FRACȚII PERIODICE simple și mixte, cu exemple - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

1. a) Se repetă cifra $5$, imediat după virgulă: $\mathrm{0,}(5)$, periodică simplă.
2. b) Se repetă grupul $27$, imediat după virgulă: $\mathrm{1,}(27)$, periodică simplă.
3. c) Cifra $8$ apare o singură dată, apoi se repetă $3$: $\mathrm{0,8}(3)$, periodică mixtă.
4. d) Cifra $1$ nu se repetă, apoi se repetă grupul $25$: $\mathrm{4,1}(25)$, periodică mixtă.

Răspuns: a) $\mathrm{0,}(5)$ simplă; b) $\mathrm{1,}(27)$ simplă; c) $\mathrm{0,8}(3)$ mixtă; d) $\mathrm{4,1}(25)$ mixtă

1. $2:3=0$ rest $2$. Punem virgula la cât și adăugăm un zero la rest.
2. $20:3=6$ rest $2$. Restul $2$ s-a repetat, deci cifra $6$ se va repeta la nesfârșit: $2:3=\mathrm{0,}(6)$.
3. $5:11=0$ rest $5$. Continuăm: $50:11=4$ rest $6$, apoi $60:11=5$ rest $5$.
4. Restul $5$ a apărut din nou, deci grupul $45$ se repetă: $5:11=\mathrm{0,}(45)$.

Răspuns: $2:3=\mathrm{0,}(6)$; $5:11=\mathrm{0,}(45)$

1. Împărțim $5:12=0$ rest $5$ și punem virgula la cât.
2. $50:12=4$ rest $2$.
3. $20:12=1$ rest $8$.
4. $80:12=6$ rest $8$. Restul $8$ s-a repetat, deci de aici cifra $6$ se repetă la nesfârșit.
5. Cifrele $4$ și $1$ nu se repetă, iar $6$ se repetă: ${\displaystyle \frac{5}{12}}=$ $\mathrm{0,41}(6)$, o fracție periodică mixtă.

Răspuns: ${\displaystyle \frac{5}{12}}=$ $\mathrm{0,41}(6)$

1. Fiecare primește $10:3$ lei.
2. $10:3=3$ rest $1$; apoi $10:3=3$ rest $1$ și restul se repetă mereu. Deci $10:3=\mathrm{3,}(3)$ lei.
3. Cea mai mică monedă este banul, adică $\mathrm{0,01}$ lei, deci nu putem da $\mathrm{3,333}\dots$ lei. Rotunjim la sutimi: fiecare primește $\mathrm{3,33}$ lei.
4. Cei trei primesc împreună $3\cdot \mathrm{3,33}=$ $\mathrm{9,99}$ lei, deci rămâne un ban care nu se poate împărți în trei.

Răspuns: Fiecare primește $10:3=\mathrm{3,}(3)$ lei, adică aproximativ $\mathrm{3,33}$ lei; rămâne 1 ban.

1. ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ este ireductibilă și $8=$ $2\cdot 2\cdot 2$, doar factori 2: fracție zecimală finită.
2. ${\displaystyle \frac{7}{15}}$ este ireductibilă și $15=3\cdot 5$. Apare factorul 3: fracție periodică.
3. ${\displaystyle \frac{9}{12}}$ nu este ireductibilă. Simplificăm cu 3: ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, iar $4=2\cdot 2$: fracție zecimală finită.
4. ${\displaystyle \frac{11}{40}}$ este ireductibilă și $40=$ $2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$: fracție zecimală finită.
5. ${\displaystyle \frac{4}{7}}$ are numitorul 7, număr prim diferit de 2 și 5: fracție periodică.

Răspuns: Finite: ${\displaystyle \frac{3}{8}}$, ${\displaystyle \frac{9}{12}}$, ${\displaystyle \frac{11}{40}}$. Periodice: ${\displaystyle \frac{7}{15}}$, ${\displaystyle \frac{4}{7}}$.

1. Perioada lui $\mathrm{0,}(4)$ are o cifră, deci la numitor punem un 9: $\mathrm{0,}(4)=$ ${\displaystyle \frac{4}{9}}$.
2. Perioada lui $\mathrm{0,}(18)$ are două cifre, deci la numitor punem 99: $\mathrm{0,}(18)=$ ${\displaystyle \frac{18}{99}}$. Simplificăm cu 9: ${\displaystyle \frac{2}{11}}$.
3. $\mathrm{2,}(3)=$ $2+\mathrm{0,}(3)=$ $2+{\displaystyle \frac{3}{9}}=$ $2+{\displaystyle \frac{1}{3}}$.
4. $2+{\displaystyle \frac{1}{3}}=$ ${\displaystyle \frac{6}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}=$ ${\displaystyle \frac{7}{3}}$.

Răspuns: ${\displaystyle \frac{4}{9}}$; ${\displaystyle \frac{2}{11}}$; ${\displaystyle \frac{7}{3}}$

1. La $\mathrm{0,1}(6)$, cifrele de după virgulă formează $16$, partea neperiodică este $1$. Numărătorul: $16-1=15$.
2. Perioada are o cifră și partea neperiodică are o cifră, deci numitorul este $90$: $\mathrm{0,1}(6)=$ ${\displaystyle \frac{15}{90}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.
3. $\mathrm{1,2}(3)=$ $1+\mathrm{0,2}(3)$. Numărătorul pentru $\mathrm{0,2}(3)$: $23-2=21$, numitorul $90$: $\mathrm{0,2}(3)=$ ${\displaystyle \frac{21}{90}}=$ ${\displaystyle \frac{7}{30}}$.
4. $1+{\displaystyle \frac{7}{30}}=$ ${\displaystyle \frac{30}{30}}+{\displaystyle \frac{7}{30}}=$ ${\displaystyle \frac{37}{30}}$.
5. Verificare: $37:30=$ $\mathrm{1,2333}\dots =$ $\mathrm{1,2}(3)$.

Răspuns: $\mathrm{0,1}(6)=$ ${\displaystyle \frac{1}{6}}$; $\mathrm{1,2}(3)=$ ${\displaystyle \frac{37}{30}}$

1. Împărțim: $30:7=4$ rest $2$; $20:7=2$ rest $6$; $60:7=8$ rest $4$; $40:7=5$ rest $5$; $50:7=7$ rest $1$; $10:7=1$ rest $3$.
2. Restul $3$ este chiar numărătorul de la început, deci cifrele se repetă: ${\displaystyle \frac{3}{7}}=$ $\mathrm{0,}(428571)$.
3. Perioada are 6 cifre. Împărțim $20:6=3$ rest $2$, adică $20=6\cdot 3+2$.
4. După 3 perioade complete (18 cifre), a 20-a cifră este a 2-a cifră din perioadă, adică $2$.

Răspuns: ${\displaystyle \frac{3}{7}}=$ $\mathrm{0,}(428571)$; a 20-a zecimală este $2$.