Fracții periodice explicat cu exemple din viața reală

de Echipa Școala Virtuală26 mai 2026

Fracții periodice: reguli + 5 exerciții rezolvate

Ai împărțit vreodată 10 la 3 la calculator și ai văzut că apare 3.3333333… și că nu se mai oprește? Sau 1 împărțit la 6, care dă 0.16666… la infinit? Aia nu-i o eroare. De fapt, asta sunt fracțiile periodice — numere zecimale care nu se termină niciodată, dar care au un tipar care se repetă. Și tocmai asta le face speciale. Nu sunt haos. Sunt ordine. Dacă știi să recunoști tiparul, poți să transformi orice astfel de număr înapoi într-o fracție obișnuită — adică o fracție cu numărător și numitor întreg. E genul de lucru care la prima vedere pare imposibil de făcut, dar care devine simplu odată ce înțelegi de unde vine ideea.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este o fracție periodică și de ce apare
Vei ști să recunoști perioada unui număr zecimal periodic
Vei știi să transformi o fracție periodică simplă și una mixtă în fracție ordinară
Vei evita cele mai frecvente greșeli pe care le fac elevii la acest subiect

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce e, de fapt, o fracție periodică?

Când împarți doi numere întregi, rezultatul poate fi un număr zecimal care se termină — sau unul care nu se termină niciodată, dar se repetă. Uite cum gândesc eu asta: îți imaginezi că iei 1 pizza și o împarți exact la 3 persoane. Nu iese exact. Și dacă tot tai și tot tai, nu ajungi niciodată la zero rest. De aia apare $0.3333…$ Cifra care se repetă se numește perioadă, iar numărul întreg se numește fracție zecimală periodică. Există două tipuri. Dacă perioada începe imediat după virgulă, avem o fracție periodică simplă — de exemplu $0. 3$ . Dacă înainte de perioadă mai sunt niște cifre care nu se repetă, avem o fracție periodică mixtă — de exemplu $0.1 6$ . Diferența asta contează enorm când o transformi în fracție ordinară.

💡 Regula de bază

O fracție periodică simplă are forma $0. a$ — perioada începe direct după virgulă. O fracție periodică mixtă are forma $0. b a$ — există cifre înainte de perioadă care nu se repetă. La transformarea în fracție ordinară, metoda diferă pentru fiecare tip.

Cum transformi o fracție periodică simplă în fracție ordinară

Hai să luăm $0. 3$ — adică $0.3333…$ Ideea e să scapi de infinit printr-un truc elegant. Numești numărul tău $x$ , înmulțești cu 10 ca să „muți” o perioadă înainte de virgulă, apoi scazi. Practic eliminați infinitul. Uite cum gândesc eu asta: dacă $x = 0.3333…$ și $10 x = 3.3333…$ , atunci $10 x - x$ dă exact $3$ , pentru că zecimalele se anulează. Deci $9 x = 3$ , adică $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ . Gata. Am transformat un infinit în ceva simplu. Regula generală: numărul de cifre din perioadă îți spune cu câți de 9 stă la numitor. O cifră în perioadă → numitor 9. Două cifre → numitor 99. Trei cifre → numitor 999.

💡 Regula de bază

Pentru fracția periodică simplă $0. a$ : numărătorul este perioada $a$ , iar numitorul este format din atâția de 9 câte cifre are perioada. De exemplu: $0. 27 = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ .

Cum transformi o fracție periodică mixtă în fracție ordinară

Aici e puțin mai mult de lucru — dar tot se poate. Fracția periodică mixtă are o parte care nu se repetă și una care se repetă. Să zicem că avem $0.1 6$ — adică $0.1666…$ Metoda e aceeași: numești numărul $x$ , dar acum trebuie să înmulțești de două ori ca să poți scădea. Înmulțești o dată cu 10 (ca să muți partea neperiodică înaintea virgulei), apoi cu 100 (ca să muți și o perioadă). Scazi și obții o ecuație simplă. Practic îl „prinzi” pe $x$ între două numere fără infinit, îl scazi și rezolvi. E același truc, doar că în doi pași în loc de unul.

💡 Regula de bază

Pentru fracția periodică mixtă $0. b a$ : numărătorul este numărul format din toată partea zecimală (cifre neperiodice + o perioadă) minus cifre neperiodice. Numitorul: atâția de 9 câte cifre are perioada, urmat de atâți de 0 câte cifre neperiodice sunt. Exemplu: $0.1 6$ → numărător $16 - 1 = 15$ , numitor $90$ , deci $\frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ .

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Transformă fracția periodică mixtă $0.2 36$ în fracție ordinară și simplific-o la forma ireductibilă.

🔢 Rezolvare

$x = 0.2363636…$
$10 x = 2.363636… (mutăm cifra neperiodică înainte de virgulă)$
$1000 x = 236.3636… (mutăm și o perioadă înainte de virgulă)$
$1000 x - 10 x = 236.3636… - 2.3636…$
$990 x = 234$
$x = \frac{234}{990}$
$x = \frac{13}{55} (simplificat prin împărțire la 18)$

✅ Explicație

Cheia e scăderea: $1000 x - 10 x$ elimină exact infinitul — cele două șiruri periodice se anulează. Rămâne o ecuație normală cu numere întregi. Înmulțesc cu 10 pentru că am o cifră neperiodică (2), și cu 1000 pentru că am două cifre în perioadă (36). Numitorul $990$ urmează regula: 99 pentru două cifre periodice, urmat de un 0 pentru o cifră neperiodică — exact 990.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: La fracțiile periodice mixte, elevii confundă cu ce să înmulțească. Înmulțesc cu 10 și cu 100 fără să se gândească la câte cifre neperiodice și câte cifre periodice sunt.

✅ Corect: Numără întâi: câte cifre nu se repetă? Atâtea zerouri pui după primul multiplicator. Câte cifre are perioada? Atâtea zerouri pui în plus pentru al doilea multiplicator. Dacă ai 1 cifră neperiodică și 2 cifre periodice, înmulțești cu 10 și cu 1000.

❌ Greșeala #2: Uită să simplifice fracția la final. Obțin $\frac{234}{990}$ și lasă așa, fără să verifice dacă se poate reduce.

✅ Corect: Mereu verifici dacă numărătorul și numitorul au factori comuni. Calculezi CMMDC-ul și împarți amândouă prin el. Fracția ireductibilă e cea în care CMMDC dintre numărător și numitor este 1.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Transformă $0, (7)$ în fracție ordinară.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm $x = 0,777 \dots$ și înmulțim cu 10, ca să mutăm o perioadă înainte de virgulă:

10 x - x = 7,777 \dots - 0,777 \dots = 7

9 x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{9}

Regula scurtă pentru fracția periodică simplă: perioada merge la numărător, iar la numitor punem atâția de 9 câte cifre are perioada. Aici perioada are o cifră, deci numitorul este 9.

Răspuns: $\frac{7}{9}$

Exercițiul 2. Transformă $0, (12)$ în fracție ordinară ireductibilă.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Perioada are două cifre, deci la numitor punem doi de 9, adică 99:

0, (12) = \frac{12}{99}

\frac{12}{99} = \frac{4}{33}

Am simplificat prin 3, singurul factor comun al lui 12 și 99. Cum 4 și 33 nu mai au factori comuni, fracția este ireductibilă.

Răspuns: $\frac{4}{33}$

Exercițiul 3. Transformă $0,3 (5)$ în fracție ordinară ireductibilă.

Vezi rezolvarea pas cu pas

E o fracție periodică mixtă: o cifră neperiodică (3) și o cifră în perioadă (5). Numărătorul este toată partea zecimală minus partea neperiodică, iar numitorul este 90: un 9 pentru cifra din perioadă, urmat de un 0 pentru cifra neperiodică.

0,3 (5) = \frac{35 - 3}{90} = \frac{32}{90}

\frac{32}{90} = \frac{16}{45}

Am simplificat prin 2. Cum 16 și 45 nu au factori comuni, fracția este ireductibilă.

Răspuns: $\frac{16}{45}$

Exercițiul 4. Transformă $1, (6)$ în fracție ordinară ireductibilă.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Partea întreagă o punem deoparte și transformăm doar partea zecimală: $1, (6) = 1 + 0, (6)$ .

0, (6) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

Verificare: 5 împărțit la 3 dă 1,666…, exact numărul din enunț.

Răspuns: $\frac{5}{3}$

Exercițiul 5. Provocare: transformă $0,41 (6)$ în fracție ordinară ireductibilă.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Avem două cifre neperiodice (41) și o cifră în perioadă (6). Numărătorul este 416 minus 41, iar numitorul este 900: un 9 pentru cifra din perioadă, urmat de două zerouri pentru cele două cifre neperiodice.

0,41 (6) = \frac{416 - 41}{900} = \frac{375}{900}

\frac{375}{900} = \frac{5}{12}

Cel mai mare divizor comun al lui 375 și 900 este 75, deci am împărțit ambii termeni prin 75. Verificare: 5 împărțit la 12 dă 0,41666…, exact numărul din enunț.

Răspuns: $\frac{5}{12}$

Întrebări frecvente

Orice fracție ordinară devine fracție periodică dacă o transform în zecimal?

Nu orice fracție. Dacă numitorul fracției ireductibile are doar factorii primi 2 și 5, rezultatul e un zecimal care se termină — se numește zecimal finit. De exemplu $\frac{1}{4} = 0.25$ . Dacă numitorul are și alți factori primi (3, 7, 11…), atunci da — obții un zecimal periodic.

De ce funcționează metoda cu scăderea lui x din 10x sau 1000x?

Pentru că partea infinită e identică în ambele numere. Când scazi, infinitele se anulează exact — rămâi cu un număr finit. E ca și cum ai avea două șiruri identice de cifre după virgulă și le elimini prin scădere. Restul e simplu aritmetică. Asta-i toată magia metodei.

Cum știu dacă am greșit la final — există o verificare rapidă?

Da, și e simplă. Împarte numărătorul la numitor cu calculatorul sau manual. Dacă obții exact numărul zecimal periodic de la care ai plecat, ai rezolvat corect. De exemplu: dacă ai obținut $\frac{1}{6}$ , verifici: $1 \div 6 = 0.1666…$ — adică $0.1 6$ . Bingo.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună