Intersecția mulțimilor — definiție, proprietăți și exemple

📌 Ce vei învăța

• Vei înțelege ce este intersecția mulțimilor și cum o recunoști imediat
• Vei ști să scrii corect intersecția folosind simbolul matematic și notațiile standard
• Vei putea rezolva exerciții cu intersecția mulțimilor fără să te blochezi la notații
• Vei evita cele mai frecvente greșeli pe care le fac elevii la acest capitol

💡 Regula de bază

Intersecția mulțimilor  $A$  și  $B$  se notează  $A\cap B$  și conține toate elementele  $x$  care aparțin și lui  $A$ , și lui  $B$  în același timp. Formal:  $A\cap B=\{x|x\in A\text{ și }x\in B\}$ . Dacă nu există niciun element comun, intersecția este mulțimea vidă:  $A\cap B=\varnothing$ .

💡 Proprietăți esențiale

Intersecția este comutativă:  $A\cap B=B\cap A$ . Este și asociativă:  $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ . Dacă  $A\subseteq B$ , atunci  $A\cap B=A$  — adică intersecția cu o mulțime mai mică o dă pe cea mai mică. Și orice mulțime intersectată cu mulțimea vidă dă mulțimea vidă:  $A\cap \varnothing =\varnothing$ .

📝 Enunț

Se dau mulțimile  $A=\{1,3,5,7,9,11\}$  și  $B=\{3,6,9,12,15\}$ . Determină  $A\cap B$ .

🔢 Rezolvare

$$\text{Verific fiecare element din }A\text{: este și în }B\text{?}$$
$$1\in A,1\notin B\Rightarrow \text{nu intră}$$
$$3\in A,3\in B\Rightarrow \text{intră}$$
$$5\in A,5\notin B\Rightarrow \text{nu intră}$$
$$7\in A,7\notin B\Rightarrow \text{nu intră}$$
$$9\in A,9\in B\Rightarrow \text{intră}$$
$$11\in A,11\notin B\Rightarrow \text{nu intră}$$
$$A\cap B=\{3,9\}$$

✅ Explicație

Am mers element cu element prin  $A$  și am pus fiecare la testul dublu: e și în  $B$ ? Numai 3 și 9 au trecut testul. Nu trebuia să mă uit și prin  $B$  separat — dacă verific tot  $A$ , găsesc tot ce e comun. Metoda asta funcționează la orice exercițiu cu intersecția, indiferent cât de mari sunt mulțimile.

❌ Greșeala #1: Pun în intersecție elemente care sunt doar într-una dintre mulțimi. De exemplu, din exemplul de mai sus, unii pun și 1, 5, 6, 11 în  $A\cap B$  pentru că „sunt în una dintre ele”.

✅ Corect: Intersecția conține NUMAI elementele comune — adică cele care trec testul dublu. Dacă un element e doar într-o mulțime, nu intră. Nici vorbă. Reuniunea e operația care adună toate elementele — intersecția e mult mai restrictivă.

❌ Greșeala #2: Confundarea intersecției cu reuniunea. Elevii scriu  $A\cap B=\{1,3,5,6,7,9,11,12,15\}$  — adică toate elementele din ambele mulțimi. Asta e reuniunea, nu intersecția.

✅ Corect: Ține minte:  $\cap$  e potcoava cu gura în jos — gândește-te că „strânge” doar ce e comun, ca o pâlnie îngustă.  $\cup$  e cu gura în sus — adună tot. Diferența dintre simboluri îți spune diferența dintre operații.

❌ Greșeala #3: Scrierea greșită a mulțimii vide. Dacă nu există elemente comune, unii scriu  $A\cap B=\{0\}$  sau  $A\cap B=0$ .

✅ Corect: Mulțimea vidă se scrie  $\varnothing$  sau  $\{\}$  — niciodată  $\{0\}$ , pentru că  $\{0\}$  e o mulțime cu un element (numărul zero), nu o mulțime goală. Sunt două lucruri complet diferite.

Exercițiul 1. Se dau mulțimile $A=\{2,4,6,8\}$ și $B=\{1,2,3,4\}$. Determină $A\cap B$.

Exercițiul 2. Se dau $A=\{x\in \mathbb{N}|x\le 10\}$ și $B=\{x\in \mathbb{N}|x\text{este par și}x\le 10\}$. Determină $A\cap B$.

Exercițiul 3. Se dau $A=\{1,3,5,7\}$, $B=\{2,4,6,8\}$ și $C=\{1,2,3,4,5\}$. Determină $(A\cap C)\cap B$.

Exercițiul 4. $A$ este mulțimea divizorilor lui $24$, iar $B$ este mulțimea divizorilor lui $36$. Determină $A\cap B$.

Exercițiul 5. Provocare: Într-o clasă de $30$ de elevi, $18$ practică fotbal, $15$ practică baschet, iar $8$ practică ambele sporturi. Câți elevi din clasă nu practică niciunul dintre cele două sporturi?