PIRAMIDA TRIUNGHIULARĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Piramida triunghiulară regulată are ca bază un triunghi echilateral, cu vârful chiar deasupra centrului ei. Aria bazei este $A_{b} =$ $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$ , iar volumul $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$ . Urmează elementele, formulele cu figură explicativă și 8 exerciții rezolvate, în ordine crescătoare de dificultate.

Piramida triunghiulară regulată: elemente și formule

Piramida $V A B C$ este triunghiulară regulată dacă baza $A B C$ este un triunghi echilateral, iar piciorul înălțimii din $V$ cade în centrul $O$ al bazei (punctul în care se intersectează medianele). Atunci cele trei muchii laterale sunt congruente, iar fețele laterale sunt 3 triunghiuri isoscele congruente.

V O

este înălțimea piramidei,

O M

apotema bazei (spre mijlocul unei laturi), iar

V M

apotema piramidei: ele formează triunghiul dreptunghic

V O M

, cu unghiul drept în

O

Latura bazei: $l = A B$ , iar perimetrul bazei este $P_{b} = 3 l$ .
Înălțimea piramidei: $h = V O$ , perpendiculară pe planul bazei.
Apotema bazei: $a_{b} =$ $O M =$ $\frac{l \sqrt{3}}{6}$ , unde $M$ este mijlocul lui $B C$ .
Raza cercului circumscris bazei: $R =$ $O A =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3}$ , adică dublul apotemei bazei.
Apotema piramidei: $a_{p} = V M$ , înălțimea feței laterale $V B C$ .
Muchia laterală: $m = V A = V B = V C$ .

Trei triunghiuri dreptunghice fac toată treaba: alegi unul dintre ele după ce date ai, și aplici teorema lui Pitagora.

$△ V O A$ , drept în $O$ : leagă muchia laterală de raza cercului circumscris, $m^{2} = h^{2} + R^{2}$ .
$△ V O M$ , drept în $O$ : leagă apotema piramidei de apotema bazei, $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ .
$△ V M C$ , drept în $M$ : leagă muchia laterală de apotema piramidei, $m^{2} =$ $a_{p}^{2} + {(\frac{l}{2})}^{2}$ .

Formulele pentru arii și volum:

$A_{b} =$ $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$

$A_{l} =$ $\frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2}$

$A_{t} = A_{l} + A_{b}$

$V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$

Aria bazei este aria unui triunghi echilateral, deci aproape toate rezultatele conțin $\sqrt{3}$ și se lasă în formă exactă. Pentru piramida cu baza pătrat vezi piramida patrulateră regulată.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aria bazei și perimetrul bazeiușor

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are latura bazei $A B = 6$ cm. Calculează perimetrul bazei și aria bazei.

Rezolvare pas cu pas

Baza este un triunghi echilateral cu latura de 6 cm, deci $P_{b} =$ $3 l =$ $3 \cdot 6 =$ $18$ cm.
Aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4} =$ $\frac{36 \sqrt{3}}{4}$ .
Simplifici: $A_{b} = 9 \sqrt{3}$ cm².

Răspuns: $P_{b} = 18$ cm și $A_{b} = 9 \sqrt{3}$ cm²

EXERCIȚIUL 2De la apotemă la aria laterală și totalăușor

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are latura bazei $A B = 8$ cm și apotema $V M = 9$ cm, unde $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează aria laterală și aria totală.

Rezolvare pas cu pas

Perimetrul bazei: $P_{b} = 3 \cdot 8 = 24$ cm.
Aria laterală: $A_{l} =$ $\frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2} =$ $\frac{24 \cdot 9}{2} =$ $108$ cm².
Verificare: o față laterală are aria $\frac{B C \cdot V M}{2} =$ $\frac{8 \cdot 9}{2} =$ $36$ cm², iar $3 \cdot 36 = 108$ cm².
Aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{64 \sqrt{3}}{4} =$ $16 \sqrt{3}$ cm².
Aria totală: $A_{t} =$ $A_{l} + A_{b} =$ $108 + 16 \sqrt{3}$ cm².

Răspuns: $A_{l} = 108$ cm² și $A_{t} =$ $108 + 16 \sqrt{3}$ cm²

EXERCIȚIUL 3Găsești apotema cu Pitagoramediu

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are $A B = 18$ cm și înălțimea $V O = 13$ cm, iar $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează apotema piramidei $V M$ și aria laterală.

Rezolvare pas cu pas

Apotema bazei: $O M =$ $\frac{l \sqrt{3}}{6} =$ $\frac{18 \sqrt{3}}{6} =$ $3 \sqrt{3}$ cm.
Deci $O M^{2} =$ $9 \cdot 3 =$ $27$ .
Triunghiul $V O M$ este dreptunghic în $O$ , deci $V M^{2} =$ $V O^{2} + O M^{2} =$ $169 + 27 =$ $196$ .
Rezultă $V M = 14$ cm.
Aria laterală: $A_{l} =$ $\frac{3 \cdot 18 \cdot 14}{2} =$ $\frac{756}{2} =$ $378$ cm².

Răspuns: $V M = 14$ cm și $A_{l} = 378$ cm²

EXERCIȚIUL 4Calculul volumului, pas cu pasmediu

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are latura bazei de 6 cm și înălțimea $V O = 10$ cm. Calculează volumul piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{36 \sqrt{3}}{4} =$ $9 \sqrt{3}$ cm².
Volumul: $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3} =$ $\frac{9 \sqrt{3} \cdot 10}{3}$ .
Simplifici cu 3: $V =$ $3 \sqrt{3} \cdot 10 =$ $30 \sqrt{3}$ cm³.

Răspuns: $V = 30 \sqrt{3}$ cm³

EXERCIȚIUL 5Muchia laterală și suma tuturor muchiilormediu

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are $A B = 12$ cm și înălțimea $V O = 11$ cm. Calculează muchia laterală $V A$ și suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Aici folosești raza cercului circumscris bazei, nu apotema: $O A =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3} =$ $\frac{12 \sqrt{3}}{3} =$ $4 \sqrt{3}$ cm.
Deci $O A^{2} =$ $16 \cdot 3 =$ $48$ .
Triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ : $V A^{2} =$ $V O^{2} + O A^{2} =$ $121 + 48 =$ $169$ .
Rezultă $V A = 13$ cm.
Piramida are 3 muchii ale bazei și 3 muchii laterale: $3 \cdot 12 + 3 \cdot 13 =$ $36 + 39 =$ $75$ cm.

Răspuns: $V A = 13$ cm, suma muchiilor este 75 cm

EXERCIȚIUL 6Din volum înapoi la înălțimemediu

O piramidă triunghiulară regulată are latura bazei de 10 cm și volumul de $100 \sqrt{3}$ cm³. Calculează înălțimea piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{100 \sqrt{3}}{4} =$ $25 \sqrt{3}$ cm².
Din formula volumului: $100 \sqrt{3} =$ $\frac{25 \sqrt{3} \cdot h}{3}$ .
Înmulțești ambii membri cu 3: $300 \sqrt{3} =$ $25 \sqrt{3} \cdot h$ .
Împarți la $25 \sqrt{3}$ : $h =$ $\frac{300 \sqrt{3}}{25 \sqrt{3}} =$ $12$ cm.

Răspuns: $h = 12$ cm

EXERCIȚIUL 7De la aria laterală la volumgreu

O piramidă triunghiulară regulată $V A B C$ are latura bazei $A B = 24$ cm și aria laterală de 468 cm². Calculează apotema piramidei, înălțimea și volumul.

Rezolvare pas cu pas

Perimetrul bazei: $P_{b} =$ $3 \cdot 24 =$ $72$ cm.
Din $A_{l} =$ $\frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2}$ obții $468 = 36 \cdot a_{p}$ , deci $a_{p} = V M = 13$ cm.
Apotema bazei: $O M =$ $\frac{24 \sqrt{3}}{6} =$ $4 \sqrt{3}$ cm, deci $O M^{2} = 48$ .
În triunghiul $V O M$ , dreptunghic în $O$ : $V O^{2} =$ $V M^{2} - O M^{2} =$ $169 - 48 =$ $121$ , deci $h = 11$ cm.
Aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{576 \sqrt{3}}{4} =$ $144 \sqrt{3}$ cm².
Volumul: $V =$ $\frac{144 \sqrt{3} \cdot 11}{3} =$ $48 \sqrt{3} \cdot 11 =$ $528 \sqrt{3}$ cm³.

Răspuns: $a_{p} = 13$ cm, $h = 11$ cm, $V = 528 \sqrt{3}$ cm³

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are toate muchiile de 12 cm, iar $O$ este centrul bazei. a) Arată că aria totală a piramidei este de $144 \sqrt{3}$ cm². b) Calculează volumul piramidei. c) Calculează tangenta unghiului format de muchia laterală $V A$ cu planul bazei $(A B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Toate cele 4 fețe sunt triunghiuri echilaterale cu latura de 12 cm, fiecare cu aria $\frac{144 \sqrt{3}}{4} =$ $36 \sqrt{3}$ cm².
Deci $A_{t} =$ $4 \cdot 36 \sqrt{3} =$ $144 \sqrt{3}$ cm².
b) $O A =$ $\frac{12 \sqrt{3}}{3} =$ $4 \sqrt{3}$ cm, deci $O A^{2} = 48$ .
În triunghiul $V O A$ , dreptunghic în $O$ : $V O^{2} = 144 - 48 = 96$ , deci $h =$ $\sqrt{96} =$ $4 \sqrt{6}$ cm.
Volumul: $V =$ $\frac{36 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{6}}{3} =$ $12 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{6} =$ $48 \sqrt{18} =$ $144 \sqrt{2}$ cm³.
c) Cum $V O ⟂ (A B C)$ , proiecția lui $V A$ pe planul bazei este chiar $O A$ , deci unghiul dintre muchia laterală $V A$ și planul bazei este $∠ V A O$ .
Triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ , cu $V O = 4 \sqrt{6}$ cm (de la punctul b) și $O A = 4 \sqrt{3}$ cm (de la punctul a mai sus).
Tangenta unui unghi ascuțit este catetă opusă supra catetă alăturată: $\tan (∠ V A O) =$ $\frac{V O}{O A} =$ $\frac{4 \sqrt{6}}{4 \sqrt{3}} =$ $\sqrt{\frac{6}{3}} =$ $\sqrt{2}$ .

Răspuns: a) $A_{t} = 144 \sqrt{3}$ cm²; b) $V = 144 \sqrt{2}$ cm³; c) $\tan (∠ V A O) =$ $\sqrt{2}$

Cum recunoști un exercițiu pe piramida triunghiulară regulată

Enunțul spune „piramidă triunghiulară regulată” sau „tetraedru regulat”, ori descrie o piramidă cu baza triunghi echilateral.
Ți se cere apotema piramidei sau aria laterală: lucrezi în triunghiul $V O M$ , cu $O M =$ $\frac{l \sqrt{3}}{6}$ .
Ți se cere muchia laterală: lucrezi în triunghiul $V O A$ , cu $O A =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3}$ , adică de două ori mai mult.

Greșeli frecvente

Confunzi apotema bazei cu raza cercului circumscris. $O M =$ $\frac{l \sqrt{3}}{6}$ merge spre mijlocul unei laturi, iar $O A =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3}$ merge spre un vârf. Centrul bazei împarte mediana în raport de 2 la 1, deci $O A = 2 \cdot O M$ .
Folosești formula ariei pătratului pentru bază. Baza este triunghi echilateral, deci $A_{b} =$ $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$ , nu $l^{2}$ . Rezultatul rămâne cu $\sqrt{3}$ , în formă exactă.
Pui apotema în locul înălțimii la volum. Volumul se calculează doar cu $h = V O$ : $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$ . Apotema $a_{p} = V M$ se folosește la aria laterală.

Exersează

Fișă de lucru: Piramida triunghiulară regulată, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Arii și volum, piramida regulatăPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre apotema bazei și raza cercului circumscris bazei?

Apotema bazei $O M =$ $\frac{l \sqrt{3}}{6}$ merge din centrul $O$ spre mijlocul unei laturi. Raza $R =$ $O A =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3}$ merge din $O$ spre un vârf și este exact dublul apotemei, pentru că centrul de greutate împarte fiecare mediană în raport 2 la 1.

Ce este tetraedrul regulat?

Este piramida triunghiulară regulată la care și muchiile laterale sunt egale cu latura bazei. Toate cele 4 fețe sunt triunghiuri echilaterale congruente.

Câte fețe, muchii și vârfuri are piramida triunghiulară?

Are 4 fețe (baza și 3 fețe laterale), 6 muchii (3 ale bazei și 3 laterale) și 4 vârfuri.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 3. Piramida triunghiulară regulată..

Exersează cu fișa de lucru: Piramida triunghiulară regulată — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Ce este o piramidă triunghiulară regulată?
2. Într-o piramidă triunghiulară regulată cu muchia bazei $a$ și apotema feței laterale $a_{f}$ , aria unei fețe laterale este:
3. Aria totală a unei piramide triunghiulare regulate cu muchia bazei $a$ și apotema feței laterale $a_{f}$ este:
4. Volumul unei piramide triunghiulare regulate cu aria bazei $A_{b}$ și înălțimea $h$ este:
5. Într-o piramidă triunghiulară regulată, apotema feței laterale $a_{f}$ , înălțimea piramidei $h$ și apotema bazei $a_{b}$ sunt legate prin relația:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 8 iunie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

VALOAREA MINIMĂ A UNEI EXPRESII și valoarea maximă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

ECUAȚIA DE GRADUL 2 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a IX-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

PIRAMIDA PATRULATERĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

PIRAMIDA HEXAGONALĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

PRISMA DREAPTĂ, recapitulare completă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

PARALELIPIPED DREPTUNGHIC formule, diagonală, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună