PARALELIPIPED DREPTUNGHIC formule, diagonală, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $L$ , $l$ și $h$ are volumul $V =$ $L \cdot l \cdot h$ și diagonala $d =$ $\sqrt{L^{2} + l^{2} + h^{2}}$ . Mai jos găsești elementele și formulele, cu figură, cubul (un caz particular) și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Paralelipipedul dreptunghic și cubul: elemente și formule

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ este o prismă dreaptă care are ca baze dreptunghiuri. Toate cele 6 fețe sunt dreptunghiuri, iar fețele opuse sunt congruente și paralele. Are 8 vârfuri și 12 muchii.

A C

este diagonala bazei,

A C^{'}

este diagonala paralelipipedului. Triunghiul

A C C^{'}

este dreptunghic în

C

Dimensiunile: lungimea $L = A B$ , lățimea $l = B C$ și înălțimea $h = A A^{'}$ . Muchiile laterale sunt perpendiculare pe planul bazei.
Diagonala bazei: $A C =$ $\sqrt{L^{2} + l^{2}}$ (Pitagora în triunghiul $A B C$ ).
Diagonala paralelipipedului: $A C^{'}$ . Triunghiul $A C C^{'}$ este dreptunghic în $C$ , deci $A C^{' 2} =$ $A C^{2} + C C^{' 2} =$ $L^{2} + l^{2} + h^{2}$ . Cele 4 diagonale sunt egale.

$d =$ $\sqrt{L^{2} + l^{2} + h^{2}}$ $A_{l} =$ $2 (L + l) \cdot h$ $A_{t} =$ $2 (L l + L h + l h)$ $V =$ $L \cdot l \cdot h$

Aria laterală este perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea: $A_{l} = P_{b} \cdot h$ . Aria totală adună și cele două baze: $A_{t} = A_{l} + 2 A_{b}$ . Suma lungimilor tuturor muchiilor este $4 (L + l + h)$ .

Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile egale ( $L = l = h = a$ ); toate fețele lui sunt pătrate:

$d = a \sqrt{3}$ $A_{l} = 4 a^{2}$ $A_{t} = 6 a^{2}$ $V = a^{3}$

Volumul se măsoară în ${cm}^{3}$ , ${dm}^{3}$ sau litri ( $1 {dm}^{3} = 1$ litru). Transformările sunt la unități de măsură pentru volum.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aria laterală, aria totală și volumulușor

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 10$ cm, $B C = 4$ cm și $A A^{'} = 3$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

Rezolvare pas cu pas

Perimetrul bazei: $P_{b} = 2 (10 + 4) = 28$ cm, deci $A_{l} =$ $P_{b} \cdot h =$ $28 \cdot 3 =$ $84$ cm².
Aria unei baze: $A_{b} =$ $10 \cdot 4 =$ $40$ cm².
Aria totală: $A_{t} =$ $A_{l} + 2 A_{b} =$ $84 + 80 =$ $164$ cm².
Verificare cu formula: $2 (10 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 4 \cdot 3) =$ $2 (40 + 30 + 12) =$ $2 \cdot 82 =$ $164$ cm².
Volumul: $V =$ $10 \cdot 4 \cdot 3 =$ $120$ cm³.

Răspuns: $A_{l} = 84$ cm², $A_{t} = 164$ cm², $V = 120$ cm³

EXERCIȚIUL 2Diagonala paralelipipeduluiușor

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 12$ cm, $B C = 4$ cm și $A A^{'} = 3$ cm. Calculează diagonala bazei $A C$ și diagonala paralelipipedului $A C^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $B$ : $A C^{2} =$ $12^{2} + 4^{2} =$ $144 + 16 =$ $160$ , deci $A C =$ $\sqrt{160} =$ $4 \sqrt{10}$ cm.
În triunghiul $A C C^{'}$ , dreptunghic în $C$ : $A C^{' 2} =$ $A C^{2} + C C^{' 2} =$ $160 + 9 =$ $169$ .
Deci $A C^{'} = 13$ cm. Direct cu formula: $d =$ $\sqrt{144 + 16 + 9} =$ $\sqrt{169} =$ $13$ cm.

Răspuns: $A C = 4 \sqrt{10}$ cm, $A C^{'} = 13$ cm

EXERCIȚIUL 3Cubulușor

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de 4 cm. Calculează diagonala $A C^{'}$ , aria laterală, aria totală și volumul cubului.

Rezolvare pas cu pas

Diagonala cubului: $d =$ $a \sqrt{3} =$ $4 \sqrt{3}$ cm (din $d^{2} =$ $16 + 16 + 16 =$ $48$ , iar $\sqrt{48} =$ $4 \sqrt{3}$ ).
Aria laterală: $A_{l} =$ $4 a^{2} =$ $4 \cdot 16 =$ $64$ cm².
Aria totală: $A_{t} =$ $6 a^{2} =$ $6 \cdot 16 =$ $96$ cm².
Volumul: $V = a^{3} = 4^{3} = 64$ cm³.

Răspuns: $A C^{'} = 4 \sqrt{3}$ cm, $A_{l} = 64$ cm², $A_{t} = 96$ cm², $V = 64$ cm³

EXERCIȚIUL 4Acvariul: volum în litrimediu

Un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea de 80 cm, lățimea de 35 cm și înălțimea de 50 cm. În acvariu se află apă până la înălțimea de 40 cm. a) Câți litri de apă sunt în acvariu? b) Câți litri de apă mai încap până la umplere?

Patrulaterul din interior arată nivelul apei, la 40 cm de fundul acvariului.

Rezolvare pas cu pas

a) Apa are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 80 cm, 35 cm și 40 cm: $V_{apă} =$ $80 \cdot 35 \cdot 40 =$ $112 000$ cm³.
Cum $1$ litru $= 1$ dm³ $= 1000$ cm³, $V_{apă} =$ $112 000 : 1000 =$ $112$ litri.
b) Capacitatea acvariului: $80 \cdot 35 \cdot 50 =$ $140 000$ cm³ $= 140$ litri.
Mai încap $140 - 112 = 28$ litri. (Sau direct: $80 \cdot 35 \cdot 10 =$ $28 000$ cm³ $= 28$ litri.)

Răspuns: a) 112 litri; b) încă 28 de litri

EXERCIȚIUL 5Înălțimea din volummediu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 12$ cm, $B C = 6$ cm și volumul de $360$ cm³. Calculează înălțimea $A A^{'}$ și aria totală.

Rezolvare pas cu pas

Aria bazei: $A_{b} =$ $12 \cdot 6 =$ $72$ cm².
Din $V = A_{b} \cdot h$ : $360 = 72 \cdot h$ , deci $h = 360 : 72 = 5$ cm.
Aria totală: $A_{t} =$ $2 (12 \cdot 6 + 12 \cdot 5 + 6 \cdot 5) =$ $2 (72 + 60 + 30) =$ $2 \cdot 162 =$ $324$ cm².

Răspuns: $A A^{'} = 5$ cm și $A_{t} = 324$ cm²

EXERCIȚIUL 6Cubul pornind de la aria totalămediu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are aria totală de $294$ cm². Calculează muchia, diagonala $A C^{'}$ și volumul cubului.

Rezolvare pas cu pas

$A_{t} = 6 a^{2} = 294$ , deci $a^{2} = 294 : 6 = 49$ și $a = 7$ cm.
Diagonala: $A C^{'} =$ $a \sqrt{3} =$ $7 \sqrt{3}$ cm.
Volumul: $V = 7^{3} = 343$ cm³.

Răspuns: $a = 7$ cm, $A C^{'} = 7 \sqrt{3}$ cm, $V = 343$ cm³

EXERCIȚIUL 7Dimensiuni proporționalegreu

Dimensiunile $A B$ , $B C$ și $A A^{'}$ ale paralelipipedului dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ sunt direct proporționale cu numerele 2, 3 și 6, iar diagonala $A C^{'} = 14$ cm. Calculează dimensiunile, volumul și aria totală.

Rezolvare pas cu pas

Notăm $A B = 2 k$ , $B C = 3 k$ , $A A^{'} = 6 k$ , cu $k > 0$ .
$A C^{' 2} =$ ${(2 k)}^{2} + {(3 k)}^{2} + {(6 k)}^{2} =$ $4 k^{2} + 9 k^{2} + 36 k^{2} =$ $49 k^{2}$ , deci $A C^{'} = 7 k$ .
$7 k = 14$ , deci $k = 2$ : $A B = 4$ cm, $B C = 6$ cm, $A A^{'} = 12$ cm.
Volumul: $V =$ $4 \cdot 6 \cdot 12 =$ $288$ cm³.
Aria totală: $A_{t} =$ $2 (4 \cdot 6 + 4 \cdot 12 + 6 \cdot 12) =$ $2 (24 + 48 + 72) =$ $288$ cm².

Răspuns: 4 cm, 6 cm și 12 cm; $V = 288$ cm³, $A_{t} = 288$ cm²

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

O cutie are forma paralelipipedului dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cu $A B = 20$ cm, $B C = 15$ cm și $A A^{'} = 9$ cm. a) Arată că în cutie încap $2,7$ litri. b) Calculează aria totală a cutiei. c) Calculează distanța de la punctul $D^{'}$ la dreapta $A C$ .

E

este piciorul perpendicularei duse din

D

pe diagonala

A C

; îl construim la punctul c).

Rezolvare pas cu pas

a) $V =$ $20 \cdot 15 \cdot 9 =$ $2700$ cm³ $= 2,7$ dm³ $= 2,7$ litri.
b) $A_{t} =$ $2 (20 \cdot 15 + 20 \cdot 9 + 15 \cdot 9) =$ $2 (300 + 180 + 135) =$ $2 \cdot 615 =$ $1230$ cm².
c) În triunghiul $A D C$ , dreptunghic în $D$ , cu $A D = 15$ cm și $D C = 20$ cm: $A C^{2} =$ $225 + 400 =$ $625$ , deci $A C = 25$ cm.
Ducem $D E ⟂ A C$ , cu $E \in A C$ . $D E$ este înălțimea din unghiul drept: $D E =$ $\frac{A D \cdot D C}{A C} =$ $\frac{15 \cdot 20}{25} =$ $12$ cm.
$D D^{'} ⟂ (A B C)$ , $D E ⟂ A C$ și $A C \subset (A B C)$ , deci, după teorema celor trei perpendiculare, $D^{'} E ⟂ A C$ . Distanța cerută este $D^{'} E$ .
Triunghiul $D^{'} D E$ este dreptunghic în $D$ (pentru că $D D^{'} ⟂ (A B C)$ și $D E \subset (A B C)$ ): $D^{'} E^{2} =$ $9^{2} + 12^{2} =$ $81 + 144 =$ $225$ , deci $D^{'} E = 15$ cm.

Răspuns: a) $2700$ cm³ $= 2,7$ litri; b) $1230$ cm²; c) $d (D^{'}, A C) = 15$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe paralelipipedul dreptunghic

Enunțul vorbește despre o cutie, un acvariu, o cameră, o piscină, o cărămidă sau un bazin cu trei dimensiuni: lungime, lățime, înălțime.
Se cere „diagonala” sau distanța dintre două vârfuri opuse: folosești $d =$ $\sqrt{L^{2} + l^{2} + h^{2}}$ (la cub, $a \sqrt{3}$ ).
Se cer litri sau „câtă apă încape”: calculezi volumul și transformi ( $1$ dm³ $= 1$ litru $= 1000$ cm³).

Greșeli frecvente

Numeri doar trei fețe la aria totală. Fețele sunt perechi de dreptunghiuri congruente, deci suma $L l + L h + l h$ se înmulțește cu 2.
Folosești diagonala feței în locul diagonalei paralelipipedului. $A C =$ $\sqrt{L^{2} + l^{2}}$ este diagonala bazei. Diagonala corpului $A C^{'}$ are sub radical toate cele trei pătrate: $L^{2} + l^{2} + h^{2}$ .
Înmulțești dimensiuni în unități diferite. Transformi toate lungimile în aceeași unitate înainte de calcul. Apoi ai grijă: 1 dm³ = 1000 cm³, nu 10 cm³.

Exersează

Fișă de lucru: Paralelipipedul dreptunghic și cubul, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Arii și volum, prisma regulată, paralelipipedul și cubulPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Care este formula diagonalei paralelipipedului dreptunghic?

$d =$ $\sqrt{L^{2} + l^{2} + h^{2}}$ . De exemplu, pentru 2 cm, 3 cm și 6 cm, $d =$ $\sqrt{4 + 9 + 36} =$ $7$ cm.

Care este diferența dintre aria laterală și aria totală?

Aria laterală cuprinde doar cele 4 fețe din jur: $A_{l} =$ $2 (L + l) \cdot h$ . Aria totală adaugă și cele două baze: $A_{t} =$ $A_{l} + 2 L \cdot l$ .

Cubul este paralelipiped dreptunghic?

Da. Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate cele trei dimensiuni egale, așa că formulele devin $V = a^{3}$ , $A_{t} = 6 a^{2}$ și $d = a \sqrt{3}$ .

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 7. Paralelipipedul dreptunghic. Cubul..

Exersează cu fișa de lucru: Paralelipipedul dreptunghic — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este formula pentru volumul unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea $a$ , lățimea $b$ și înălțimea $c$ ?
2. Care este formula pentru aria totală a unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $a$ , $b$ și $c$ ?
3. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $a$ , $b$ și $c$ se calculează cu formula:
4. Un cub are muchia $a = 3$ cm. Care este volumul său?
5. Aria totală a unui cub cu muchia $a = 4$ cm este:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 7 iunie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

PIRAMIDA HEXAGONALĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)