$ ; ortocentrul e în interiorul triunghiului.

Exercițiul 4. Un triunghi dreptunghic $A B C$ , dreptunghic în $A$ , are catetele $A B = 6 cm$ și $A C = 8 cm$ . Precizează care sunt cele două înălțimi egale cu catetele, apoi calculează înălțimea corespunzătoare ipotenuzei $B C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Mai întâi aflăm ipotenuza, cu teorema lui Pitagora:

B C = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 cm

Apoi calculăm aria, folosind catetele:

𝒜 = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24 {cm}^{2}

Acum scoatem înălțimea din formula ariei, folosind ipotenuza ca bază:

h_{a} = \frac{2 \cdot 𝒜}{B C} = \frac{2 \cdot 24}{10} = \frac{48}{10} = 4,8 cm

Unghiul din $A$ e deja de 90°, deci perpendiculara din $B$ pe $A C$ cade chiar în $A$ , deci are aceeași lungime ca $A B$ . La fel, perpendiculara din $C$ pe $A B$ cade tot în $A$ , cu lungimea $A C$ . Rămâne de calculat doar a treia înălțime, cea dusă din $A$ pe ipotenuză.

Răspuns: Înălțimile egale cu catetele sunt $6 cm$ și $8 cm$ ; înălțimea din $A$ pe ipotenuză este $h_{a} = 4,8 cm$ .

Exercițiul 5. Provocare: Într-un triunghi obtuzunghic $A B C$ , unghiul din $A$ este obtuz. Aria triunghiului este $60 {cm}^{2}$ , iar înălțimea $h_{a}$ (dusă din $A$ pe $B C$ ) este $8 cm$ . Calculează lungimea laturii $B C$ , apoi precizează dacă înălțimile duse din $B$ și din $C$ cad în interiorul sau exteriorul triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

B C = \frac{2 \cdot 𝒜}{h_{a}} = \frac{2 \cdot 60}{8} = \frac{120}{8} = 15 cm

Unghiul din $A$ e obtuz, iar $A$ este vârful din care pleacă înălțimea care cade chiar pe latura $B C$ , în interiorul triunghiului. Unghiurile din $B$ și din $C$ sunt neapărat ascuțite (un triunghi nu poate avea două unghiuri obtuze), iar înălțimile duse din aceste două vârfuri cad în exterior, pe prelungirile laturilor opuse.

Răspuns: $B C = 15 cm$ ; înălțimile din $B$ și din $C$ cad în exteriorul triunghiului.

Întrebări frecvente

Un triunghi chiar are trei înălțimi? Nu una singură?

Da, exact trei. Fiecare vârf are câte o înălțime care coboară perpendicular pe latura opusă. De obicei lucrăm cu una singură când calculăm aria, dar toate trei există și toate trei trec printr-un punct comun — ortocentrul. Nu e obligatoriu să le desenezi pe toate, dar e bine să știi că sunt acolo.

Cum știu ce înălțime să folosesc când calculez aria?

Poți folosi oricare pereche bază–înălțime corespunzătoare — rezultatul ariei e același indiferent de care alegi. Important e că înălțimea să fie perpendiculară pe baza cu care o pui în formulă. Dacă iei latura $A B$ ca bază, înălțimea trebuie să fie $h_{c}$ , perpendiculara din $C$ pe $A B$ . Nu amesteci perechile.

De ce la triunghiul dreptunghic catetele sunt înălțimi?

Gândește-te: cateta $A B$ e perpendiculară pe cateta $B C$ — formează exact $90 °$ . Asta e definiția înălțimii: segment perpendicular din vârf pe latura opusă. Deci $A B$ e chiar înălțimea față de baza $B C$ și invers. Natura triunghiului dreptunghic face ca două dintre înălțimi să fie deja construite — sunt chiar laturile lui.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 8. Înălțimile unui triunghi..

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Textul narativ ficțional explicat cu exemple, clasele 5-8

9 august 2026

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună