SCOATEREA DE SUB RADICAL și introducerea factorilor sub radical - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Pentru $a, b \geq 0$ , scoaterea factorilor de sub radical se face după regula $\sqrt{a^{2} \cdot b} =$ $a \sqrt{b}$ : din fiecare pereche de factori egali iese un singur factor în fața radicalului. Mai jos găsești metoda, introducerea factorilor sub radical și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum scoți factorii de sub radical și cum îi introduci

Regula. Pentru $a \geq 0$ și $b \geq 0$ :

$\sqrt{a^{2} \cdot b} =$ $a \sqrt{b}$

Metoda descompunerii în factori primi (merge la orice număr):

Descompui numărul de sub radical în factori primi. Exemplu: $180 =$ $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ .
Fiecare factor cu exponent par iese de sub radical cu exponentul împărțit la 2: $\sqrt{2^{2}} = 2$ , $\sqrt{3^{2}} = 3$ , $\sqrt{2^{4}} = 2^{2}$ .
La un exponent impar, un factor rămâne sub radical: $\sqrt{3^{5}} =$ $\sqrt{3^{4} \cdot 3} =$ $3^{2} \sqrt{3}$ .
Înmulțești ce a ieșit și ce a rămas: $\sqrt{180} =$ $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} =$ $6 \sqrt{5}$ .

Metoda rapidă: cauți cel mai mare pătrat perfect care divide numărul: $\sqrt{180} =$ $\sqrt{36 \cdot 5} =$ $6 \sqrt{5}$ . Un exemplu lucrat pe larg găsești la radical din 72 descompus.

Introducerea factorilor sub radical este drumul invers: factorul din față intră sub radical ridicat la pătrat.

$a \sqrt{b} =$ $\sqrt{a^{2} \cdot b},$ $a \geq 0$

Exemplu: $3 \sqrt{2} =$ $\sqrt{9 \cdot 2} =$ $\sqrt{18}$ . Dacă în față este un minus, el rămâne în afara radicalului: $- 3 \sqrt{2} =$ $- \sqrt{18}$ . Introducerea te ajută să compari numere de forma $a \sqrt{b}$ : mai mare este cel cu numărul mai mare sub radical.

Restul regulilor (produsul, câtul, raționalizarea) sunt la regulile de calcul cu radicali.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Scoaterea factorilor cu pătrate perfecteușor

Scoate factorii de sub radical: a) $\sqrt{12}$ ; b) $\sqrt{75}$ ; c) $\sqrt{98}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Cel mai mare pătrat perfect care divide 12 este 4: $\sqrt{12} =$ $\sqrt{4 \cdot 3} =$ $2 \sqrt{3}$ .
b) $75 = 25 \cdot 3$ , deci $\sqrt{75} =$ $\sqrt{25 \cdot 3} =$ $5 \sqrt{3}$ .
c) $98 = 49 \cdot 2$ , deci $\sqrt{98} =$ $\sqrt{49 \cdot 2} =$ $7 \sqrt{2}$ .

Răspuns: a) $2 \sqrt{3}$ ; b) $5 \sqrt{3}$ ; c) $7 \sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 2Radical din 180 descompusușor

Descompune 180 în factori primi și scoate factorii de sub radical în $\sqrt{180}$ .

Rezolvare pas cu pas

Împărțim succesiv la numere prime: $180 : 2 = 90$ , $90 : 2 = 45$ , $45 : 3 = 15$ , $15 : 3 = 5$ , $5 : 5 = 1$ .
Deci $180 =$ $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ .
Perechile $2^{2}$ și $3^{2}$ ies de sub radical, iar 5 rămâne: $\sqrt{180} =$ $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} =$ $6 \sqrt{5}$ .
Verificare: $6 \sqrt{5} =$ $\sqrt{36 \cdot 5} =$ $\sqrt{180}$ .

Răspuns: $\sqrt{180} =$ $6 \sqrt{5}$

EXERCIȚIUL 3Introducerea factorilor sub radicalușor

Introdu factorii sub radical: a) $3 \sqrt{2}$ ; b) $5 \sqrt{3}$ ; c) $2 \sqrt{7}$ .

Rezolvare pas cu pas

Factorul din față intră sub radical ridicat la pătrat.
a) $3 \sqrt{2} =$ $\sqrt{3^{2} \cdot 2} =$ $\sqrt{18}$ .
b) $5 \sqrt{3} =$ $\sqrt{5^{2} \cdot 3} =$ $\sqrt{75}$ .
c) $2 \sqrt{7} =$ $\sqrt{2^{2} \cdot 7} =$ $\sqrt{28}$ .

Răspuns: a) $\sqrt{18}$ ; b) $\sqrt{75}$ ; c) $\sqrt{28}$

EXERCIȚIUL 4Numere mari sub radicalmediu

Scoate factorii de sub radical: a) $\sqrt{720}$ ; b) $\sqrt{432}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Descompunem: $720 =$ $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5$ .
$\sqrt{720} =$ $2^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{5} =$ $4 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} =$ $12 \sqrt{5}$ .
b) Descompunem: $432 = 2^{4} \cdot 3^{3}$ . Exponentul lui 3 este impar, deci scriem $3^{3} = 3^{2} \cdot 3$ .
$\sqrt{432} =$ $\sqrt{2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3} =$ $2^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} =$ $12 \sqrt{3}$ .

Răspuns: a) $12 \sqrt{5}$ ; b) $12 \sqrt{3}$

EXERCIȚIUL 5Compararea și ordonareamediu

a) Compară numerele $4 \sqrt{3}$ și $3 \sqrt{5}$ . b) Ordonează crescător numerele $2 \sqrt{6}$ , $3 \sqrt{3}$ și $5$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Introducem factorii sub radical: $4 \sqrt{3} =$ $\sqrt{48}$ și $3 \sqrt{5} =$ $\sqrt{45}$ .
$48 > 45$ , deci $\sqrt{48} > \sqrt{45}$ , adică $4 \sqrt{3} > 3 \sqrt{5}$ .
b) Scriem toate numerele sub radical: $2 \sqrt{6} =$ $\sqrt{24}$ , $3 \sqrt{3} =$ $\sqrt{27}$ și $5 = \sqrt{25}$ .
$24 < 25 < 27$ , deci $2 \sqrt{6} < 5 < 3 \sqrt{3}$ .

Răspuns: a) $4 \sqrt{3} > 3 \sqrt{5}$ ; b) $2 \sqrt{6} < 5 < 3 \sqrt{3}$

EXERCIȚIUL 6Adunarea după scoaterea factorilormediu

Calculează $\sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{32}$ .

Rezolvare pas cu pas

Radicalii nu sunt asemenea, deci scoatem întâi factorii.
$\sqrt{18} =$ $3 \sqrt{2}$ , $\sqrt{50} =$ $5 \sqrt{2}$ , $\sqrt{32} =$ $\sqrt{16 \cdot 2} =$ $4 \sqrt{2}$ .
Acum toți au $\sqrt{2}$ : $3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} =$ $(3 + 5 - 4) \sqrt{2} =$ $4 \sqrt{2}$ .

Răspuns: $4 \sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 7Puteri cu exponenți imparigreu

Scoate factorii de sub radical: a) $\sqrt{2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2}}$ ; b) $\sqrt{7^{3} \cdot 11^{2}}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Exponenții pari se împart la 2: $\sqrt{2^{6}} = 2^{3}$ și $\sqrt{5^{2}} = 5$ .
Pentru exponentul impar: $3^{5} = 3^{4} \cdot 3$ , deci $\sqrt{3^{5}} =$ $3^{2} \sqrt{3}$ .
$\sqrt{2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2}} =$ $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{3} =$ $8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} =$ $360 \sqrt{3}$ .
b) $7^{3} = 7^{2} \cdot 7$ , deci $\sqrt{7^{3} \cdot 11^{2}} =$ $7 \cdot 11 \cdot \sqrt{7} =$ $77 \sqrt{7}$ .

Răspuns: a) $360 \sqrt{3}$ ; b) $77 \sqrt{7}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Se consideră numerele $a =$ $\sqrt{45} + \sqrt{180} - \sqrt{125}$ și $b =$ $\sqrt{80} - \sqrt{20}$ . Arată că $a = 2 b$ și calculează $a \cdot b$ .

Rezolvare pas cu pas

Scoatem factorii: $\sqrt{45} =$ $3 \sqrt{5}$ , $\sqrt{180} =$ $6 \sqrt{5}$ , $\sqrt{125} =$ $5 \sqrt{5}$ .
$a =$ $3 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} =$ $4 \sqrt{5}$ .
$\sqrt{80} =$ $4 \sqrt{5}$ și $\sqrt{20} =$ $2 \sqrt{5}$ , deci $b =$ $4 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} =$ $2 \sqrt{5}$ .
$2 b =$ $2 \cdot 2 \sqrt{5} =$ $4 \sqrt{5} =$ $a$ .
$a \cdot b =$ $4 \sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{5} =$ $8 \cdot {(\sqrt{5})}^{2} =$ $8 \cdot 5 =$ $40$ .

Răspuns: $a = 4 \sqrt{5} = 2 b$ și $a \cdot b = 40$

Cum recunoști un exercițiu cu scoaterea factorilor de sub radical

Numărul de sub radical nu este pătrat perfect, dar se divide cu un pătrat perfect mai mare decât 1 (4, 9, 16, 25, 36…).
Ai de adunat sau de scăzut radicali cu numere diferite sub radical: scoți factorii ca să obții radicali asemenea.
Ai de comparat sau de ordonat numere de forma $a \sqrt{b}$ : introduci factorii sub radical și compari numerele de sub radical.

Greșeli frecvente

Scoți pătratul perfect, nu radicalul lui. $\sqrt{8} =$ $\sqrt{4 \cdot 2}$ , iar în față iese $\sqrt{4} = 2$ , nu 4. Corect: $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .
Uiți să ridici la pătrat la introducere. $3 \sqrt{2}$ nu este $\sqrt{6}$ . Factorul intră ridicat la pătrat: $3 \sqrt{2} =$ $\sqrt{9 \cdot 2} =$ $\sqrt{18}$ .
Te oprești înainte de final. $\sqrt{72} =$ $2 \sqrt{18}$ nu este terminat, pentru că 18 se mai divide cu 9. Corect: $\sqrt{72} =$ $6 \sqrt{2}$ . Alege de la început cel mai mare pătrat perfect sau descompune complet în factori primi.

Exersează

Fișă de lucru: Scoaterea factorilor de sub radical, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Radicali, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Introducerea factorilor sub radical, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Cât este radical din 180 descompus?

$180 =$ $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ , deci $\sqrt{180} =$ $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} =$ $6 \sqrt{5}$ .

Când nu mai pot scoate nimic de sub radical?

Când numărul de sub radical nu se mai divide cu niciun pătrat perfect mai mare decât 1, adică în descompunerea lui toți factorii primi au exponentul 1. De exemplu, $\sqrt{30}$ rămâne așa.

Pot introduce sub radical un factor negativ?

Nu direct. Minusul rămâne în fața radicalului și introduci doar numărul pozitiv: $- 2 \sqrt{3} =$ $- \sqrt{12}$ .

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 16. Scoaterea factorilor de sub radical..

Exersează cu fișa de lucru: Scoaterea factorilor de sub radical — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este rezultatul scoaterii factorilor de sub radical: $\sqrt{12}$ ?
2. Simplificați $\sqrt{50}$ scoțând factorii de sub radical.
3. Care dintre următoarele expresii este forma simplificată a lui $\sqrt{72}$ ?
4. Scoateți factorii de sub radical în expresia $\sqrt{45}$ .
5. Care este forma corectă a lui $\sqrt{200}$ după scoaterea factorilor de sub radical?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 31 mai 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

MODULUL UNUI NUMĂR real, pe axă și în calcule - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

REGULI DE CALCUL CU RADICALI recapitulare completă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

RADICAL DIN 72 descompus în factori - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR REALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

RAȚIONALIZAREA NUMITORULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună