PROPORȚII DERIVATE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Proporțiile derivate sunt alte proporții adevărate, obținute dintr-o proporție cunoscută prin inversare, alternare sau compunere, fără să se strice egalitatea. Mai jos găsești toate trei regulile și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Inversare, alternare și compunere: cele trei proporții derivate

Pleci de la o proporție cunoscută, $\frac{a}{b} =$ $\frac{c}{d}$ , și o rescrii în alt fel, prin mișcări precise care nu strică egalitatea. Fiecare formă nouă e tot o proporție adevărată, de aceea li se spune proporții derivate.

Inversarea. Întorci ambele rapoarte cu susul în jos.

$\frac{a}{b} =$ $\frac{c}{d} \Rightarrow$ $\frac{b}{a} =$ $\frac{d}{c}$

Alternarea. Schimbi mezii între ei, adică $b$ și $c$ își schimbă locul.

$\frac{a}{b} =$ $\frac{c}{d} \Rightarrow$ $\frac{a}{c} =$ $\frac{b}{d}$

Compunerea. Aduni sau scazi numitorul la numărător, în fiecare raport, iar numitorul rămâne neschimbat.

$\frac{a}{b} =$ $\frac{c}{d} \Rightarrow$ $\frac{a + b}{b} =$ $\frac{c + d}{d}$

$\frac{a}{b} =$ $\frac{c}{d} \Rightarrow$ $\frac{a - b}{b} =$ $\frac{c - d}{d}$

De ce funcționează. Toate trei păstrează adevărată proprietatea fundamentală: $a \cdot d =$ $b \cdot c$ . Poți verifica oricând o proporție derivată calculând din nou produsul extremilor și produsul mezilor ei. Dacă rămân egale, ai aplicat corect regula.

La ce ajută compunerea. Cea mai utilă în probleme este compunerea: dacă știi raportul a două numere și suma sau diferența lor, poți afla numerele fără să treci prin ecuații, direct dintr-o proporție derivată prin compunere.

Exerciții rezolvate : proporțiile derivate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Verifici proporția de bazăușor

Verifică, folosind proprietatea fundamentală, că $\frac{4}{6} =$ $\frac{10}{15}$ este o proporție adevărată.

Rezolvare pas cu pas

Calculăm produsul extremilor: $4 \cdot 15 = 60$ .
Calculăm produsul mezilor: $6 \cdot 10 = 60$ .
Produsele sunt egale, deci proporția este adevărată.

Răspuns: Da, $\frac{4}{6} =$ $\frac{10}{15}$ ; ambele rapoarte se simplifică la $\frac{2}{3}$ .

EXERCIȚIUL 2Aplici inversareaușor

Din proporția $\frac{4}{6} =$ $\frac{10}{15}$ , scrie proporția obținută prin inversare și verific-o.

Rezolvare pas cu pas

Inversarea întoarce ambele rapoarte: $\frac{6}{4} =$ $\frac{15}{10}$ .
Verificăm cu proprietatea fundamentală: $6 \cdot 10 = 60$ și $4 \cdot 15 = 60$ .
Produsele sunt egale, deci proporția obținută prin inversare este adevărată.

Răspuns: Proporția inversată este $\frac{6}{4} =$ $\frac{15}{10}$ .

EXERCIȚIUL 3Aplici alternareamediu

Din proporția $\frac{4}{6} =$ $\frac{10}{15}$ , scrie proporția obținută prin alternare și verific-o.

Rezolvare pas cu pas

Alternarea schimbă mezii, 6 și 10, între ei: $\frac{4}{10} =$ $\frac{6}{15}$ .
Verificăm cu proprietatea fundamentală: $4 \cdot 15 = 60$ și $10 \cdot 6 = 60$ .
Produsele sunt egale, deci proporția obținută prin alternare este adevărată.

Răspuns: Proporția alternată este $\frac{4}{10} =$ $\frac{6}{15}$ .

EXERCIȚIUL 4Aplici compunerea prin adunaremediu

Din proporția $\frac{4}{6} =$ $\frac{10}{15}$ , scrie proporția obținută prin compunere, adunând numitorul la numărător, și verific-o.

Rezolvare pas cu pas

Adunăm numitorul la numărător, în fiecare raport: $\frac{4 + 6}{6} =$ $\frac{10 + 15}{15}$ , adică $\frac{10}{6} =$ $\frac{25}{15}$ .
Verificăm cu proprietatea fundamentală: $10 \cdot 15 = 150$ și $6 \cdot 25 = 150$ .
Produsele sunt egale, deci proporția obținută prin compunere este adevărată.

Răspuns: Proporția obținută este $\frac{10}{6} =$ $\frac{25}{15}$ ; ambele rapoarte se simplifică la $\frac{5}{3}$ .

EXERCIȚIUL 5Aplici compunerea prin scăderemediu

Din proporția $\frac{4}{6} =$ $\frac{10}{15}$ , scrie proporția obținută prin compunere, scăzând numărătorul din numitor, și verific-o.

Rezolvare pas cu pas

Scădem numărătorul din numitor, în fiecare raport: $\frac{6 - 4}{6} =$ $\frac{15 - 10}{15}$ , adică $\frac{2}{6} =$ $\frac{5}{15}$ .
Verificăm cu proprietatea fundamentală: $2 \cdot 15 = 30$ și $6 \cdot 5 = 30$ .
Produsele sunt egale, deci proporția obținută prin compunere prin scădere este adevărată.

Răspuns: Proporția obținută este $\frac{2}{6} =$ $\frac{5}{15}$ ; ambele rapoarte se simplifică la $\frac{1}{3}$ .

EXERCIȚIUL 6Doi pași la rândgreu

Se dă proporția $\frac{9}{12} =$ $\frac{15}{20}$ . Scrie mai întâi proporția obținută prin inversare, apoi, pornind tot de la proporția inițială, proporția obținută prin alternare.

Rezolvare pas cu pas

Verificăm mai întâi proporția de bază: $9 \cdot 20 = 180$ și $12 \cdot 15 = 180$ , deci este adevărată.
Prin inversare, întoarcem ambele rapoarte: $\frac{12}{9} =$ $\frac{20}{15}$ .
Prin alternare, pornind tot de la proporția inițială, schimbăm mezii 12 și 15: $\frac{9}{15} =$ $\frac{12}{20}$ .
Verificăm proporția alternată: $9 \cdot 20 = 180$ și $15 \cdot 12 = 180$ , deci este și ea adevărată.

Răspuns: Prin inversare obții $\frac{12}{9} =$ $\frac{20}{15}$ , prin alternare obții $\frac{9}{15} =$ $\frac{12}{20}$ .

EXERCIȚIUL 7Afli numerele din sumă și raport, prin compuneregreu

Suma a două numere este 55, iar raportul lor este $\frac{4}{7}$ . Află cele două numere, folosind o proporție derivată prin compunere.

Rezolvare pas cu pas

Notăm numerele cu $a$ și $b$ , unde $\frac{a}{b} =$ $\frac{4}{7}$ .
Aplicăm compunerea prin adunare: $\frac{a}{a + b} =$ $\frac{4}{4 + 7} =$ $\frac{4}{11}$ .
Cum $a + b = 55$ , înlocuim: $\frac{a}{55} =$ $\frac{4}{11}$ , deci $a =$ $55 \cdot 4 : 11 =$ $20$ .
Al doilea număr este $b = 55 - 20 = 35$ .
Probă: $20 + 35 = 55$ și $\frac{20}{35} =$ $\frac{4}{7}$ după simplificare.

Răspuns: Numerele sunt $20$ și $35$ .

EXERCIȚIUL 8Afli numerele din diferență și raport, prin compuneregreu

Diferența a două numere este 18, iar raportul lor este $\frac{5}{2}$ . Află cele două numere, folosind o proporție derivată prin compunere prin scădere.

Rezolvare pas cu pas

Notăm numerele cu $a$ și $b$ , unde $a > b$ și $\frac{a}{b} =$ $\frac{5}{2}$ .
Aplicăm compunerea prin scădere: $\frac{a - b}{b} =$ $\frac{5 - 2}{2} =$ $\frac{3}{2}$ .
Cum $a - b = 18$ , înlocuim: $\frac{18}{b} =$ $\frac{3}{2}$ , deci $b =$ $18 \cdot 2 : 3 =$ $12$ .
Primul număr este $a =$ $b + 18 =$ $12 + 18 =$ $30$ .
Probă: $30 - 12 = 18$ și $\frac{30}{12} =$ $\frac{5}{2}$ după simplificare.

Răspuns: Numerele sunt $30$ și $12$ .

Cum recunoști un exercițiu cu proporții derivate

Enunțul îți cere să obții o nouă proporție dintr-una dată, prin inversare, alternare sau compunere, în loc să afli un singur termen necunoscut.
Apare, în probleme aplicate, un raport dat împreună cu suma sau diferența celor două numere: acesta este semnul clasic pentru compunere.
Poți verifica oricând rezultatul cu proprietatea fundamentală, recalculând produsul extremilor și produsul mezilor pentru noua proporție.

Greșeli frecvente la proporțiile derivate

Confunzi alternarea cu inversarea. Inversarea întoarce ambele rapoarte cu susul în jos. Alternarea nu întoarce nimic, doar schimbă mezii între ei. Sunt două mișcări diferite, cu rezultate diferite.
La compunere, schimbi și numitorul. La compunere aduni sau scazi numitorul la numărător, dar numitorul rămâne neschimbat pe poziția lui. Doar numărătorul se modifică.
Aplici compunerea prin scădere fără să știi care număr e mai mare. Compunerea prin scădere presupune un rezultat pozitiv, deci scazi mereu numărul mai mic din numărul mai mare. Dacă nu ești sigur care e mai mare, verifică mai întâi cu raportul dat.

Exersează : proporțiile derivate

Fișă de lucru: Proporții derivate, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Rapoarte și proporții, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Mărimi direct și invers proporționaleclasa a VI-a, subiectul următor

Din același capitol

Întrebări frecvente despre proporțiile derivate

Ce sunt proporțiile derivate?

Sunt proporții noi, obținute dintr-o proporție cunoscută prin inversare, alternare sau compunere, fără să se strice egalitatea dintre cele două rapoarte.

La ce folosesc, practic, proporțiile derivate?

Cel mai des, compunerea te ajută să rezolvi rapid probleme în care știi raportul a două numere și suma sau diferența lor, fără să scrii o ecuație separată.

Trebuie să memorez toate formulele?

Nu, e suficient să înțelegi logica: inversarea întoarce fracțiile, alternarea schimbă mezii, iar compunerea aduni sau scade numitorul la numărător. Le poți verifica oricând cu proprietatea fundamentală.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 6. Proporții derivate. Șir de rapoarte egale..

Exersează cu fișa de lucru: Proporții derivate — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Dacă avem proporția $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , care dintre următoarele este o proporție derivată prin inversare?
2. Pornind de la proporția $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , proporția derivată prin compunere este:
3. Pornind de la proporția $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , proporția derivată prin descompunere este:
4. Pornind de la proporția $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , proporția derivată prin permutare este:
5. Dacă $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ , atunci șirul de rapoarte egale este egal cu: