INTERSECȚIA MULȚIMILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Intersecția a două mulțimi, $A \cap B$ , conține doar elementele care se află în ambele mulțimi în același timp. Mai jos găsești notația, proprietățile și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, strict pe operația de intersecție, de la ușor la greu.

Intersecția mulțimilor: definiție și proprietăți

Presupunem cunoscute descrierea și notațiile de bază ale mulțimilor. Aici ne oprim strict asupra operației de intersecție; pentru reuniune și diferență, vezi operații cu mulțimi.

Definiție. Intersecția mulțimilor $A$ și $B$ este mulțimea elementelor comune, care aparțin în același timp și lui $A$ , și lui $B$ :

$A \cap B =$ ${x | x \in A și x \in B}$

Dacă un element e doar în $A$ sau doar în $B$ , nu intră în intersecție. Doar ce e comun trece.

Proprietăți. Intersecția este comutativă ( $A \cap B = B \cap A$ ) și asociativă ( $(A \cap B) \cap C =$ $A \cap (B \cap C)$ ). Dacă $A \subseteq B$ , atunci $A \cap B = A$ . Orice mulțime intersectată cu mulțimea vidă dă mulțimea vidă: $A \cap ⌀ =$ $⌀$ .

Cazul special. Dacă $A \cap B =$ $⌀$ , mulțimile se numesc disjuncte - nu au niciun element comun.

Un truc simplu care te scapă de confuzii: pentru fiecare element din prima mulțime, pui o singură întrebare - „e și în a doua mulțime?" Dacă răspunsul e da, elementul intră în intersecție; dacă e nu, îl elimini. Nu trebuie să verifici și invers, plecând de la a doua mulțime, pentru că ai obține exact aceleași elemente comune.

Ideea de „element comun" apare des și în afara matematicii, chiar dacă nu îi spui așa: doi prieteni care compară listele de invitați la o petrecere, doi profesori care compară listele de elevi corigenți, sau tu care compari materiile pe care le ai atât luni, cât și miercuri. De fiecare dată, cauți exact ce se regăsește în ambele liste, iar restul rămâne în afara intersecției.

Exerciții rezolvate : intersecția mulțimilor

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aplicare directăușor

Se dau mulțimile $A =$ ${3,$ $6,$ $9,$ $12,$ $15}$ și $B =$ ${2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $12}$ . Determină $A \cap B$ .

Rezolvare pas cu pas

Verific fiecare element din $A$ : este și în $B$ ?
$3 \notin B$ , $6 \in B$ , $9 \notin B$ , $12 \in B$ , $15 \notin B$ .
Doar $6$ și $12$ trec testul dublu.

Răspuns: $A \cap B = {6, 12}$

EXERCIȚIUL 2O mulțime inclusă în cealaltăușor

Se dau $A =$ ${x \in ℕ | x \leq 12}$ și $B =$ ${x \in ℕ | x par,$ $x \leq 12}$ . Determină $A \cap B$ .

Rezolvare pas cu pas

Scriem mulțimile prin enumerare: $A =$ ${0,$ $1,$ $2,$ $\dots,$ $12}$ și $B =$ ${0,$ $2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12}$ .
Fiecare element al lui $B$ este și în $A$ , deci $B \subseteq A$ .
Când o mulțime e inclusă în cealaltă, intersecția este chiar mulțimea mai mică: $A \cap B = B$ .

Răspuns: $A \cap B =$ ${0,$ $2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12}$

EXERCIȚIUL 3Trei mulțimimediu

Se dau $A =$ ${2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12}$ , $B = {3, 6, 9, 12}$ și $C = {4, 8, 12, 16}$ . Determină $(A \cap B) \cap C$ .

Rezolvare pas cu pas

Calculăm întâi paranteza: $A \cap B$ . Elementele comune lui $A$ și $B$ sunt $6$ și $12$ , deci $A \cap B = {6, 12}$ .
Intersectăm rezultatul cu $C$ : din ${6, 12}$ , doar $12$ e și în $C$ .
Datorită asociativității, ordinea în care grupezi cele trei mulțimi nu schimbă rezultatul final.

Răspuns: $(A \cap B) \cap C =$ ${12}$

EXERCIȚIUL 4Divizorii a două numeremediu

$A$ este mulțimea divizorilor naturali ai lui $30$ , iar $B$ este mulțimea divizorilor naturali ai lui $45$ . Determină $A \cap B$ .

Rezolvare pas cu pas

Scriem divizorii fiecărui număr: $A =$ ${1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $6,$ $10,$ $15,$ $30}$ și $B =$ ${1,$ $3,$ $5,$ $9,$ $15,$ $45}$ .
Comparăm listele și păstrăm doar valorile comune: $1, 3, 5$ și $15$ apar în ambele.
Intersecția divizorilor a două numere este chiar mulțimea divizorilor celui mai mare divizor comun al lor; aici c.m.m.d.c.(30, 45) = 15, iar divizorii lui $15$ sunt exact valorile găsite.

Răspuns: $A \cap B =$ ${1,$ $3,$ $5,$ $15}$

EXERCIȚIUL 5Mulțimi date prin proprietatemediu

Se dau $A =$ ${x \in ℕ | x par,$ $x \leq 20}$ și $B =$ ${x \in ℕ | x multiplu de 3,$ $x \leq 20}$ . Determină $A \cap B$ .

Rezolvare pas cu pas

Scriem mulțimile prin enumerare: $A =$ ${0,$ $2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12,$ $14,$ $16,$ $18,$ $20}$ și $B =$ ${0,$ $3,$ $6,$ $9,$ $12,$ $15,$ $18}$ .
Comparăm și păstrăm ce e comun: numerele pare care sunt și multipli de $3$ sunt exact multiplii de $6$ .
Din listă: $0, 6, 12, 18$ .

Răspuns: $A \cap B =$ ${0,$ $6,$ $12,$ $18}$

EXERCIȚIUL 6Cercurile de la școalăgreu

Într-o școală, $45$ de elevi participă la cercul de robotică, $30$ participă la cercul de șah, iar $12$ elevi participă la ambele cercuri. Câți elevi, în total, participă la cel puțin unul dintre cele două cercuri?

Rezolvare pas cu pas

Notăm $R$ mulțimea elevilor de la robotică și $S$ mulțimea celor de la șah; $R \cap S$ sunt cei $12$ care fac ambele.
Dacă aduni direct $45 + 30$ , numeri de două ori cei $12$ elevi din intersecție.
Formula corectă este $n (R \cup S) =$ $n (R) + n (S) - n (R \cap S) =$ $45 + 30 - 12 =$ $63$ .

Răspuns: 63 de elevi

EXERCIȚIUL 7Reconstituirea unui cardinalgreu

Se știe că $n (A) = 25$ , $n (A \cup B) = 40$ și $n (A \cap B) = 8$ . Calculează $n (B)$ .

Rezolvare pas cu pas

Formula reuniunii este $n (A \cup B) =$ $n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ .
Înlocuim: $40 = 25 + n (B) - 8$ , adică $40 = 17 + n (B)$ .
$n (B) = 40 - 17 = 23$ .

Răspuns: $n (B) = 23$

EXERCIȚIUL 8Reconstituirea unei mulțimigreu

Determină mulțimea $A$ , știind că $A \cap B = {2, 5}$ , $A \cup B =$ ${1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6}$ și $B =$ ${2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6}$ .

Rezolvare pas cu pas

Elementele lui $A$ sunt de două feluri: cele comune cu $B$ (adică $A \cap B$ ) și cele care sunt doar în $A$ , nu și în $B$ .
Elementele „doar în $A$ ” sunt cele din $A \cup B$ care nu apar în $B$ : din ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ scoatem ${2, 3, 4, 5, 6}$ și rămâne ${1}$ .
Reconstituim $A$ din cele două bucăți: $A =$ ${2,$ $5} \cup {1} =$ ${1,$ $2,$ $5}$ .

Răspuns: $A = {1, 2, 5}$

Cum recunoști un exercițiu pe intersecția mulțimilor

Apare simbolul $\cap$ sau cuvântul „comune”: cauți elementele care sunt în ambele mulțimi deodată.
Se dă o mulțime prin proprietate (nu prin enumerare): scrii întâi mulțimea explicit, apoi calculezi.
Apare o problemă cu text și cuvântul „ambele” sau „amândouă”: foloseste formula $n (A \cup B) =$ $n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ .

Greșeli frecvente la intersecția mulțimilor

Pui în intersecție elemente care sunt doar într-una dintre mulțimi. Intersecția conține NUMAI elementele comune. Dacă un element e doar în $A$ sau doar în $B$ , nu intră.
Confunzi intersecția cu reuniunea. Simbolul $\cap$ „strânge” doar ce e comun; $\cup$ adună tot. Nu sunt aceeași operație.
La probleme cu cardinale, aduni pur și simplu cele două numere. Dacă mulțimile au elemente comune, aduni de două ori acele elemente. Scazi cardinalul intersecției: $n (A \cup B) =$ $n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ .

Exersează : intersecția mulțimilor

Fișă de lucru: Operații cu mulțimi, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Mulțimi, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Operații cu mulțimiclasa a VI-a, mulțimi, lecția 4

Din același capitol

Întrebări frecvente despre intersecția mulțimilor

Ce diferență e între intersecție și reuniune?

Intersecția ( $\cap$ ) păstrează doar elementele comune celor două mulțimi. Reuniunea ( $\cup$ ) adună toate elementele din ambele, fără repetiții.

Ce se întâmplă dacă mulțimile nu au elemente comune?

Intersecția este mulțimea vidă, $A \cap B =$ $⌀$ . Mulțimile se numesc disjuncte.

Pot calcula intersecția a trei mulțimi deodată?

Da. Calculezi în doi pași: mai întâi intersecția a două dintre ele, apoi intersectezi rezultatul cu a treia. Datorită asociativității, ordinea nu contează.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 30 mai 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate la matematică

PĂTRATUL proprietăți, diagonala și unghiurile de 45° - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

7 octombrie 2026

GRAFICUL UNEI FUNCȚII și punctele de pe grafic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

7 octombrie 2026

COMPARAREA NUMERELOR ÎNTREGI ordonare și modul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

7 octombrie 2026

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR RAȚIONALE cu fracții, zecimale și numere mixte - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

7 octombrie 2026

SISTEME DE ECUAȚII cu text, din viața de zi cu zi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

6 octombrie 2026

POLIGONUL FRECVENȚELOR și tabelul de frecvențe - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

6 octombrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună