PLANE PERPENDICULARE: unghi diedru drept și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 24 septembrie 2026

Două plane sunt perpendiculare dacă formează un unghi diedru de $90^{\circ}$ , ca un perete și podeaua unei camere. Mai jos găsești definiția, teorema esențială pentru demonstrat perpendicularitatea și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Plane perpendiculare: unghi diedru și teorema esențială

Două plane care se intersectează formează, de-a lungul dreptei de intersecție, un unghi diedru. Ca să-l măsori, iei un punct pe muchie și duci, în fiecare plan, câte o perpendiculară pe muchie: unghiul dintre cele două semidrepte este unghiul diedru.

Muchia

A A^{'}

este perpendiculară pe baza

(A B C)

și este cuprinsă în fața

(A B B^{'} A^{'})

, deci, conform teoremei esențiale,

(A B B^{'} A^{'}) ⟂ (A B C)

$α ⟂ β ⟺$ $∠ (α, β) =$ $90^{\circ}$

Un exemplu concret: la un paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , fața laterală $A B B^{'} A^{'}$ este perpendiculară pe baza $A B C D$ .

Teorema esențială este scurtătura pe care o folosești în aproape toate exercițiile, ca să eviți să măsori unghiul diedru direct:

$a \subset α,$ $a ⟂ β ⟹$ $α ⟂ β$

Dacă o dreaptă $a$ , cuprinsă într-un plan $α$ , este perpendiculară pe întregul plan $β$ (nu doar pe o dreaptă din $β$ ), atunci automat cele două plane sunt perpendiculare. Nu trebuie să verifici tot planul $α$ , e suficientă o singură dreaptă bine aleasă.

Atenție la o confuzie frecventă: dacă doar două drepte, una din fiecare plan, sunt perpendiculare între ele, asta NU înseamnă că planele sunt perpendiculare. Condiția cere ca dreapta $a$ să fie perpendiculară pe tot planul $β$ , adică pe orice dreaptă din $β$ care trece prin piciorul ei, nu doar pe una singură.

La un paralelipiped dreptunghic, orice plan diagonal care conține o muchie laterală (perpendiculară pe bază) este, din acest motiv, perpendicular pe planul bazei. Pentru poziția opusă (fără punct comun), vezi plane paralele. Pentru unghiul dintre o dreaptă și un plan (nu între două plane), vezi unghiul dintre o dreaptă și un plan.

Exerciții rezolvate : planele perpendiculare

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Fețe perpendiculare pe un paralelipipedușor

La paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , numește două fețe laterale perpendiculare pe baza $A B C D$ și explică de ce.

Rezolvare pas cu pas

Fețele laterale $A B B^{'} A^{'}$ și $B C C^{'} B^{'}$ conțin muchia $B B^{'}$ , care este perpendiculară pe baza $A B C D$ (muchiile laterale ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare pe baze).
Conform teoremei esențiale, un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe acel plan.
Deci ambele fețe, $A B B^{'} A^{'}$ și $B C C^{'} B^{'}$ , sunt perpendiculare pe baza $A B C D$ .

Răspuns: $A B B^{'} A^{'} ⟂ A B C D$ și $B C C^{'} B^{'} ⟂ A B C D$ , pentru că fiecare conține o muchie laterală perpendiculară pe bază

EXERCIȚIUL 2Recunoașterea unghiului diedru dreptușor

Planul unui perete și planul podelei unei camere formează un unghi de $90^{\circ}$ . Sunt cele două plane perpendiculare?

Rezolvare pas cu pas

Unghiul diedru dintre cele două plane este de $90^{\circ}$ .
Aplici definiția: două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedru dintre ele este $90^{\circ}$ . Condiția e îndeplinită direct.

Răspuns: Da, cele două plane sunt perpendiculare

EXERCIȚIUL 3Teorema esențială, demonstrațiemediu

Dreapta $p$ este cuprinsă în planul $α$ și este perpendiculară pe planul $β$ . Demonstrează că $α ⟂ β$ .

Rezolvare pas cu pas

Din ipoteză ai exact cele două condiții ale teoremei esențiale: $p \subset α$ și $p ⟂ β$ .
Conform teoremei, o dreaptă cuprinsă într-un plan și perpendiculară pe alt plan face ca cele două plane să fie perpendiculare.
Deci $α ⟂ β$ , fără să mai fie nevoie să construiești explicit unghiul diedru.

Răspuns: $α ⟂ β$ , demonstrat cu teorema esențială

EXERCIȚIUL 4Distanța la un plan diagonal perpendicularmediu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de 8 cm. a) Arată că planul diagonal $(B D D^{'} B^{'})$ este perpendicular pe baza $(A B C)$ . b) Calculează distanța de la vârful $A$ la planul $(B D D^{'} B^{'})$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Muchia $D D^{'}$ este perpendiculară pe baza $(A B C)$ (muchie laterală a cubului) și este cuprinsă în planul $(B D D^{'} B^{'})$ , deci, conform teoremei esențiale, $(B D D^{'} B^{'}) ⟂ (A B C)$ .
b) În pătratul $A B C D$ , diagonalele $A C$ și $B D$ sunt perpendiculare și se înjumătățesc: distanța de la $A$ la dreapta $B D$ este jumătate din $A C$ .
Diagonala bazei: $A C = 8 \sqrt{2}$ cm, deci distanța de la $A$ la $B D$ este $4 \sqrt{2}$ cm.
Cum planul $(B D D^{'} B^{'})$ este vertical (conține $D D^{'} ⟂$ bază), distanța de la $A$ la acest plan este egală cu distanța de la $A$ la dreapta $B D$ , adică $4 \sqrt{2}$ cm.

Răspuns: a) $(B D D^{'} B^{'}) ⟂ (A B C)$ (demonstrat); b) distanța este $4 \sqrt{2}$ cm

EXERCIȚIUL 5Unghiul diedru dintre două planemediu

Unghiul diedru cu muchia $M N$ și fețele $α$ și $β$ are măsura de $60^{\circ}$ . Din punctul $P \in M N$ , duci $P A ⟂ M N$ în planul $α$ și $P B ⟂ M N$ în planul $β$ , cu $P A = P B = 6$ cm. Calculează lungimea segmentului $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiul $∠ A P B$ este chiar unghiul diedru, pentru că $P A$ și $P B$ sunt ambele perpendiculare pe muchia $M N$ , deci $m (∠ A P B) =$ $60^{\circ}$ .
Triunghiul $A P B$ este isoscel, cu $P A = P B = 6$ cm și unghiul dintre ele de $60^{\circ}$ .
Un triunghi isoscel cu unghiul dintre laturile egale de $60^{\circ}$ este de fapt echilateral (celelalte două unghiuri sunt egale și însumează $120^{\circ}$ , deci fiecare este $60^{\circ}$ ).
Deci $A B = P A = P B = 6$ cm.

Răspuns: $A B = 6$ cm

EXERCIȚIUL 6Planul diagonal al unei piramidemediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 8$ cm și înălțimea $V O = 7$ cm, unde $O$ este centrul bazei. a) Arată că planul diagonal $(V A C)$ este perpendicular pe planul bazei $(A B C)$ . b) Calculează muchia laterală $V A$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $V O$ este perpendiculară pe baza $(A B C)$ (înălțimea piramidei regulate) și $O$ se află pe diagonala $A C$ , deci $V O \subset (V A C)$ .
Conform teoremei esențiale, $(V A C) ⟂ (A B C)$ .
b) Diagonala bazei: $A C = 8 \sqrt{2}$ cm, deci $O A = 4 \sqrt{2}$ cm și $O A^{2} = 32$ .
Triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ : $V A^{2} =$ $V O^{2} + O A^{2} =$ $49 + 32 =$ $81$ , deci $V A = 9$ cm.

Răspuns: a) $(V A C) ⟂ (A B C)$ (demonstrat); b) $V A = 9$ cm

EXERCIȚIUL 7Aria secțiunii diagonalegreu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 6$ cm, $B C = 8$ cm și $A A^{'} = 5$ cm. a) Arată că planul diagonal $(B D D^{'} B^{'})$ este perpendicular pe baza $(A B C)$ . b) Calculează aria secțiunii diagonale $B D D^{'} B^{'}$ (un dreptunghi).

Rezolvare pas cu pas

a) $D D^{'}$ este perpendiculară pe baza $(A B C)$ (muchie laterală) și $D D^{'} \subset (B D D^{'} B^{'})$ , deci, prin teorema esențială, $(B D D^{'} B^{'}) ⟂ (A B C)$ .
b) Triunghiul $A B D$ este dreptunghic în $A$ : $B D^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $B D = 10$ cm.
Secțiunea $B D D^{'} B^{'}$ este un dreptunghi cu laturile $B D = 10$ cm și $B B^{'} = 5$ cm.
Aria: $A = 10 \cdot 5 = 50$ cm².

Răspuns: a) $(B D D^{'} B^{'}) ⟂ (A B C)$ (demonstrat); b) $A = 50$ cm²

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Cutia $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are baza $A B C D$ un pătrat cu latura de 6 cm și înălțimea $A A^{'} = 8$ cm. a) Demonstrează că planul diagonal $(A C C^{'} A^{'})$ este perpendicular pe baza $(A B C)$ . b) Calculează aria secțiunii diagonale $A C C^{'} A^{'}$ . c) Precizează dacă planele $(A C C^{'} A^{'})$ și $(B D D^{'} B^{'})$ sunt perpendiculare între ele, știind că, într-un pătrat, diagonalele sunt perpendiculare.

Rezolvare pas cu pas

a) $A A^{'}$ este perpendiculară pe baza $(A B C)$ (muchie laterală) și $A A^{'} \subset (A C C^{'} A^{'})$ , deci, prin teorema esențială, $(A C C^{'} A^{'}) ⟂ (A B C)$ .
b) Diagonala bazei: $A C = 6 \sqrt{2}$ cm. Secțiunea $A C C^{'} A^{'}$ este un dreptunghi cu laturile $A C = 6 \sqrt{2}$ cm și $A A^{'} = 8$ cm.
Aria: $A =$ $6 \sqrt{2} \cdot 8 =$ $48 \sqrt{2}$ cm².
c) Diagonalele pătratului $A C$ și $B D$ sunt perpendiculare, adică $A C ⟂ B D$ . Cum $B D \subset (B D D^{'} B^{'})$ și $A C \subset (A C C^{'} A^{'})$ ... dreapta $A C$ , cuprinsă în $(A C C^{'} A^{'})$ , este perpendiculară pe $B D$ și pe verticala $B B^{'}$ , deci pe întregul plan $(B D D^{'} B^{'})$ .
Prin teorema esențială, $(A C C^{'} A^{'}) ⟂ (B D D^{'} B^{'})$ : da, cele două plane diagonale sunt perpendiculare între ele.

Răspuns: a) $(A C C^{'} A^{'}) ⟂ (A B C)$ (demonstrat); b) $A = 48 \sqrt{2}$ cm²; c) da, $(A C C^{'} A^{'}) ⟂ (B D D^{'} B^{'})$

Cum recunoști un exercițiu pe plane perpendiculare

Enunțul spune „plane perpendiculare”, „unghi diedru drept”, sau descrie un perete și podeaua unei camere.
Ți se cere să demonstrezi perpendicularitatea: cauți o dreaptă dintr-un plan care este perpendiculară pe TOT celălalt plan (nu doar pe o dreaptă din el).
Vezi un plan diagonal care conține o muchie laterală (verticală) a unui corp: e aproape sigur perpendicular pe baza corpului.

Greșeli frecvente la planele perpendiculare

Crezi că e suficient ca două drepte, câte una din fiecare plan, să fie perpendiculare între ele. Nu e suficient. Ai nevoie ca o dreaptă dintr-un plan să fie perpendiculară pe întregul celălalt plan (adică pe orice dreaptă din el care trece prin piciorul perpendicularei), nu doar pe o singură dreaptă.
Confunzi unghiul diedru cu un unghi oarecare format de două drepte, câte una din fiecare plan. Unghiul diedru se măsoară doar cu două semidrepte perpendiculare pe muchia comună, una din fiecare plan. Orice altă pereche de drepte dă un unghi diferit, nu neapărat unghiul diedru real.
Confunzi „plane perpendiculare” cu „drepte perpendiculare”. Perpendicularitatea planelor se referă la unghiul diedru de $90 °$ dintre ele, nu la unghiul dintre două drepte oarecare cuprinse în ele. Verifică mereu condiția cu o dreaptă perpendiculară pe TOT planul.

Exersează : planele perpendiculare

Fișă de lucru: Plane perpendiculare, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Plane paralele și perpendiculare, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Unghi diedru, clasa a VIII-aPDF de printat, clasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre planele perpendiculare

Ce este unghiul diedru?

Unghiul format de două plane care se intersectează, măsurat cu două semidrepte perpendiculare pe muchia comună, câte una din fiecare plan.

Cum demonstrez rapid că două plane sunt perpendiculare?

Cauți o dreaptă dintr-un plan care este perpendiculară pe întregul celălalt plan. Dacă o găsești, planele sunt perpendiculare, conform teoremei esențiale.

La un paralelipiped dreptunghic, câte perechi de fețe perpendiculare sunt?

Fiecare față laterală este perpendiculară pe ambele baze, iar fețele laterale alăturate sunt perpendiculare între ele: în total, majoritatea perechilor de fețe vecine ale unui paralelipiped dreptunghic sunt perpendiculare.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 38. Plane perpendiculare.

Exersează cu fișa de lucru: Plane perpendiculare — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedru format de ele măsoară:
2. Care este condiția necesară și suficientă ca două plane să fie perpendiculare?
3. Dacă dreapta $d$ este perpendiculară pe planul $α$ , atunci orice plan $β$ care conține dreapta $d$ este față de planul $α$ :
4. Dacă planul $β$ este perpendicular pe planul $α$ și dreapta $d$ este perpendiculară pe $α$ , atunci dreapta $d$ față de planul $β$ este:
5. Într-un cub $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , planul feței $A B C D$ și planul feței $A B B^{'} A^{'}$ sunt: