TEOREMA CATETEI în triunghiul dreptunghic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză: $A B^{2} = B C \cdot B D$ . Mai jos găsești teorema cu figură, reciproca, legătura cu teorema înălțimii și cu Pitagora și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Teorema catetei: enunț, formule și reciprocă

Proiecțiile. În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ ducem înălțimea $A D$ , cu $D$ pe ipotenuza $B C$ . Segmentul $B D$ este proiecția catetei $A B$ pe ipotenuză, iar $D C$ este proiecția catetei $A C$ . Fiecare proiecție are un capăt comun cu cateta ei: $B$ pentru $A B$ , $C$ pentru $A C$ .

B D

este proiecția catetei

A B

, iar

D C

este proiecția catetei

A C

pe ipotenuza

B C

Teorema catetei. Fiecare catetă este medie geometrică între ipotenuză și proiecția ei pe ipotenuză:

$A B^{2} = B C \cdot B D,$ $A C^{2} = B C \cdot D C$

Teorema se demonstrează cu asemănarea: triunghiurile $D B A$ și $A B C$ sunt asemenea, deci $\frac{B D}{A B} =$ $\frac{A B}{B C}$ .

Reciproca. Dacă $D$ este un punct pe latura $B C$ a triunghiului $A B C$ , $A D ⟂ B C$ și $A B^{2} = B C \cdot B D$ , atunci triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ .

Legături utile. Adunând cele două relații obții teorema lui Pitagora: $A B^{2} + A C^{2} =$ $B C \cdot (B D + D C) =$ $B C^{2}$ . Împărțindu-le obții $\frac{A B^{2}}{A C^{2}} =$ $\frac{B D}{D C}$ . Teorema înălțimii, $A D^{2} = B D \cdot D C$ , se folosește des împreună cu teorema catetei.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Cateta din ipotenuză și proiecțieușor

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , iar $A D ⟂ B C$ , cu $D$ pe $B C$ . Știind că $B C = 25$ cm și $B D = 9$ cm, calculează lungimea catetei $A B$ .

Lungimile sunt în enunț:

B C

este împărțită de

D

în două proiecții.

Rezolvare pas cu pas

$B D$ este proiecția catetei $A B$ pe ipotenuză.
Din teorema catetei: $A B^{2} =$ $B C \cdot B D =$ $25 \cdot 9 =$ $225$ .
$A B = \sqrt{225} = 15$ cm.

Răspuns: $A B = 15$ cm

EXERCIȚIUL 2Proiecția din catetă și ipotenuzăușor

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 12$ cm și $B C = 20$ cm. $A D$ este înălțimea dusă pe ipotenuză. Calculează proiecțiile $B D$ și $D C$ .

Rezolvare pas cu pas

Din teorema catetei: $A B^{2} = B C \cdot B D$ , adică $144 = 20 \cdot B D$ .
$B D =$ $144 : 20 =$ $7,2$ cm.
$D C =$ $B C - B D =$ $20 - 7,2 =$ $12,8$ cm.

Răspuns: $B D = 7,2$ cm, $D C = 12,8$ cm

EXERCIȚIUL 3Drumul invers: ipotenuzaușor

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , $A D ⟂ B C$ , $A C = 6$ cm și $C D = 4$ cm. Calculează $B C$ , $B D$ și $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

$C D$ este proiecția catetei $A C$ : $A C^{2} = B C \cdot C D$ , deci $36 = B C \cdot 4$ și $B C = 9$ cm.
$B D =$ $B C - C D =$ $9 - 4 =$ $5$ cm.
Din teorema catetei pentru $A B$ : $A B^{2} =$ $B C \cdot B D =$ $9 \cdot 5 =$ $45$ .
$A B =$ $\sqrt{45} =$ $3 \sqrt{5}$ cm.

Răspuns: $B C = 9$ cm, $B D = 5$ cm, $A B = 3 \sqrt{5}$ cm

EXERCIȚIUL 4Reciproca teoremei cateteimediu

În triunghiul $A B C$ , punctul $D$ este pe latura $B C$ și $A D ⟂ B C$ . Știind că $A B = 10$ cm, $B D = 5$ cm și $B C = 20$ cm, arată că triunghiul $A B C$ este dreptunghic și calculează $A C$ .

Nu am marcat unghiul

A

: faptul că este drept trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

Calculăm: $A B^{2} = 100$ și $B C \cdot B D =$ $20 \cdot 5 =$ $100$ .
Deci $A B^{2} = B C \cdot B D$ , cu $D$ pe $B C$ și $A D ⟂ B C$ . După reciproca teoremei catetei, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ .
$D C = 20 - 5 = 15$ cm, iar din teorema catetei: $A C^{2} =$ $B C \cdot D C =$ $20 \cdot 15 =$ $300$ .
$A C =$ $\sqrt{300} =$ $10 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: $m (∠ B A C) =$ $90^{\circ}$ , $A C = 10 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 5Împreună cu teorema înălțimiimediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , iar $A D$ este înălțimea, cu $A D = 6$ cm și $B D = 4$ cm. Calculează $D C$ , $B C$ și catetele triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Teorema înălțimii: $A D^{2} = B D \cdot D C$ , deci $36 = 4 \cdot D C$ și $D C = 9$ cm.
$B C =$ $B D + D C =$ $4 + 9 =$ $13$ cm.
Teorema catetei: $A B^{2} =$ $B C \cdot B D =$ $13 \cdot 4 =$ $52$ , deci $A B =$ $\sqrt{52} =$ $2 \sqrt{13}$ cm.
$A C^{2} =$ $B C \cdot D C =$ $13 \cdot 9 =$ $117$ , deci $A C =$ $\sqrt{117} =$ $3 \sqrt{13}$ cm.

Răspuns: $D C = 9$ cm, $B C = 13$ cm, $A B = 2 \sqrt{13}$ cm, $A C = 3 \sqrt{13}$ cm

EXERCIȚIUL 6Întâi Pitagora, apoi teorema cateteimediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 9$ cm și $A C = 12$ cm. $A D$ este înălțimea dusă pe ipotenuză. Calculează $B D$ , $D C$ și $A D$ .

Rezolvare pas cu pas

Teorema lui Pitagora: $B C^{2} =$ $9^{2} + 12^{2} =$ $81 + 144 =$ $225$ , deci $B C = 15$ cm.
Teorema catetei: $B D =$ $\frac{A B^{2}}{B C} =$ $\frac{81}{15} =$ $5,4$ cm și $D C =$ $\frac{A C^{2}}{B C} =$ $\frac{144}{15} =$ $9,6$ cm.
Verificare: $5,4 + 9,6 = 15$ .
Teorema înălțimii: $A D^{2} =$ $5,4 \cdot 9,6 =$ $51,84$ , deci $A D = 7,2$ cm.

Răspuns: $B D = 5,4$ cm, $D C = 9,6$ cm, $A D = 7,2$ cm

EXERCIȚIUL 7Catete în raport datgreu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $\frac{A B}{A C} =$ $\frac{3}{4}$ și ipotenuza $B C = 50$ cm. $A D$ este înălțimea. Calculează $B D$ , $D C$ și lungimile catetelor.

Rezolvare pas cu pas

Din teorema catetei: $\frac{A B^{2}}{A C^{2}} =$ $\frac{B C \cdot B D}{B C \cdot D C} =$ $\frac{B D}{D C}$ .
$\frac{B D}{D C} =$ ${(\frac{3}{4})}^{2} =$ $\frac{9}{16}$ . Scriem $B D = 9 k$ și $D C = 16 k$ , cu $9 k + 16 k = 50$ , deci $k = 2$ .
$B D = 18$ cm și $D C = 32$ cm.
$A B^{2} =$ $50 \cdot 18 =$ $900$ , deci $A B = 30$ cm; $A C^{2} =$ $50 \cdot 32 =$ $1600$ , deci $A C = 40$ cm.

Răspuns: $B D = 18$ cm, $D C = 32$ cm, $A B = 30$ cm, $A C = 40$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: dreptunghiul și diagonalagreu

Dreptunghiul $A B C D$ are $A B = 20$ cm și $A D = 15$ cm. Punctul $E$ este piciorul perpendicularei din $D$ pe diagonala $A C$ . a) Arată că $A C = 25$ cm. b) Arată că $A E = 9$ cm. c) Calculează aria triunghiului $D E C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Triunghiul $A D C$ este dreptunghic în $D$ , cu $D C = A B = 20$ cm. Din Pitagora: $A C^{2} =$ $15^{2} + 20^{2} =$ $225 + 400 =$ $625$ , deci $A C = 25$ cm.
b) În triunghiul $A D C$ , $D E$ este înălțimea pe ipotenuza $A C$ , iar $A E$ este proiecția catetei $A D$ . Teorema catetei: $A D^{2} = A C \cdot A E$ , deci $225 = 25 \cdot A E$ și $A E = 9$ cm.
c) $E C = 25 - 9 = 16$ cm. Teorema înălțimii: $D E^{2} =$ $A E \cdot E C =$ $9 \cdot 16 =$ $144$ , deci $D E = 12$ cm.
Triunghiul $D E C$ este dreptunghic în $E$ : $A_{D E C} =$ $\frac{E C \cdot D E}{2} =$ $\frac{16 \cdot 12}{2} =$ $96$ cm².

Răspuns: a) $A C = 25$ cm; b) $A E = 9$ cm; c) $96$ cm²

Cum recunoști un exercițiu pe teorema catetei

Ai un triunghi dreptunghic cu înălțimea dusă pe ipotenuză și în enunț apar o catetă, ipotenuza sau o proiecție.
Se cere „proiecția catetei pe ipotenuză” sau un segment de pe ipotenuză determinat de piciorul înălțimii.
Apare un dreptunghi sau un pătrat cu o perpendiculară dusă dintr-un vârf pe diagonală: diagonala este ipotenuza unui triunghi dreptunghic.

Greșeli frecvente

Folosești proiecția greșită. Cateta $A B$ merge cu proiecția $B D$ (ambele au capătul $B$ ), nu cu $D C$ . Verifică litera comună.
Înmulțești cateta cu proiecția. Teorema folosește pătratul catetei și produsul dintre ipotenuză și proiecție: $A B^{2} = B C \cdot B D$ , nu $A B = B C \cdot B D$ .
Confunzi teorema catetei cu teorema înălțimii. La teorema înălțimii ambele proiecții se înmulțesc între ele: $A D^{2} = B D \cdot D C$ . La teorema catetei una dintre ele se înlocuiește cu ipotenuza.

Exersează

Fișă de lucru: Teorema catetei, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Relații metrice, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Teorema lui Pitagora, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Ce spune teorema catetei?

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză: $A B^{2} = B C \cdot B D$ .

Ce este proiecția unei catete pe ipotenuză?

Este segmentul de pe ipotenuză cuprins între capătul catetei aflat pe ipotenuză și piciorul înălțimii duse din vârful unghiului drept.

Care este diferența dintre teorema catetei și teorema lui Pitagora?

Teorema catetei leagă o catetă de ipotenuză și de o proiecție. Pitagora leagă cele trei laturi între ele și se obține adunând cele două relații ale teoremei catetei.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 2. Teorema catetei..

Exersează cu fișa de lucru: Teorema catetei — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $A$ , fie $A D$ înălțimea dusă pe ipotenuză $B C$ . Conform teoremei catetei, care este relația corectă pentru cateta $A B$ ?
2. În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $A$ și înălțimea $A D$ pe $B C$ , dacă $B D = 4$ cm și $B C = 9$ cm, cât măsoară cateta $A B$ ?
3. În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $A$ și înălțimea $A D$ pe ipotenuza $B C$ , conform teoremei catetei, relația pentru cateta $A C$ este:
4. În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $A$ , $A D ⟂ B C$ , $D C = 5$ cm și $B C = 20$ cm. Cât măsoară cateta $A C$ ?
5. Elevul Andrei scrie că în triunghiul dreptunghic $A B C$ (unghi drept în $A$ ), cu înălțimea $A D$ pe $B C$ , avem $A B^{2} = B D \cdot D C$ . Afirmația lui este:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 11 mai 2026, actualizat 23 septembrie 2026