Teorema catetei — ce este, cum o aplici și greșeli frecvente

de Echipa Școala Virtuală11 mai 2026

Teorema catetei: enunț, aplicare + 5 exerciții rezolvate

Știi senzația când deschizi o problemă cu triunghi dreptunghic și vezi trei segmente, câteva litere și nu știi de unde să apuci? Teorema catetei e exact genul ăla de subiect care pare complicat la prima vedere — pentru că nimeni nu ți-a explicat de unde vine ideea. Ți se dă o formulă, ți se spune s-o aplici, și cam atât. Dar dacă înțelegi ce se întâmplă de fapt în acel triunghi, totul se schimbă. Promit că după ce citești asta, nu mai dai cu banul când alegi formula. O să știi de ce funcționează, nu doar că funcționează — și asta face toată diferența când rezolvi exerciții la repezeală.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce spune teorema catetei și de unde vine ideea
Vei ști să identifici proiecția catetei pe ipotenuză în orice figură
Vei ști să aplici formula corect, pas cu pas, fără să confunzi elementele
Vei recunoaște cele mai frecvente greșeli și cum le eviți

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Înainte de teoremă: de ce avem nevoie de proiecție

Hai să ne uităm la un triunghi dreptunghic. Are un unghi drept — să zicem în vârful $C$ — și ipotenuza $A B$ . Acum trasăm înălțimea din $C$ pe $A B$ . O numim $C D$ , unde $D$ e piciorul înălțimii pe $A B$ . Practic, $D$ e punctul unde înălțimea atinge ipotenuza. Prin asta, ipotenuza se împarte în două segmente: $A D$ și $D B$ . Acestea se numesc proiecțiile catetelor pe ipotenuză. $A D$ e proiecția catetei $A C$ , iar $D B$ e proiecția catetei $B C$ . Nu-i nimic magic — e pur și simplu umbra fiecărei catete pe ipotenuză, dacă vrei să vizualizezi. Odată ce ai înțeles asta, teorema catetei devine evidentă.

💡 Regula de bază

Teorema catetei spune că fiecare catetă este medie geometrică între ipotenuză și proiecția sa pe ipotenuză. Adică: $A C^{2} = A B \cdot A D$ și $B C^{2} = A B \cdot D B$ . Aici, $A D$ e proiecția catetei $A C$ , iar $D B$ e proiecția catetei $B C$ pe ipotenuza $A B$ .

Cum gândesc eu formula — înainte să o memorezi

Okay, hai să nu sărim direct la formulă. Gândim împreună. Avem triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $C$ . Trasăm înălțimea $C D$ pe $A B$ . Se formează două triunghiuri mai mici: $A C D$ și $C B D$ . Și uite ce e interesant — fiecare dintre ele e asemenea cu triunghiul mare $A B C$ . Adică au aceleași unghiuri, doar mărimi diferite. Și când două triunghiuri sunt asemenea, rapoartele laturilor lor sunt egale. Din asemănarea dintre $A B C$ și $A C D$ obții că $\frac{A C}{A B} = \frac{A D}{A C}$ . Încrucișezi și obții $A C^{2} = A B \cdot A D$ . Nu ai memorat nimic — ai dedus formula din logică. Asta e mult mai util, mai ales când mintea îți joacă feste în mijlocul unui exercițiu.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $C$ , ipotenuza are lungimea $A B = 25$ cm, iar proiecția catetei $A C$ pe ipotenuză este $A D = 9$ cm. Calculează lungimea catetei $A C$ .

🔢 Rezolvare

$A C^{2} = A B \cdot A D$
$A C^{2} = 25 \cdot 9$
$A C^{2} = 225$
$A C = \sqrt{225} = 15 cm$

✅ Explicație

Am aplicat direct teorema catetei: cateta la pătrat e egală cu ipotenuza înmulțită cu proiecția acelei catete pe ipotenuză. Știam ipotenuza și proiecția — înmulțim, scoatem radical. Simplu. Singurul moment unde poți greși e dacă confunzi $A D$ cu $D B$ — de aceea e important să identifici corect, din figură, care proiecție aparține cărei catete.

Al doilea exemplu — când ai proiecțiile, nu ipotenuza

📝 Enunț

În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $C$ , proiecțiile celor două catete pe ipotenuză sunt $A D = 4$ cm și $D B = 9$ cm. Calculează lungimile celor două catete.

🔢 Rezolvare

$A B = A D + D B = 4 + 9 = 13 cm$
$A C^{2} = A B \cdot A D = 13 \cdot 4 = 52 \Rightarrow A C = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13} cm$
$B C^{2} = A B \cdot D B = 13 \cdot 9 = 117 \Rightarrow B C = \sqrt{117} = 3 \sqrt{13} cm$

✅ Explicație

Primul pas, pe care mulți îl sar, e să calculezi ipotenuza întreagă adunând cele două proiecții. Fără $A B$ , nu poți aplica formula. Apoi aplici teorema catetei separat pentru fiecare catetă — fiecare cu proiecția ei. Rezultatele cu radicali sunt corecte, nu te speria dacă nu se simplifică frumos.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii confundă proiecția catetei $A C$ cu proiecția catetei $B C$ . Adică pun în formulă $D B$ în loc de $A D$ pentru cateta $A C$ — și invers. Se întâmplă mai ales când nu există figură desenată.

✅ Corect: Desenează mereu triunghiul și marchează explicit cine e $D$ , unde cade înălțimea. Regula simplă: proiecția catetei $A C$ e segmentul de pe ipotenuză care pornește din același vârf cu cateta — adică din $A$ . Deci $A D$ .

❌ Greșeala #2: Când se dau proiecțiile $A D$ și $D B$ , mulți aplică direct formula fără să calculeze mai întâi ipotenuza $A B$ . Scriu $A C^{2} = A D \cdot D B$ — care e, de fapt, formula înălțimii, nu a catetei.

✅ Corect: Întotdeauna primul pas e $A B = A D + D B$ . Abia după aia aplici $A C^{2} = A B \cdot A D$ . Cele două formule — a catetei și a înălțimii — arată similar, dar sunt diferite. $h^{2} = A D \cdot D B$ e pentru înălțime, nu pentru catetă.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii. Peste tot, $D$ este piciorul înălțimii din $C$ pe ipotenuza $A B$ .

Exercițiul 1. În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $C$ , $A B = 20 cm$ și $A D = 5 cm$ . Calculează cateta $A C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Teorema catetei leagă cateta de propria proiecție și de ipotenuză:

A C^{2} = A D \cdot A B = 5 \cdot 20 = 100

A C = \sqrt{100} = 10 cm

Un singur pas de formulă, apoi extragem radicalul dintr-un pătrat perfect.

Răspuns: $A C = 10 cm$

Exercițiul 2. Proiecțiile celor două catete pe ipotenuză sunt $A D = 3 cm$ și $D B = 12 cm$ . Calculează lungimile celor două catete.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Întâi refacem ipotenuza din cele două proiecții:

A B = A D + D B = 3 + 12 = 15 cm

Apoi aplicăm teorema catetei de două ori, câte o dată pentru fiecare catetă:

A C^{2} = 3 \cdot 15 = 45 \Rightarrow A C = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3 \sqrt{5} cm

B C^{2} = 12 \cdot 15 = 180 \Rightarrow B C = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6 \sqrt{5} cm

La radicali, scoatem în față pătratul perfect (9, respectiv 36) și lăsăm restul sub radical.

Răspuns: $A C = 3 \sqrt{5} cm$ , $B C = 6 \sqrt{5} cm$

Exercițiul 3. Cateta $A C = 12 cm$ , iar proiecția ei pe ipotenuză este $A D = 6 cm$ . Calculează lungimea ipotenuzei $A B$ , apoi a catetei $B C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Aici teorema se folosește „invers": cunoaștem cateta și proiecția ei, deci scoatem ipotenuza din formulă.

A C^{2} = A D \cdot A B \Rightarrow A B = \frac{A C^{2}}{A D} = \frac{144}{6} = 24 cm

Acum știm și cealaltă proiecție: $D B = 24 - 6 = 18 cm$ . Aplicăm din nou teorema catetei:

B C^{2} = 18 \cdot 24 = 432 \Rightarrow B C = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12 \sqrt{3} cm

Verificare cu Pitagora: 144 + 432 = 576, adică exact 24 la pătrat. Corect.

Răspuns: $A B = 24 cm$ , $B C = 12 \sqrt{3} cm$

Exercițiul 4. În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $C$ , ipotenuza $A B = 25 cm$ , iar proiecția $A D = 9 cm$ . Calculează ambele catete.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Prima catetă iese direct din teoremă:

A C^{2} = 9 \cdot 25 = 225 \Rightarrow A C = \sqrt{225} = 15 cm

Pentru a doua avem nevoie de cealaltă proiecție: $D B = 25 - 9 = 16 cm$ .

B C^{2} = 16 \cdot 25 = 400 \Rightarrow B C = \sqrt{400} = 20 cm

Verificare cu Pitagora: 225 + 400 = 625, adică exact 25 la pătrat. Este triunghiul 15-20-25, adică 3-4-5 mărit de 5 ori.

Răspuns: $A C = 15 cm$ , $B C = 20 cm$

Exercițiul 5. Provocare: cateta $A C = 8 cm$ , iar ipotenuza $A B = 16 cm$ . Calculează proiecțiile $A D$ și $D B$ , apoi cateta $B C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scoatem proiecția din teorema catetei:

A D = \frac{A C^{2}}{A B} = \frac{64}{16} = 4 cm

D B = 16 - 4 = 12 cm

B C^{2} = 12 \cdot 16 = 192 \Rightarrow B C = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8 \sqrt{3} cm

Verificare cu Pitagora: 64 + 192 = 256, adică exact 16 la pătrat. Corect.

Răspuns: $A D = 4 cm$ , $D B = 12 cm$ , $B C = 8 \sqrt{3} cm$

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre teorema catetei și teorema înălțimii?

Teorema înălțimii spune că $h^{2} = A D \cdot D B$ — adică înălțimea la pătrat e egală cu produsul celor două proiecții. Teorema catetei spune că $A C^{2} = A B \cdot A D$ — cateta la pătrat e egală cu ipotenuza înmulțită cu proiecția catetei respective. Formulele arată similar, dar elementele sunt diferite. Confuzia asta e cel mai frecvent motiv de greșeală — merită să le scrii una lângă alta și să le compari.

Trebuie să știu și demonstrația teoremei catetei?

La clasa a 8-a, da — demonstrația prin asemănarea triunghiurilor apare destul de des. Ideea de bază e că triunghiul mic $A C D$ e asemenea cu triunghiul mare $A B C$ , iar din egalitatea rapoartelor laturilor omoloage obții direct formula. Dacă înțelegi de ce sunt asemenea (au aceleași unghiuri), demonstrația curge singură — nu trebuie memorată cuvânt cu cuvânt.

Pot aplica teorema catetei în orice triunghi?

Nu. Teorema catetei se aplică doar în triunghiuri dreptunghice — și doar după ce ai trasat înălțimea din vârful unghiului drept pe ipotenuză. Fără unghi drept, nu ai catete, nu ai ipotenuză, nu ai proiecții în sensul ăsta. Dacă triunghiul nu e dreptunghic, teorema nu se aplică deloc.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 2. Teorema catetei..

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună