Scoaterea factorilor de sub radical — greșeli frecvente

de Echipa Școala Virtuală31 mai 2026

Scoaterea de sub radical: reguli + 5 exerciții rezolvate

Toată lumea face aceeași greșeală prima dată când vede scoaterea factorilor de sub radical. Scriu $\sqrt{12}$ și zic „nu se poate simplifica”. Sau, și mai rău, scot pe rând câte un număr la întâmplare și sper că iese ceva. Nu-i vina ta dacă ți s-a întâmplat asta — nimeni nu ți-a explicat că radicalul ascunde o logică simplă, nu un truc magic. De fapt, tot ce faci e să descompui numărul din radical în factori, să găsești pătratele perfecte și să le scoți afară. Atât. Sună simplu? Uneori e. Alteori e puțin mai laborios. Dar odată ce înțelegi mecanismul, nu mai ghicești — știi exact ce ai de făcut, la orice exercițiu, indiferent cât de mare e numărul din radical.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege de ce scoți factori de sub radical și ce înseamnă asta de fapt
Vei ști să descompui orice număr în factori primi ca să găsești pătratele perfecte ascunse
Vei ști să simplifici expresii cu radicali fără să ghicești și fără să greșești
Vei recunoaște cele mai frecvente capcane și vei ști exact cum să le eviți

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce înseamnă, de fapt, să scoți factori de sub radical

Hai să zicem că ai $\sqrt{36}$ . Știi că asta e 6. De ce? Pentru că $6 \times 6 = 36$ . Adică 36 e un pătrat perfect. Simplu. Dar ce faci cu $\sqrt{72}$ ? 72 nu e un pătrat perfect, deci nu poți scoate tot afară. Dar poți scoate o parte. Practic, cauți înăuntrul lui 72 un factor care e pătrat perfect — și îl scoți. 72 se poate scrie ca $36 \times 2$ . Iar $\sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ . Uite cum $6 \sqrt{2}$ e forma simplificată a lui $\sqrt{72}$ . Nu ai scăpat de radical complet — dar l-ai micșorat cât s-a putut. Asta e tot ce înseamnă scoaterea factorilor de sub radical: simplifici radicalul până rămâi cu cel mai mic număr posibil înăuntru.

💡 Regula de bază

Dacă $a \geq 0$ și $b \geq 0$ , atunci $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ . Folosești această proprietate ca să separi pătratele perfecte de restul. Un factor iese de sub radical dacă e ridicat la o putere pară — adică dacă apare de două ori (sau de patru ori etc.) în descompunere.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Simplifică $\sqrt{180}$ scoțând factorii de sub radical.

🔢 Rezolvare

$180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2^{2} \times 9 \times 5 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$
$\sqrt{180} = \sqrt{2^{2} \times 3^{2} \times 5}$
$\sqrt{180} = \sqrt{2^{2}} \times \sqrt{3^{2}} \times \sqrt{5}$
$\sqrt{180} = 2 \times 3 \times \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}$

✅ Explicație

Am descompus 180 în factori primi și am grupat ce apare de două ori: $2^{2}$ și $3^{2}$ . Fiecare pereche iese de sub radical ca un singur număr — $2^{2}$ devine 2, $3^{2}$ devine 3. Factorul 5 n-are pereche, rămâne înăuntru. Înmulțim ce a ieșit: $2 \times 3 = 6$ . Rezultatul e $6 \sqrt{5}$ . Verifici ușor: ${(6 \sqrt{5})}^{2} = 36 \times 5 = 180$ . ✓

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Scoți factori la întâmplare, fără să descompui complet. De exemplu, scrii $\sqrt{72} = \sqrt{4 \times 18} = 2 \sqrt{18}$ și te oprești. Dar $\sqrt{18}$ se mai poate simplifica — $18 = 9 \times 2$ , deci $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ . Rezultatul corect e $6 \sqrt{2}$ , nu $2 \sqrt{18}$ .

✅ Corect: Descompune numărul complet în factori primi înainte să scoți ceva. Când lucrezi cu descompunerea completă, nu poți omite nicio pereche. $\sqrt{72} = \sqrt{2^{3} \times 3^{2}} = \sqrt{2^{2} \times 2 \times 3^{2}} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ .

❌ Greșeala #2: Scoți un factor care apare o singură dată în descompunere. Să zicem că ai $\sqrt{30} = \sqrt{2 \times 3 \times 5}$ și zici „scot 2 afară”. Nu poți. 2 apare o singură dată — nu are pereche, nu e pătrat perfect. Rămâne înăuntru.

✅ Corect: Iese de sub radical doar ce apare de un număr par de ori în descompunere. O singură apariție → rămâne înăuntru. Două apariții → iese ca un singur factor. Patru apariții → iese ca doi factori înmulțiți. $\sqrt{30}$ nu se mai simplifică — și asta e un răspuns perfect valid.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Simplifică $\sqrt{50}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Căutăm în 50 un factor pătrat perfect: 50 = 25 × 2, iar 25 este pătrat perfect.

\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}

În descompunerea în factori primi, 50 = 2 × 5 la pătrat: perechea de 5 iese ca un singur 5, iar 2 rămâne sub radical.

Răspuns: $5 \sqrt{2}$

Exercițiul 2. Simplifică $\sqrt{252}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Descompunem în factori primi: 252 = 2 × 126 = 2 × 2 × 63 = 2 × 2 × 9 × 7, adică:

252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7

\sqrt{252} = 2 \times 3 \times \sqrt{7} = 6 \sqrt{7}

Fiecare pereche iese de sub radical ca un singur factor: 2 la pătrat devine 2, 3 la pătrat devine 3. Factorul 7 nu are pereche, rămâne înăuntru. Verificare: 36 × 7 = 252. Corect.

Răspuns: $6 \sqrt{7}$

Exercițiul 3. Simplifică $\sqrt{2^{3} \times 3 \times 5^{2}}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Aici descompunerea e deja făcută. Separăm puterile pare de rest: 2 la puterea a 3-a înseamnă 2 la pătrat înmulțit cu încă un 2.

\sqrt{2^{3} \times 3 \times 5^{2}} = \sqrt{2^{2} \times 5^{2} \times 2 \times 3} = 2 \times 5 \times \sqrt{6} = 10 \sqrt{6}

Perechile complete ies afară ca 2 și 5, deci în față ajunge 10. Factorii fără pereche, 2 × 3 = 6, rămân sub radical. Verificare: 100 × 6 = 600 și 8 × 3 × 25 = 600. Corect.

Răspuns: $10 \sqrt{6}$

Exercițiul 4. Scrie mai simplu $5 \sqrt{12}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Coeficientul 5 din față rămâne pe loc. Simplificăm întâi radicalul: 12 = 4 × 3, iar 4 este pătrat perfect.

\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2 \sqrt{3}

5 \sqrt{12} = 5 \times 2 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}

Ce iese de sub radical se înmulțește cu ce era deja în față: 5 × 2 = 10. Verificare: ambele expresii, ridicate la pătrat, dau 300. Corect.

Răspuns: $10 \sqrt{3}$

Exercițiul 5. Provocare: calculează $3 \sqrt{72} - 2 \sqrt{50}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Nu putem scădea direct radicali diferiți. Simplificăm întâi fiecare radical: 72 = 36 × 2 și 50 = 25 × 2.

3 \sqrt{72} = 3 \times 6 \sqrt{2} = 18 \sqrt{2}

2 \sqrt{50} = 2 \times 5 \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}

Acum ambii termeni conțin același radical, deci putem scădea coeficienții:

18 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}

Exact ca la 18 mere minus 10 mere: scazi coeficienții, radicalul rămâne același. Fix pentru asta simplificăm radicalii înainte de adunări și scăderi.

Răspuns: $8 \sqrt{2}$

Întrebări frecvente

Cum știu dacă am simplificat complet sau mai pot scoate ceva?

Verifici numărul rămas sub radical. Dacă în descompunerea lui în factori primi niciun factor nu apare de două ori sau mai mult, ai terminat. De exemplu, $\sqrt{6}$ nu se mai simplifică — $6 = 2 \times 3$ , fiecare apare o singură dată. Dacă mai găsești o pereche, mai ai de lucru.

Ce fac dacă numărul din radical e foarte mare și nu știu de unde să încep descompunerea?

Împarți la cel mai mic număr prim posibil — începi cu 2, dacă e par. Dacă nu e par, încerci cu 3, apoi cu 5, cu 7 și tot așa. Nu trebuie să ghicești — mergi metodic. Câteodată durează puțin mai mult, dar funcționează pentru orice număr. Caietul de ciorne e prietenul tău la exercițiile astea.

Trebuie să știu pe de rost pătratele perfecte sau e suficient să descompun?

Descompunerea în factori primi merge la orice, deci e metoda sigură. Dar dacă știi câteva pătrate perfecte pe de rost — $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 100$ — rezolvi unele exerciții mai rapid. Nu e obligatoriu, dar te ajută să câștigi timp. Până le memorezi natural, descompunerea completă e perfect în regulă.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 16. Scoaterea factorilor de sub radical..

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Textul narativ ficțional explicat cu exemple, clasele 5-8

9 august 2026

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună