C.M.M.D.C. PRIN ALGORITMUL LUI EUCLID - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Pentru numere mari, c.m.m.d.c. se află rapid prin algoritmul lui Euclid, adică prin împărțiri succesive, fără să descompui nimic în factori primi. Mai jos găsești metoda pas cu pas și 8 exerciții rezolvate, de la ușor la greu.

C.m.m.d.c. prin algoritmul lui Euclid

C.m.m.d.c. al două numere este cel mai mare număr natural care le împarte pe amândouă exact. Pentru numere mici, metoda cu descompunerea în factori primi e rapidă. Pentru numere mari sau greu de descompus, e mai bun algoritmul lui Euclid: o serie de împărțiri succesive.

Pașii algoritmului, pentru c.m.m.d.c. $(a, b)$ , cu $a > b$ :

Împarți $a$ la $b$ și notezi restul $r$ .
Dacă $r = 0$ , c.m.m.d.c. este chiar $b$ , ultimul împărțitor. Gata.
Dacă $r \neq 0$ , repeți pasul 1, dar de data asta cu $b$ și $r$ în locul lui $a$ și $b$ .

Cu alte cuvinte, la fiecare pas noul „ $a$ " este vechiul „ $b$ ", iar noul „ $b$ " este restul de la pasul anterior. Algoritmul se oprește când restul devine $0$ , iar c.m.m.d.c. este ultimul rest nenul (adică ultimul împărțitor folosit).

$c.m.m.d.c. (a, b) =$ $c.m.m.d.c. (b, restul lui a la b)$

Avantajul lui Euclid apare clar la numere mari: nu trebuie să găsești niciun factor prim, doar să împarți repetat, exact ca la o împărțire obișnuită cu rest.

Exerciții rezolvate : algoritmul lui Euclid

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Primul exemplu, pas cu pasușor

Determină c.m.m.d.c. $(48, 18)$ folosind algoritmul lui Euclid.

Rezolvare pas cu pas

Împărțim $48$ la $18$ : $48 = 2 \cdot 18 + 12$ . Restul este $12$ , deci continuăm.
Împărțim $18$ la $12$ : $18 = 1 \cdot 12 + 6$ . Restul este $6$ , continuăm.
Împărțim $12$ la $6$ : $12 = 2 \cdot 6 + 0$ . Restul este $0$ , ne oprim.
Ultimul împărțitor folosit a fost $6$ , deci c.m.m.d.c. $(48, 18) = 6$ .

Răspuns: c.m.m.d.c. $(48, 18) = 6$

EXERCIȚIUL 2Al doilea exempluușor

Determină c.m.m.d.c. $(105, 45)$ folosind algoritmul lui Euclid.

Rezolvare pas cu pas

$105 =$ $2 \cdot 45 + 15$ .
$45 = 3 \cdot 15 + 0$ . Restul e $0$ , ne oprim.
Ultimul împărțitor a fost $15$ , deci c.m.m.d.c. $(105, 45) = 15$ .

Răspuns: c.m.m.d.c. $(105, 45) = 15$

EXERCIȚIUL 3Numere prime între elemediu

Arată, folosind algoritmul lui Euclid, că numerele $103$ și $101$ sunt prime între ele.

Rezolvare pas cu pas

$103 =$ $1 \cdot 101 + 2$ .
$101 = 50 \cdot 2 + 1$ .
$2 = 2 \cdot 1 + 0$ . Ne oprim.
Ultimul împărțitor a fost $1$ , deci c.m.m.d.c. $(103, 101) = 1$ : numerele sunt prime între ele.

Răspuns: c.m.m.d.c. $(103, 101) = 1$ , sunt prime între ele

EXERCIȚIUL 4Numere mari, greu de descompusmediu

Determină c.m.m.d.c. $(1071, 462)$ . Observă cât de greoaie ar fi descompunerea în factori primi a lui $1071$ .

Rezolvare pas cu pas

$1071 =$ $2 \cdot 462 + 147$ .
$462 =$ $3 \cdot 147 + 21$ .
$147 = 7 \cdot 21 + 0$ . Ne oprim.
c.m.m.d.c. $(1071, 462) = 21$ , găsit din trei împărțiri, fără să descompunem niciun număr în factori primi.

Răspuns: c.m.m.d.c. $(1071, 462) = 21$

EXERCIȚIUL 5Simplificarea unei fracții marimediu

Simplifică fracția $\frac{858}{195}$ până la forma ireductibilă, folosind algoritmul lui Euclid pentru a găsi c.m.m.d.c. al numărătorului și numitorului.

Rezolvare pas cu pas

$858 =$ $4 \cdot 195 + 78$ .
$195 =$ $2 \cdot 78 + 39$ .
$78 = 2 \cdot 39 + 0$ . Ne oprim, c.m.m.d.c. $(858, 195) = 39$ .
Împărțim ambii termeni la $39$ : $858 : 39 = 22$ și $195 : 39 = 5$ .

Răspuns: $\frac{858}{195} =$ $\frac{22}{5}$

EXERCIȚIUL 6Două frânghii tăiate în bucăți egalemediu

Două frânghii au $4235$ cm și $3395$ cm. Vrei să le tai în bucăți egale, cât mai lungi posibil, fără să rămână resturi. Ce lungime are o bucată și câte bucăți ies în total?

Rezolvare pas cu pas

Lungimea maximă a unei bucăți este c.m.m.d.c. $(4235, 3395)$ .
$4235 =$ $1 \cdot 3395 + 840$ .
$3395 =$ $4 \cdot 840 + 35$ .
$840 =$ $24 \cdot 35 + 0$ . Ne oprim, c.m.m.d.c. = $35$ cm.
Numărul total de bucăți: $(4235 + 3395) : 35 =$ $7630 : 35 =$ $218$ .

Răspuns: Bucăți de $35$ cm, în total $218$ de bucăți

EXERCIȚIUL 7C.m.m.d.c. pentru trei numeregreu

Determină c.m.m.d.c. $(126, 84, 210)$ , aplicând algoritmul lui Euclid de două ori (întâi pentru primele două, apoi pentru rezultat și al treilea număr).

Rezolvare pas cu pas

Găsim întâi c.m.m.d.c. $(126, 84)$ : $126 =$ $1 \cdot 84 + 42$ , apoi $84 = 2 \cdot 42 + 0$ . Deci c.m.m.d.c. $(126, 84) = 42$ .
Acum găsim c.m.m.d.c. $(42, 210)$ : $210 = 5 \cdot 42 + 0$ . Deci c.m.m.d.c. $(42, 210) = 42$ .
c.m.m.d.c. al celor trei numere este $42$ .

Răspuns: c.m.m.d.c. $(126, 84, 210) = 42$

EXERCIȚIUL 8Găsește numărul necunoscutgreu

Determină toate numerele naturale $a$ , cu $20 < a < 40$ , pentru care c.m.m.d.c. $(a, 18) = 6$ .

Rezolvare pas cu pas

Dacă c.m.m.d.c. $(a, 18) = 6$ , atunci $a$ trebuie să fie multiplu de $6$ .
Multiplii lui $6$ între $20$ și $40$ sunt $24$ , $30$ și $36$ .
Verificăm fiecare cu Euclid: c.m.m.d.c. $(24, 18) = 6$ (funcționează). c.m.m.d.c. $(30, 18) = 6$ (funcționează). c.m.m.d.c. $(36, 18) = 18$ , nu $6$ (nu funcționează, pentru că $36$ e și multiplu de $18$ ).
Rămân $a = 24$ și $a = 30$ .

Răspuns: $a = 24$ sau $a = 30$

Cum recunoști un exercițiu pentru algoritmul lui Euclid

Numerele din enunț sunt mari (peste 100) sau greu de descompus în factori primi.
Enunțul cere să arăți că două numere sunt prime între ele.
Apare un context practic de „tăiat în bucăți egale, cât mai mari” sau „simplificat o fracție mare”.

Greșeli frecvente la algoritmul lui Euclid

Confunzi ordinea numerelor la fiecare pas. La fiecare pas nou, împarți vechiul împărțitor la restul obținut, nu invers. Noul „mare” este vechiul „mic”.
Te oprești prea devreme, la primul rest mic, în loc să continui până la rest $0$ . Algoritmul continuă până obții rest exact $0$ . C.m.m.d.c. este ultimul împărțitor folosit, nu primul rest mic.
La trei numere, aplici Euclid o singură dată. Pentru trei sau mai multe numere, aplici algoritmul de mai multe ori: găsești c.m.m.d.c. pentru primele două, apoi combini rezultatul cu următorul număr.

Exersează : algoritmul lui Euclid

Fișă de lucru: Determinarea c.m.m.d.c., clasa a VI-aPDF de printat Test: Divizibilitate, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Determinarea c.m.m.d.c. Numere prime între eleclasa a VI-a, lecția 2

Din același capitol

Întrebări frecvente despre algoritmul lui Euclid

Când e mai bine să folosesc Euclid în loc de descompunere?

Când numerele sunt mari sau greu de descompus în factori primi (de exemplu conțin un factor prim mare, ca $97$ sau $103$ ). Euclid nu are nevoie de factori, doar de împărțiri.

Algoritmul lui Euclid funcționează pentru orice două numere?

Da, pentru oricare două numere naturale nenule, indiferent cât de mari sunt. Se oprește mereu, pentru că resturile scad la fiecare pas.

Ce fac dacă la un pas restul e chiar

0

de la prima împărțire?

Înseamnă că numărul mic împarte exact numărul mare. C.m.m.d.c. este chiar numărul mic din acea pereche.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 4 mai 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate la matematică

PĂTRATUL proprietăți, diagonala și unghiurile de 45° - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

7 octombrie 2026

GRAFICUL UNEI FUNCȚII și punctele de pe grafic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

7 octombrie 2026

COMPARAREA NUMERELOR ÎNTREGI ordonare și modul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

7 octombrie 2026

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR RAȚIONALE cu fracții, zecimale și numere mixte - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

7 octombrie 2026

SISTEME DE ECUAȚII cu text, din viața de zi cu zi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

6 octombrie 2026

POLIGONUL FRECVENȚELOR și tabelul de frecvențe - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

6 octombrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună