Înălțimile unui triunghi — definiție, proprietăți

Toată lumea desenează înălțimea unui triunghi și o pune mereu în interiorul lui. Pare logic, nu? Triunghi, înălțime, o linie dreaptă care coboară de sus. Numai că asta e valabil doar uneori — și exact asta îi încurcă pe aproape toți când văd un triunghi obtuzunghic. Înălțimile unui triunghi nu cad mereu înăuntru. Uneori cad în afara triunghiului, pe prelungirea bazei. Și când vezi asta prima dată, e destul de greu de acceptat. Dar are sens perfect — și îți arăt imediat de ce. Odată ce înțelegi logica, o să-ți dai seama că nu e nimic de memorat forțat. E geometrie, nu magie.

Ce înseamnă, de fapt, înălțimea unui triunghi

Hai să gândim împreună. Ai un triunghi și vrei să știi cât de „înalt” e — adică ce distanță e de la un vârf până la latura opusă lui. Asta e înălțimea. Practic, tragi o perpendiculară din vârf pe latura din față. Nu o linie oarecare, ci una care face unghi drept cu baza. De asta înălțimea și baza formează mereu un unghi de exact  $90°$ . Un triunghi are trei vârfuri, deci are și trei înălțimi — câte una pentru fiecare vârf. Fiecare înălțime pleacă dintr-un vârf și cade perpendicular pe latura opusă acelui vârf. Simplu de zis, dar trebuie puțin antrenament să le și desenezi corect pe toate trei.

Unde cad înălțimile — și de ce contează tipul triunghiului

Uite ce se întâmplă în funcție de tipul triunghiului. Într-un triunghi ascuțitunghic — adică cel cu toate unghiurile mai mici de  $90°$  — toate trei înălțimile cad în interiorul triunghiului. Asta e varianta pe care o știi din clasele mici. Dar când triunghiul are un unghi obtuz, adică mai mare de  $90°$ , două dintre înălțimi cad în afara triunghiului, pe prelungirile laturilor. Nu e o greșeală. Pur și simplu, perpendiculara din vârf nu mai ajunge pe latura propriu-zisă — ajunge pe prelungirea ei. Iar în triunghiul dreptunghic, două dintre înălțimi sunt chiar catetele. Nu mai trebuie să tragi nimic — ele sunt deja acolo, sunt chiar laturile care formează unghiul drept.

Ortocentrul — punctul în care se întâlnesc toate trei

Hai să vedem ceva interesant. Dacă trasezi toate cele trei înălțimi ale unui triunghi, ele se întâlnesc într-un singur punct. Mereu. Nu e coincidență, e o proprietate demonstrată. Acel punct se numește ortocentru și îl notăm de obicei cu  $H$ . Unde se află el? Depinde de triunghi. Într-un triunghi ascuțitunghic, ortocentrul e înăuntru. Într-un triunghi dreptunghic, e chiar în vârful unghiului drept — fix acolo. Iar într-un triunghi obtuzunghic, ortocentrul ajunge în afara triunghiului. Știu că sună ciudat. Dar dacă trasezi pe hârtie prelungirile înălțimilor, o să vezi că se întâlnesc tot într-un punct, doar că e dincolo de triunghi.

Exemplu rezolvat pas cu pas

Greșeli frecvente

Exerciții rezolvate

1. Un triunghi are baza  $a=6\text{ cm}$  și înălțimea corespunzătoare  $h_a=4\text{ cm}$ . Calculează aria. (Răspuns:  $𝒜=12{\text{ cm}}^2$ )
2. Aria unui triunghi este  $30{\text{ cm}}^2$  și o latură măsoară  $12\text{ cm}$ . Calculează înălțimea corespunzătoare acelei laturi. (Răspuns:  $h=5\text{ cm}$ )
3. Un triunghi isoscel are baza  $BC=10\text{ cm}$  și aria  $𝒜=35{\text{ cm}}^2$ . Calculează înălțimea  $h_a$  dusă din vârful  $A$  pe baza  $BC$ , apoi verifică dacă ortocentrul e în interiorul sau exteriorul triunghiului știind că toate unghiurile sunt ascuțite. (Răspuns:  $h_a=7\text{ cm}$ ; ortocentrul e în interior)

Întrebări frecvente