de Echipa Școala Virtuală11 iunie 2026

Plane perpendiculare: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

Probabil ai văzut o ușă deschisă și ți-ai dat seama că, la un moment dat, ușa și podeaua formează un unghi drept perfect. Nu e o coincidență. E un exemplu concret de plane perpendiculare — două plane care se întâlnesc exact la 90 de grade. Și dacă îți pare că e un concept complicat, venit din altă lume, stai că nu e. E, de fapt, ceva ce ochiul tău recunoaște deja. Noi doi doar îi dăm un nume și o definiție precisă acum. Hai să vedem cum funcționează, de ce contează și cum recunoști un astfel de unghi în orice figură geometrică — inclusiv în cele care apar la examene.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă două plane perpendiculare și cum le recunoști
Vei ști să identifici diedrul drept și unghiul dintre două plane
Vei înțelege condiția de perpendicularitate dintre plane prin drepte
Vei ști să aplici proprietățile în exerciții de geometrie în spațiu

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce sunt de fapt două plane perpendiculare

Imaginează-ți un perete și podeaua camerei tale. Se intersectează, nu? Linia de intersecție e colțul unde podeaua întâlnește peretele. Acum gândește-te că, dacă pui o riglă perpendiculară pe acea linie — adică un unghi drept fix acolo — obții exact unghiul dintre cele două plane. Dacă unghiul ăla e de 90 de grade, planele sunt perpendiculare. Practic, nu e vorba de tot spațiul, ci doar de unghiul format chiar la locul unde se intersectează. Două plane perpendiculare formează împreună un diedru drept — adică un unghi diedru de $90 °$ . Termenul „diedru" sună complicat, dar înseamnă pur și simplu unghiul dintre două plane, la fel cum unghiul obișnuit e între două drepte.

💡 Regula de bază

Două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedru format de ele este $90 °$ . Scriem $α ⟂ β$ pentru a nota că planul $α$ este perpendicular pe planul $β$ . Condiția esențială: există o dreaptă dintr-un plan care este perpendiculară pe celălalt plan în punctul de intersecție.

Cum verifici că două plane sunt perpendiculare — condiția prin drepte

Uite cum gândesc eu asta. Să zicem că ai două plane care se intersectează după dreapta $d$ . Vrei să știi dacă sunt perpendiculare. Ce faci? Iei un punct de pe linia de intersecție și duci, în fiecare plan câte o perpendiculară pe $d$ . Dacă cele două perpendiculare formează un unghi de $90 °$ între ele, planele sunt perpendiculare. Asta e, de fapt, definiția unghiului diedru — îl măsori cu aceste două perpendiculare. Există și o altă variantă, mult mai practică: dacă o dreaptă dintr-un plan este perpendiculară pe celălalt plan în totalitate, atunci cele două plane sunt automat perpendiculare. Adică nu trebuie să verifici tot planul — îți ajunge o singură dreaptă bine aleasă. E un shortcut pe care mulți elevi nu îl știu și pierd timp aiurea.

💡 Teorema esențială

Dacă o dreaptă $a$ cuprinsă în planul $α$ este perpendiculară pe planul $β$ , atunci $α ⟂ β$ . Pe scurt: o dreaptă perpendiculară pe un plan „trage" și planul ei după ea.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Se consideră un dreptunghi $A B C D$ cu $A B = 6$ cm și $B C = 8$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $A B$ . Dreapta $C M$ este perpendiculară pe planul dreptunghiului. Demonstrează că planul determinat de $C$ , $M$ și $D$ este perpendicular pe planul dreptunghiului $A B C D$ .

🔢 Rezolvare

Fie α = planul A B C D și β = planul C M D

C M ⟂ α (dat din enunț)

C M \subset β (dreapta CM aparține planului CMD)

C M ⟂ α și C M \subset β \Rightarrow β ⟂ α

✅ Explicație

Cheia e că $C M$ este perpendiculară pe întregul plan $A B C D$ , nu doar pe o dreaptă. Asta înseamnă că orice plan care o conține pe $C M$ va fi automat perpendicular pe $α$ . Practic, dreapta $C M$ „garantează" perpendicularitatea — și noi folosim fix teorema: o dreaptă perpendiculară pe un plan, conținută în alt plan, implică perpendicularitatea celor două plane.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Mulți elevi cred că dacă două drepte din cele două plane sunt perpendiculare, atunci și planele sunt perpendiculare. Nu e adevărat. Două drepte se pot intersecta în unghi drept fără ca planele lor să fie perpendiculare.

✅ Corect: Ai nevoie ca o dreaptă dintr-un plan să fie perpendiculară pe celălalt plan în totalitate — adică perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan care trece prin punctul de intersecție. Nu ajunge o singură dreaptă.

❌ Greșeala #2: Confuzia dintre „dreapta perpendiculară pe un plan" și „dreapta perpendiculară pe o altă dreaptă din plan". Sunt lucruri diferite. Prima condiție e mult mai puternică.

✅ Corect: O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă a planului care trece prin piciorul perpendicularei. În practică, e suficient să fie perpendiculară pe două drepte concurente din plan — asta îți garantează perpendicularitatea pe tot planul.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Planul unui perete și planul podelei formează un unghi de $90 °$ . Sunt ele perpendiculare?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pas 1: Unghiul diedru dintre cele două plane este de $90 °$ .

Pas 2: Aplicăm definiția: două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedru format de ele este de $90 °$ .

Un unghi de $90 °$ înseamnă exact un diedru drept: condiția din definiție e îndeplinită direct.

Răspuns: Da, formează un diedru drept, $α ⟂ β$

Exercițiul 2. Dreapta $d$ este perpendiculară pe planul $β$ și este conținută în planul $α$ . Ce putem spune despre $α$ și $β$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pas 1: Din enunț, $d ⟂ β$ și $d \subset α$ .

Pas 2: Aplicăm teorema esențială: dacă o dreaptă conținută într-un plan este perpendiculară pe alt plan, cele două plane sunt perpendiculare.

Nu contează restul planului $α$ : e suficient ca o singură dreaptă din el, $d$ , să fie perpendiculară pe tot planul $β$ .

Răspuns: $α ⟂ β$ , prin teorema directă a perpendicularității planelor.

Exercițiul 3. Într-un cub $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , demonstrează că planul $A B B^{'} A^{'}$ este perpendicular pe planul $A B C D$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pas 1: Muchia laterală $A A^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei $A B C D$ (muchiile laterale ale cubului sunt perpendiculare pe bază).

Pas 2: Dreapta $A A^{'}$ este conținută în planul $A B B^{'} A^{'}$ .

Pas 3: Aplicăm teorema esențială: dreaptă conținută într-un plan, perpendiculară pe alt plan ⇒ cele două plane sunt perpendiculare.

Aceeași teoremă ca la exercițiul anterior, aplicată acum pe muchia unui cub în loc de o dreaptă abstractă.

Răspuns: $A B B^{'} A^{'} ⟂ A B C D$

Exercițiul 4. Planele $α$ și $β$ se intersectează după dreapta $d$ . Din punctul $M$ de pe $d$ , ducem în planul $α$ o dreaptă $a$ perpendiculară pe $d$ , iar în planul $β$ o dreaptă $b$ perpendiculară pe $d$ . Unghiul dintre $a$ și $b$ măsoară $90 °$ . Ce poți afirma despre planele $α$ și $β$ ? Justifică.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pas 1: $a \subset α$ , $a ⟂ d$ ; $b \subset β$ , $b ⟂ d$ , ambele duse din același punct $M$ de pe dreapta de intersecție.

Pas 2: Unghiul dintre $a$ și $b$ este chiar unghiul diedru dintre $α$ și $β$ , adică se măsoară cu câte o perpendiculară pe linia de intersecție, din fiecare plan.

Unghiul diedru măsoară $90 °$ , ceea ce este exact condiția din definiția planelor perpendiculare.

Răspuns: $α ⟂ β$

Exercițiul 5. Provocare: În piramida $V A B C$ , dreapta $V O$ este perpendiculară pe două drepte concurente din planul bazei, $A B$ și $A C$ (adică $V O ⟂ A B$ și $V O ⟂ A C$ , unde $A B$ și $A C$ se intersectează în punctul $A$ ). Demonstrează că planul $V O B$ este perpendicular pe planul bazei $A B C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pas 1: $V O ⟂ A B$ și $V O ⟂ A C$ , iar $A B$ și $A C$ sunt drepte concurente în planul bazei $A B C$ ⇒ $V O$ este perpendiculară pe tot planul bazei (o dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan e perpendiculară pe tot planul).

Pas 2: Dreapta $V O$ este conținută în planul $V O B$ (determinat de punctele $V$ , $O$ , $B$ ).

Pas 3: Aplicăm teorema esențială: $V O$ perpendiculară pe planul bazei și conținută în planul $V O B$ ⇒ planul $V O B$ este perpendicular pe planul bazei.

Exercițiul are doi pași: mai întâi arăți că $V O$ e perpendiculară pe tot planul bazei (nu doar pe o dreaptă din el), apoi aplici teorema esențială pentru planul care o conține.

Răspuns: Planul $V O B$ este perpendicular pe planul bazei $A B C$ .

Întrebări frecvente

Două plane paralele pot fi și perpendiculare în același timp?

Nu. Dacă două plane sunt paralele, înseamnă că nu se intersectează deloc — și fără intersecție nu poți vorbi despre un unghi diedru. Perpendicularitatea presupune că planele se întâlnesc și formează un unghi de exact $90 °$ . Paralel și perpendicular se exclud reciproc.

Cum recunosc în figură că două plane sunt perpendiculare?

Cel mai sigur semn: cauți o dreaptă care e perpendiculară pe unul dintre plane și verifici dacă e conținută în celălalt. În figurile din manuale, unghiurile drepte sunt marcate cu pătrățelul mic — exact ca la unghiurile obișnuite, doar că acum e vorba de spațiu 3D.

Există mai mult de două plane perpendiculare în aceeași figură?

Da, absolut. Într-un cub, de exemplu, ai mai multe perechi de fețe perpendiculare între ele. Fiecare față laterală e perpendiculară pe cele două fețe adiacente ei și pe bază. Nu e o situație rară — dimpotrivă, în geometria în spațiu o întâlnești tot timpul.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Textul narativ ficțional explicat cu exemple, clasele 5-8

9 august 2026

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună