Fracții periodice explicat cu exemple din viața reală

Ai împărțit vreodată 10 la 3 la calculator și ai văzut că apare 3.3333333… și că nu se mai oprește? Sau 1 împărțit la 6, care dă 0.16666… la infinit? Aia nu-i o eroare. De fapt, asta sunt fracțiile periodice — numere zecimale care nu se termină niciodată, dar care au un tipar care se repetă. Și tocmai asta le face speciale. Nu sunt haos. Sunt ordine. Dacă știi să recunoști tiparul, poți să transformi orice astfel de număr înapoi într-o fracție obișnuită — adică o fracție cu numărător și numitor întreg. E genul de lucru care la prima vedere pare imposibil de făcut, dar care devine simplu odată ce înțelegi de unde vine ideea.

Ce e, de fapt, o fracție periodică?

Când împarți doi numere întregi, rezultatul poate fi un număr zecimal care se termină — sau unul care nu se termină niciodată, dar se repetă. Uite cum gândesc eu asta: îți imaginezi că iei 1 pizza și o împarți exact la 3 persoane. Nu iese exact. Și dacă tot tai și tot tai, nu ajungi niciodată la zero rest. De aia apare  $\mathrm{0.3333\dots }$  Cifra care se repetă se numește perioadă, iar numărul întreg se numește fracție zecimală periodică. Există două tipuri. Dacă perioada începe imediat după virgulă, avem o fracție periodică simplă — de exemplu  $0.\overline{3}$ . Dacă înainte de perioadă mai sunt niște cifre care nu se repetă, avem o fracție periodică mixtă — de exemplu  $0.1\overline{6}$ . Diferența asta contează enorm când o transformi în fracție ordinară.

Cum transformi o fracție periodică simplă în fracție ordinară

Hai să luăm  $0.\overline{3}$  — adică  $\mathrm{0.3333\dots }$  Ideea e să scapi de infinit printr-un truc elegant. Numești numărul tău  $x$ , înmulțești cu 10 ca să „muți” o perioadă înainte de virgulă, apoi scazi. Practic eliminați infinitul. Uite cum gândesc eu asta: dacă  $x=\mathrm{0.3333\dots }$  și  $10x=\mathrm{3.3333\dots }$ , atunci  $10x-x$  dă exact  $3$ , pentru că zecimalele se anulează. Deci  $9x=3$ , adică  $x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ . Gata. Am transformat un infinit în ceva simplu. Regula generală: numărul de cifre din perioadă îți spune cu câți de 9 stă la numitor. O cifră în perioadă → numitor 9. Două cifre → numitor 99. Trei cifre → numitor 999.

Cum transformi o fracție periodică mixtă în fracție ordinară

Aici e puțin mai mult de lucru — dar tot se poate. Fracția periodică mixtă are o parte care nu se repetă și una care se repetă. Să zicem că avem  $0.1\overline{6}$  — adică  $\mathrm{0.1666\dots }$  Metoda e aceeași: numești numărul  $x$ , dar acum trebuie să înmulțești de două ori ca să poți scădea. Înmulțești o dată cu 10 (ca să muți partea neperiodică înaintea virgulei), apoi cu 100 (ca să muți și o perioadă). Scazi și obții o ecuație simplă. Practic îl „prinzi” pe  $x$  între două numere fără infinit, îl scazi și rezolvi. E același truc, doar că în doi pași în loc de unul.

Exemplu rezolvat pas cu pas

Greșeli frecvente

Exerciții rezolvate

1. Transformă  $0.\overline{7}$  în fracție ordinară. (Răspuns:  $\frac{7}{9}$ )
2. Transformă  $0.\overline{12}$  în fracție ordinară ireductibilă. (Răspuns:  $\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$ )
3. Transformă  $0.3\overline{5}$  în fracție ordinară ireductibilă. (Răspuns:  $\frac{35-3}{90}=\frac{32}{90}=\frac{16}{45}$ )

Întrebări frecvente