TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 24 septembrie 2026

Teorema fundamentală a asemănării spune că o paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat. Mai jos găsești enunțul cu figură, raportul de asemănare, ce se întâmplă cu perimetrele și cu ariile și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Teorema fundamentală a asemănării: enunț, raportul de asemănare și consecințe

Teorema fundamentală a asemănării. O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu triunghiul dat. În triunghiul $A B C$ , cu $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ :

Din

M N ∥ B C

rezultă

△ A M N \sim △ A B C

$M N ∥ B C \Rightarrow$ $△ A M N \sim △ A B C$

Ordinea literelor contează. Scrii vârfurile care se corespund pe aceleași poziții: $A$ cu $A$ , $M$ cu $B$ , $N$ cu $C$ . Așa citești imediat ce laturi se împart una la alta.

Raportul de asemănare $k$ este același pentru toate cele trei perechi de laturi:

$k =$ $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{A N}{A C} =$ $\frac{M N}{B C}$

Unghiurile se păstrează: $∠ A M N \equiv ∠ A B C$ și $∠ A N M \equiv ∠ A C B$ , pentru că sunt unghiuri corespondente formate de paralelele $M N$ și $B C$ cu secantele $A B$ și $A C$ .

Perimetrele se împart în același raport $k$ :

$\frac{P_{A M N}}{P_{A B C}} =$ $k$

Ariile se împart în raportul $k^{2}$ :

$\frac{𝒜_{A M N}}{𝒜_{A B C}} =$ $k^{2}$

Atenție la diferența față de teorema lui Thales. Thales îți dă doar segmentele de pe laturile $A B$ și $A C$ , prin proporția $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{N C}$ . Segmentul $M N$ apare abia aici, la teorema fundamentală a asemănării.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Raportul de asemănare și latura MNușor

În triunghiul $A B C$ , $M \in (A B)$ , $N \in (A C)$ și $M N ∥ B C$ . Știind că $A B = 12$ cm, $A M = 4$ cm și $B C = 21$ cm, calculează raportul de asemănare și lungimea lui $M N$ .

Rezolvare pas cu pas

Cum $M N ∥ B C$ , din teorema fundamentală a asemănării: $△ A M N \sim △ A B C$ .
Raportul de asemănare este $k =$ $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{4}{12} =$ $\frac{1}{3}$ .
Același raport se păstrează și pentru $M N$ și $B C$ : $\frac{M N}{B C} =$ $\frac{1}{3}$ .
$M N =$ $\frac{21}{3} =$ $7$ cm.

Răspuns: $k = \frac{1}{3}$ și $M N = 7$ cm

EXERCIȚIUL 2Două laturi dintr-o datăușor

În triunghiul $A B C$ avem $A B = 9$ cm, $A C = 15$ cm și $B C = 18$ cm. Punctele $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ sunt astfel încât $M N ∥ B C$ și $A M = 3$ cm. Calculează $A N$ și $M N$ .

Rezolvare pas cu pas

Din teorema fundamentală a asemănării, $△ A M N \sim △ A B C$ .
$k =$ $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{3}{9} =$ $\frac{1}{3}$ .
Din $\frac{A N}{A C} =$ $\frac{1}{3}$ obții $A N =$ $\frac{15}{3} =$ $5$ cm.
Din $\frac{M N}{B C} =$ $\frac{1}{3}$ obții $M N =$ $\frac{18}{3} =$ $6$ cm.

Răspuns: $A N = 5$ cm și $M N = 6$ cm

EXERCIȚIUL 3Când ți se dau bucățile laturiiușor

În triunghiul $A B C$ , $M \in (A B)$ , $N \in (A C)$ și $M N ∥ B C$ . Știind că $A M = 6$ cm, $M B = 4$ cm și $B C = 15$ cm, calculează $M N$ .

Rezolvare pas cu pas

Raportul de asemănare se scrie cu laturile întregi, deci îți trebuie $A B$ : $A B =$ $A M + M B =$ $6 + 4 =$ $10$ cm.
$k =$ $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{6}{10} =$ $\frac{3}{5}$ .
Din $\frac{M N}{B C} =$ $\frac{3}{5}$ obții $M N =$ $\frac{3 \cdot 15}{5}$ .
$M N = 9$ cm.

Răspuns: $M N = 9$ cm

EXERCIȚIUL 4Perimetrul triunghiului micmediu

În triunghiul $A B C$ , $M \in (A B)$ , $N \in (A C)$ și $M N ∥ B C$ , cu $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{2}{5}$ . Perimetrul triunghiului $A B C$ este de $40$ cm. Calculează perimetrul triunghiului $A M N$ .

Rezolvare pas cu pas

Din teorema fundamentală a asemănării, $△ A M N \sim △ A B C$ , cu $k = \frac{2}{5}$ .
La triunghiuri asemenea, perimetrele se află în același raport ca laturile: $\frac{P_{A M N}}{P_{A B C}} =$ $k$ .
$P_{A M N} =$ $\frac{2}{5} \cdot 40$ .
$P_{A M N} = 16$ cm.

Răspuns: $P_{A M N} = 16$ cm

EXERCIȚIUL 5Aria triunghiului micmediu

În triunghiul $A B C$ , $M \in (A B)$ , $N \in (A C)$ și $M N ∥ B C$ , cu $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{3}{4}$ . Aria triunghiului $A B C$ este de $48$ cm². Calculează aria triunghiului $A M N$ .

Rezolvare pas cu pas

Din teorema fundamentală a asemănării, $△ A M N \sim △ A B C$ , cu $k = \frac{3}{4}$ .
La triunghiuri asemenea, raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: $\frac{𝒜_{A M N}}{𝒜_{A B C}} =$ $k^{2}$ .
$k^{2} =$ ${(\frac{3}{4})}^{2} =$ $\frac{9}{16}$ .
$𝒜_{A M N} =$ $\frac{9}{16} \cdot 48 =$ $27$ cm².

Răspuns: $𝒜_{A M N} =$ $27$ cm²

EXERCIȚIUL 6Paralela taie prelungirile laturilormediu

În triunghiul $A B C$ , $A B = 6$ cm și $B C = 9$ cm. Pe prelungirea laturii $A B$ , dincolo de $B$ , se ia punctul $M$ cu $B M = 4$ cm, iar pe prelungirea laturii $A C$ , dincolo de $C$ , punctul $N$ , astfel încât $M N ∥ B C$ . Calculează $M N$ .

Rezolvare pas cu pas

Teorema fundamentală a asemănării merge și pe prelungiri: din $B C ∥ M N$ rezultă $△ A B C \sim △ A M N$ .
$A M =$ $A B + B M =$ $6 + 4 =$ $10$ cm.
Raportul de asemănare este $\frac{A B}{A M} =$ $\frac{6}{10} =$ $\frac{3}{5}$ .
Din $\frac{B C}{M N} =$ $\frac{3}{5}$ obții $3 \cdot M N =$ $5 \cdot 9 =$ $45$ , deci $M N = 15$ cm.

Răspuns: $M N = 15$ cm

EXERCIȚIUL 7Trapezul cu laturile neparalele prelungitegreu

Trapezul $A B C D$ are $A B ∥ C D$ , $A B = 10$ cm și $C D = 6$ cm. Prelungirile laturilor $A D$ și $B C$ se intersectează în punctul $P$ . Știind că $P D = 9$ cm, calculează $P A$ și $A D$ .

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul $P A B$ , punctele $D \in (P A)$ și $C \in (P B)$ , iar $D C ∥ A B$ .
Din teorema fundamentală a asemănării: $△ P D C \sim △ P A B$ .
Raportul de asemănare este $k =$ $\frac{D C}{A B} =$ $\frac{6}{10} =$ $\frac{3}{5}$ .
Din $\frac{P D}{P A} =$ $\frac{3}{5}$ obții $3 \cdot P A =$ $5 \cdot 9 =$ $45$ , deci $P A = 15$ cm.
$A D =$ $P A - P D =$ $15 - 9 =$ $6$ cm.

Răspuns: $P A = 15$ cm și $A D = 6$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: aria trapezului formatgreu

Triunghiul $A B C$ are $B C = 20$ cm și aria de $75$ cm². Punctele $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ sunt astfel încât $M N ∥ B C$ și $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{2}{3}$ . a) Calculează raportul de asemănare al triunghiurilor $A M N$ și $A B C$ . b) Calculează $M N$ . c) Calculează aria trapezului $M B C N$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Din $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{2}{3}$ scrii $A M = 2 t$ și $M B = 3 t$ , deci $A B = 5 t$ .
a) Raportul de asemănare este $k =$ $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{2 t}{5 t} =$ $\frac{2}{5}$ .
b) Din $\frac{M N}{B C} =$ $\frac{2}{5}$ obții $M N =$ $\frac{2 \cdot 20}{5} =$ $8$ cm.
c) Raportul ariilor este $k^{2} = \frac{4}{25}$ , deci $𝒜_{A M N} =$ $\frac{4}{25} \cdot 75 =$ $12$ cm².
c) Trapezul $M B C N$ este ce rămâne din triunghi: $𝒜_{M B C N} =$ $75 - 12 =$ $63$ cm².

Răspuns: a) $k = \frac{2}{5}$ ; b) $M N = 8$ cm; c) $𝒜_{M B C N} =$ $63$ cm²

Cum recunoști un exercițiu pe teorema fundamentală a asemănării

Ai un triunghi și o paralelă la una dintre laturi, iar în enunț apare segmentul dintre cele două puncte ( $M N$ ) sau se cer perimetre ori arii.
Dacă se cer doar bucățile de pe laturi, ca $A M$ , $M B$ , $A N$ , $N C$ , îți ajunge teorema lui Thales. Teorema fundamentală a asemănării o folosești când intră în joc $M N$ , $B C$ , perimetrul sau aria.
Paralela poate tăia și prelungirile laturilor: triunghiul mare și cel mic au tot un vârf comun, iar asemănarea rămâne valabilă.

Greșeli frecvente

Scrii raportul cu $M B$ în loc de $A B$ . Raportul de asemănare se scrie cu laturile întregi ale celor două triunghiuri: $k = \frac{A M}{A B}$ , nu $\frac{A M}{M B}$ . Dacă ai $A M$ și $M B$ , aduni întâi ca să obții $A B$ .
Împarți aria în raportul $k$ . Ariile se împart în raportul $k^{2}$ . Dacă $k = \frac{1}{2}$ , triunghiul mic are jumătate din perimetru, dar un sfert din arie.
Amesteci literele când scrii asemănarea. Ordinea vârfurilor arată corespondența. Din $M N ∥ B C$ scrii $△ A M N \sim △ A B C$ , pentru că $M$ corespunde lui $B$ , iar $N$ lui $C$ .

Exersează

Fișă de lucru: Triunghiuri asemenea, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Asemănarea triunghiurilor, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Criterii de asemănare, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Ce spune teorema fundamentală a asemănării?

O paralelă dusă la o latură a unui triunghi formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat. Din $M N ∥ B C$ rezultă $△ A M N \sim △ A B C$ .

Cu ce diferă de teorema lui Thales?

Thales dă doar proporția dintre segmentele de pe laturile $A B$ și $A C$ . Teorema fundamentală a asemănării dă întreaga asemănare, deci și raportul $\frac{M N}{B C}$ , perimetrele și ariile.

Cum aflu aria triunghiului mic dacă știu raportul de asemănare?

Înmulțești aria triunghiului mare cu $k^{2}$ . De exemplu, pentru $k = \frac{2}{5}$ și aria mare de $75$ cm², aria mică este $\frac{4}{25} \cdot 75 =$ $12$ cm².

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 16 mai 2026, actualizat 24 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

TEOREMA BISECTOAREI în triunghi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TRIUNGHIURI ASEMENEA - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

CAZURILE DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TEOREMA ÎNĂLȚIMII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

TEOREMA CATETEI în triunghiul dreptunghic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

IPOTENUZA ȘI CATETELE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună