Teorema fundamentală a asemănării: 5 exerciții rezolvate

📌 Ce vei învăța

• Vei înțelege ce înseamnă că două triunghiuri sunt asemenea și de ce contează asta
• Vei ști să identifici raportul de asemănare și să-l calculezi corect
• Vei ști să aplici teorema fundamentală a asemănării pentru a găsi laturi necunoscute
• Vei recunoaște greșelile clasice pe care le fac toți la acest capitol

💡 Regula de bază

Două triunghiuri sunt asemenea dacă unghiurile lor sunt egale două câte două. Când asta se întâmplă, laturile corespunzătoare sunt proporționale — adică raportul dintre ele e același pentru toate perechile de laturi. Acel raport se numește raport de asemănare și îl notăm  $k$ .

💡 Regula de bază

Dacă triunghiurile  $ABC$  și  $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$  sunt asemenea cu raportul  $k$ , atunci orice latură din  $ABC$  împărțită la latura corespunzătoare din  $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$  dă același rezultat  $k$ . Formulat simplu:  $A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{AB}{k}$  sau  $AB=k\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }$ , în funcție de ce cauți.

📝 Enunț

Triunghiurile  $ABC$  și  $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$  sunt asemenea. Se știe că  $AB=12\text{ cm}$ ,  $BC=9\text{ cm}$ ,  $AC=6\text{ cm}$  și  $A^{\prime }{B}^{\prime }=4\text{ cm}$ . Calculează laturile  $B^{\prime }{C}^{\prime }$  și  $A^{\prime }{C}^{\prime }$ .

🔢 Rezolvare

$$k=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{12}{4}=3$$

$$B^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{BC}{k}=\frac{9}{3}=3\text{ cm}$$

$$A^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{AC}{k}=\frac{6}{3}=2\text{ cm}$$

$$\text{Răspuns: }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=3\text{ cm},A^{\prime }{C}^{\prime }=2\text{ cm}$$

✅ Explicație

Primul pas e mereu să găsești raportul  $k$  — și îl găsești din singura pereche de laturi corespunzătoare pe care o cunoști complet ( $AB$  și  $A^{\prime }{B}^{\prime }$ ). Odată ce ai  $k=3$ , înseamnă că triunghiul  $ABC$  e de trei ori mai mare. Deci laturile lui  $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$  sunt de trei ori mai mici. Împarți și gata — nu e mai complicat de atât.

❌ Greșeala #1: Elevii amestecă ordinea laturilor și împart latura mare la latura mare din celălalt triunghi, fără să verifice că sunt cu adevărat corespunzătoare. De exemplu, împart  $AB$  cu  $B^{\prime }{C}^{\prime }$  pentru că ambele par „mari” — dar nu sunt pereche.

✅ Corect: Laturile corespunzătoare se stabilesc din unghiurile egale, nu din mărime.  $AB$  corespunde cu  $A^{\prime }{B}^{\prime }$  pentru că sunt opuse aceluiași unghi egal (unghiul  $C$ , respectiv  $C^{\prime }$ ). Verifică întotdeauna perechile de unghiuri înainte să scrii raportul.

❌ Greșeala #2: Confundarea direcției raportului. Unii scriu  $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$  în loc de  $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$  și apoi aplică formula invers — înmulțesc când trebuie să împartă, sau invers.

✅ Corect: Stabilește de la început care triunghi e „primul” și ține ordinea asta pe tot parcursul exercițiului. Dacă  $k=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=3$ , atunci orice latură din  $ABC$  împărțită la corespondenta ei din  $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$  dă  $3$ . Nu schimba ordinea la mijlocul problemei.

Exercițiul 1. Triunghiurile $MNP$ și $M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }$ sunt asemenea cu raportul $k=2$. Dacă $MN=10\text{cm}$, cât este $M^{\prime }{N}^{\prime }$?

Exercițiul 2. Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt asemenea. $AB=15\text{cm}$, $DE=5\text{cm}$, $EF=4\text{cm}$. Calculează $BC$.

Exercițiul 3. Două triunghiuri asemenea au laturile unui triunghi egale cu $8\text{cm}$, $12\text{cm}$ și $16\text{cm}$. Latura cea mai mică a celui de-al doilea triunghi este $6\text{cm}$. Calculează celelalte două laturi ale celui de-al doilea triunghi.

Exercițiul 4. În triunghiul $ABC$, punctul $M$ e pe latura $AB$ și punctul $N$ pe latura $AC$, astfel încât $MN\parallel BC$. Știind că $AM=4\text{cm}$, $AB=10\text{cm}$ și $BC=15\text{cm}$, calculează $MN$.

Exercițiul 5. Provocare: în triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$, cu $M$ pe $AB$ și $N$ pe $AC$. Se știe că $AM=6\text{cm}$, $MB=4\text{cm}$, iar perimetrul triunghiului $ABC$ este $45\text{cm}$. Calculează perimetrul triunghiului $AMN$.