RAȚIONALIZAREA NUMITORULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

A raționaliza numitorul înseamnă să elimini radicalul de la numitorul unei fracții, înmulțind fracția cu o formă potrivită a lui 1. Mai jos găsești cele două cazuri, cu radical simplu și cu conjugată, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Raționalizarea numitorului: cele două cazuri și formulele lor

Un numitor rațional este un numitor fără radical: un număr întreg sau o fracție obișnuită. Când numitorul unei fracții conține un radical, îl elimini înmulțind fracția, sus și jos, cu un factor ales astfel încât radicalul să dispară de jos. Valoarea fracției nu se schimbă, pentru că înmulțești de fapt cu $1$ .

Cazul 1: numitor cu un singur radical. Dacă numitorul este $\sqrt{a}$ , înmulțești cu $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$ :

$\frac{p}{\sqrt{a}} =$ $\frac{p \sqrt{a}}{a}$

La numitor rămâne $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} =$ $a$ , un număr întreg, fără radical.

Cazul 2: numitor cu sumă sau diferență de radicali. Când numitorul are forma $a + \sqrt{b}$ sau $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ , nu ai un singur radical de eliminat, așa că înmulțești cu conjugata lui: schimbi doar semnul din mijloc. Conjugata funcționează pentru că aplică formula de calcul prescurtat:

$(x + y) (x - y) =$ $x^{2} - y^{2}$

Dacă numitorul este $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ , conjugata lui este $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ , iar produsul lor este $a - b$ , număr rațional:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) =$ $a - b$

Pașii sunt mereu aceiași: identifici numitorul, alegi factorul de raționalizare ( $\sqrt{a}$ sau conjugata), înmulțești ambii termeni ai fracției cu el, aplici formula la numitor și, la final, simplifici dacă se poate.

Merită să te oprești o clipă asupra motivului pentru care faci toate astea. La liceu și mai departe, când lucrezi cu numere reale, vrei ca rezultatele să fie ușor de comparat și de adunat. Dacă un coleg scrie $\frac{1}{\sqrt{2}}$ și altul scrie $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , sunt același număr, dar a doua formă e cea acceptată ca răspuns final, pentru că numitorul rațional face comparațiile și calculele ulterioare mult mai simple. Gândește-te și la o comparație directă între două fracții cu radical la numitor: fără raționalizare, ai fi tentat să compari direct numitorii, ceea ce duce ușor la greșeli. Odată ce numitorii sunt numere raționale, comparația devine o simplă comparație de fracții obișnuite.

Observă și că, în cazul cu conjugată, semnul din mijlocul numitorului dictează semnul din mijlocul conjugatei, dar niciodată semnele celor doi termeni în parte. Dacă numitorul e $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ , conjugata păstrează exact aceiași doi termeni, $\sqrt{a}$ și $\sqrt{b}$ , și schimbă doar operația dintre ei, din scădere în adunare. Așa te asiguri că produsul celor doi factori chiar dă diferența de pătrate, fără radicali rămași.

Exerciții rezolvate : raționalizarea numitorului

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Numitor cu un singur radicalușor

Raționalizează numitorul fracției $\frac{3}{\sqrt{5}}$ .

Rezolvare pas cu pas

Numitorul are un singur radical, $\sqrt{5}$ , deci înmulțești fracția sus și jos cu $\sqrt{5}$ .
$\frac{3}{\sqrt{5}} =$ $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$ .
La numitor obții $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} =$ $5$ .
Rezultatul este $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ , fără radical la numitor.

Răspuns: $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

EXERCIȚIUL 2Alt exemplu, același tiparușor

Raționalizează numitorul fracției $\frac{7}{\sqrt{2}}$ .

Rezolvare pas cu pas

Înmulțești sus și jos cu $\sqrt{2}$ : $\frac{7}{\sqrt{2}} =$ $\frac{7 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$ .
La numitor rămâne $2$ .
Rezultatul este $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$ .

Răspuns: $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$

EXERCIȚIUL 3Cu un coeficient în fața radicaluluiușor

Raționalizează numitorul fracției $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$ .

Rezolvare pas cu pas

Coeficientul $2$ din fața radicalului nu se atinge, doar radicalul se raționalizează.
Înmulțești sus și jos cu $\sqrt{3}$ : $\frac{5}{2 \sqrt{3}} =$ $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$ .
La numitor obții $2 \cdot 3 = 6$ .
Rezultatul este $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ .

Răspuns: $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$

EXERCIȚIUL 4Numitor cu diferență, folosind conjugatamediu

Raționalizează numitorul fracției $\frac{4}{\sqrt{7} - 2}$ .

Rezolvare pas cu pas

Numitorul este $\sqrt{7} - 2$ , deci conjugata lui este $\sqrt{7} + 2$ .
Înmulțești fracția, sus și jos, cu $\sqrt{7} + 2$ : $\frac{4 (\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2) (\sqrt{7} + 2)}$ .
La numitor aplici ${(\sqrt{7})}^{2} - 2^{2} =$ $7 - 4 =$ $3$ .
Rezultatul este $\frac{4 (\sqrt{7} + 2)}{3}$ , fără radical la numitor.

Răspuns: $\frac{4 (\sqrt{7} + 2)}{3}$

EXERCIȚIUL 5Numitor cu suma a doi radicalimediu

Raționalizează numitorul fracției $\frac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ și simplifică rezultatul.

Rezolvare pas cu pas

Conjugata numitorului $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ este $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ .
Înmulțești sus și jos cu ea: $\frac{6 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$ .
La numitor obții $5 - 3 = 2$ .
Fracția devine $\frac{6 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$ , care se simplifică prin $2$ : $3 (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ .

Răspuns: $3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}$

EXERCIȚIUL 6Radical și la numărătormediu

Raționalizează numitorul fracției $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ și scrie rezultatul cât mai simplu.

Rezolvare pas cu pas

Conjugata numitorului $\sqrt{3} - 1$ este $\sqrt{3} + 1$ .
Înmulțești sus și jos cu ea: $\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} =$ $\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}$ .
La numărător desfaci pătratul sumei: ${(\sqrt{3} + 1)}^{2} =$ $3 + 2 \sqrt{3} + 1 =$ $4 + 2 \sqrt{3}$ .
La numitor rămâne $3 - 1 = 2$ , deci fracția este $\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$ .
Simplifici prin $2$ : $2 + \sqrt{3}$ .

Răspuns: $2 + \sqrt{3}$

EXERCIȚIUL 7Suma a două fracții raționalizategreu

Calculează $\frac{10}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} +$ $\frac{10}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$ .

Rezolvare pas cu pas

Raționalizezi prima fracție, înmulțind cu $\sqrt{7} - \sqrt{2}$ : $\frac{10 (\sqrt{7} - \sqrt{2})}{7 - 2} =$ $\frac{10 (\sqrt{7} - \sqrt{2})}{5} =$ $2 (\sqrt{7} - \sqrt{2})$ .
Raționalizezi a doua fracție, înmulțind cu $\sqrt{7} + \sqrt{2}$ : $\frac{10 (\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 - 2} =$ $2 (\sqrt{7} + \sqrt{2})$ .
Aduni cele două rezultate: $2 (\sqrt{7} - \sqrt{2}) +$ $2 (\sqrt{7} + \sqrt{2})$ .
Termenii cu $\sqrt{2}$ se reduc: rămâne $2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} =$ $4 \sqrt{7}$ .

Răspuns: $4 \sqrt{7}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: arată că numărul e naturalgreu

Arată că numărul $n =$ $\frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} +$ $\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$ este natural.

Rezolvare pas cu pas

Raționalizezi prima fracție cu conjugata $3 - \sqrt{5}$ : $\frac{{(3 - \sqrt{5})}^{2}}{3^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} =$ $\frac{9 - 6 \sqrt{5} + 5}{4} =$ $\frac{14 - 6 \sqrt{5}}{4}$ .
Raționalizezi a doua fracție cu conjugata $3 + \sqrt{5}$ : $\frac{{(3 + \sqrt{5})}^{2}}{9 - 5} =$ $\frac{14 + 6 \sqrt{5}}{4}$ .
Aduni cele două fracții, care au același numitor: $\frac{14 - 6 \sqrt{5} + 14 + 6 \sqrt{5}}{4} =$ $\frac{28}{4}$ .
Termenii cu $\sqrt{5}$ se reduc complet, iar $n = 7$ , care este număr natural.

Răspuns: $n = 7 \in ℕ$

Cum recunoști un exercițiu de raționalizare

Enunțul cere direct „raționalizează numitorul” sau „scrie fracția fără radical la numitor”.
Dacă numitorul este un singur radical, ca $\sqrt{a}$ , înmulțești cu $\sqrt{a}$ . Dacă are o sumă sau o diferență cu radical, ca $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ , ai nevoie de conjugată.
Apar fracții care se adună sau se scad, iar numitorii lor sunt conjugați unul altuia: după raționalizare, radicalii adesea se reduc între ei.

Greșeli frecvente la raționalizarea numitorului

Înmulțești doar numitorul cu factorul de raționalizare. Trebuie să înmulțești ambii termeni ai fracției, sus și jos, cu același factor. Dacă înmulțești doar jos, schimbi valoarea fracției.
La numitor, calculezi termen cu termen în loc să aplici formula. Când înmulțești cu conjugata, la numitor aplici direct $(x + y) (x - y) =$ $x^{2} - y^{2}$ , nu desfaci produsul ca la o înmulțire obișnuită.
Uiți să simplifici fracția la final. Dacă la numărător și numitor rămâne un factor comun, ca în $\frac{6 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$ , simplifici înainte să scrii răspunsul final.

Exersează : raționalizarea numitorului

Fișă de lucru: Raționalizarea numitorului, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Numere reale, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Reguli de calcul cu radicali, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre raționalizarea numitorului

De ce nu se lasă radicalul la numitor?

Pentru că forma finală cerută la teze și examene are numitorul rațional. Radicalul rămâne doar la numărător, unde nu deranjează operațiile ulterioare.

Cum aleg cu ce înmulțesc, când numitorul are doi termeni?

Iei conjugata lui: păstrezi aceiași termeni, dar schimbi semnul din mijloc. Conjugata lui $a + \sqrt{b}$ este $a - \sqrt{b}$ .

Ce fac dacă numitorul are trei termeni sau radicali de ordinul 3?

La clasa a VII-a întâlnești doar radicali de ordinul 2, cu unul sau doi termeni la numitor. Cazurile cu trei termeni sau radicali de alt ordin apar abia mai târziu.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 25. Raționalizarea numitorului..

Exersează cu fișa de lucru: Raționalizarea numitorului — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Ce înseamnă a raționaliza numitorul unei fracții?
2. Care este fracția obținută după raționalizarea numitorului fracției $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ?
3. Cu ce expresie înmulțim fracția $\frac{5}{\sqrt{7}}$ pentru a raționaliza numitorul?
4. Care este rezultatul raționalizării numitorului fracției $\frac{3}{\sqrt{5}}$ ?
5. Care dintre următoarele fracții are numitorul deja raționalizat?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 7 iunie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

RADICAL DIN 72 descompus în factori - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR REALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

PATRULATERUL CONVEX suma unghiurilor și diagonalele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

PARALELOGRAMUL: proprietăți, diagonale, perimetru și arie - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ARIA PARALELOGRAMULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună