TEOREMA LUI THALES și reciproca ei - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Teorema lui Thales spune că o paralelă dusă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale. Mai jos găsești formula cu figură, teorema paralelelor echidistante, reciproca și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Teorema lui Thales: enunț, formula și reciproca

Teorema paralelelor echidistante. Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină segmente congruente pe orice altă secantă.

Dacă

M N ∥ B C

, atunci

\frac{A M}{M B} =

\frac{A N}{N C}

Teorema lui Thales. O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale. În triunghiul $A B C$ , cu $M \in (A B)$ , $N \in (A C)$ :

$M N ∥ B C \Rightarrow$ $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{N C}$

Proporții derivate. Din aceeași proporție obții și $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{A N}{A C}$ și $\frac{M B}{A B} =$ $\frac{N C}{A C}$ . Folosește-le când în enunț apar laturile întregi $A B$ și $A C$ .

Reciproca teoremei lui Thales. Dacă $M \in (A B)$ , $N \in (A C)$ și $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{N C}$ , atunci $M N ∥ B C$ . Cu reciproca demonstrezi că două drepte sunt paralele.

Atenție. Segmentul $M N$ nu apare în teorema lui Thales. Raportul $\frac{M N}{B C}$ se află cu asemănarea triunghiurilor, pe care o studiezi imediat după Thales. Linia mijlocie este cazul particular în care $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor, iar rapoartele sunt egale cu 1.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Teorema paralelelor echidistanteușor

Dreptele paralele $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ sunt tăiate de secanta $s$ în punctele $A$ , $B$ , $C$ și de secanta $t$ în punctele $D$ , $E$ , $F$ . Știind că $A B = B C = 4$ cm și $D E = 5$ cm, calculează $E F$ și $D F$ .

Rezolvare pas cu pas

Pe secanta $s$ , dreptele paralele determină segmentele congruente $A B$ și $B C$ .
După teorema paralelelor echidistante, ele determină segmente congruente și pe secanta $t$ : $E F = D E = 5$ cm.
$D F =$ $D E + E F =$ $5 + 5 =$ $10$ cm.

Răspuns: $E F = 5$ cm, $D F = 10$ cm

EXERCIȚIUL 2Aplicare directă a formuleiușor

În triunghiul $A B C$ , $M \in (A B)$ , $N \in (A C)$ și $M N ∥ B C$ . Știind că $A M = 6$ cm, $M B = 4$ cm și $A N = 9$ cm, calculează $N C$ și $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

Cum $M N ∥ B C$ , din teorema lui Thales: $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{N C}$ , adică $\frac{6}{4} =$ $\frac{9}{N C}$ .
Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $6 \cdot N C =$ $4 \cdot 9 =$ $36$ , deci $N C = 6$ cm.
$A C =$ $A N + N C =$ $9 + 6 =$ $15$ cm.

Răspuns: $N C = 6$ cm, $A C = 15$ cm

EXERCIȚIUL 3Cu laturile întregiușor

În triunghiul $A B C$ , $A B = 15$ cm și $A C = 12$ cm. Punctele $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ sunt astfel încât $M N ∥ B C$ și $A M = 5$ cm. Calculează $A N$ și $N C$ .

Rezolvare pas cu pas

În enunț apar laturile întregi, așa că folosim proporția derivată din teorema lui Thales: $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{A N}{A C}$ .
$\frac{5}{15} =$ $\frac{A N}{12}$ , deci $A N =$ $\frac{5 \cdot 12}{15} =$ $4$ cm.
$N C =$ $A C - A N =$ $12 - 4 =$ $8$ cm.

Răspuns: $A N = 4$ cm, $N C = 8$ cm

EXERCIȚIUL 4Punctele pe prelungirile laturilormediu

În triunghiul $A B C$ , $A B = 8$ cm și $A C = 10$ cm. Pe prelungirea laturii $A B$ , dincolo de $B$ , se ia punctul $M$ cu $B M = 4$ cm, iar pe prelungirea laturii $A C$ , dincolo de $C$ , punctul $N$ , astfel încât $M N ∥ B C$ . Calculează $C N$ și $A N$ .

Rezolvare pas cu pas

Privim triunghiul $A M N$ : $B \in A M$ , $C \in A N$ și $B C ∥ M N$ .
Din teorema lui Thales în triunghiul $A M N$ : $\frac{A B}{B M} =$ $\frac{A C}{C N}$ , adică $\frac{8}{4} =$ $\frac{10}{C N}$ .
$8 \cdot C N = 40$ , deci $C N = 5$ cm.
$A N =$ $A C + C N =$ $10 + 5 =$ $15$ cm.

Răspuns: $C N = 5$ cm, $A N = 15$ cm

EXERCIȚIUL 5Reciproca teoremei lui Thalesmediu

În triunghiul $A B C$ , $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ , cu $A M = 4$ cm, $M B = 6$ cm, $A N = 5$ cm și $N C = 7,5$ cm. Arată că $M N ∥ B C$ .

Nu am marcat paralelismul: el trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

$\frac{A M}{M B} =$ $\frac{4}{6} =$ $\frac{2}{3}$ .
$\frac{A N}{N C} =$ $\frac{5}{7,5} =$ $\frac{50}{75} =$ $\frac{2}{3}$ .
Rapoartele sunt egale: $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{N C}$ , cu $M$ pe $A B$ și $N$ pe $A C$ .
Din reciproca teoremei lui Thales, $M N ∥ B C$ .

Răspuns: $M N ∥ B C$

EXERCIȚIUL 6Cu o ecuațiemediu

În triunghiul $A B C$ , $M \in (A B)$ , $N \in (A C)$ și $M N ∥ B C$ . Știind că $A M = x$ cm, $M B = (x + 3)$ cm, $A N = 4$ cm și $N C = 6$ cm, află $x$ și lungimea laturii $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

Din teorema lui Thales: $\frac{x}{x + 3} =$ $\frac{4}{6}$ .
Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $6 x = 4 (x + 3)$ , adică $6 x = 4 x + 12$ .
$2 x = 12$ , deci $x = 6$ . Atunci $A M = 6$ cm și $M B = 9$ cm.
$A B = 6 + 9 = 15$ cm. Verificare: $\frac{6}{9} =$ $\frac{2}{3} =$ $\frac{4}{6}$ .

Răspuns: $x = 6$ , $A B = 15$ cm

EXERCIȚIUL 7Teorema lui Thales în trapezgreu

Trapezul $A B C D$ are bazele $A B$ și $C D$ . Punctele $M \in (A D)$ și $N \in (B C)$ sunt astfel încât $M N ∥ A B$ . Știind că $A M = 4$ cm, $M D = 6$ cm și $B C = 15$ cm, calculează $B N$ și $N C$ .

Diagonala

A C

(punctată) este construcția ajutătoare din rezolvare.

Rezolvare pas cu pas

Ducem diagonala $A C$ , care taie $M N$ în $P$ . Cum $M N ∥ A B$ și $A B ∥ C D$ , avem și $M N ∥ C D$ .
În triunghiul $A C D$ , $M P ∥ D C$ . Din teorema lui Thales: $\frac{A P}{P C} =$ $\frac{A M}{M D} =$ $\frac{4}{6} =$ $\frac{2}{3}$ .
În triunghiul $C A B$ , $P N ∥ A B$ . Din teorema lui Thales: $\frac{B N}{N C} =$ $\frac{A P}{P C} =$ $\frac{2}{3}$ .
Scriem $B N = 2 k$ și $N C = 3 k$ , cu $2 k + 3 k = 15$ , deci $k = 3$ .
$B N = 6$ cm și $N C = 9$ cm.

Răspuns: $B N = 6$ cm, $N C = 9$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: centrul de greutategreu

Triunghiul $A B C$ are $A B = 12$ cm și $A C = 18$ cm. $A D$ este mediană, iar $G$ este centrul de greutate al triunghiului. Paralela prin $G$ la $B C$ intersectează $A B$ în $M$ și $A C$ în $N$ . a) Calculează $\frac{A G}{A D}$ . b) Calculează $A M$ și $A N$ . c) Paralela prin $M$ la $A C$ intersectează $B C$ în $P$ . Arată că $\frac{B P}{P C} =$ $\frac{1}{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $G$ se află pe mediana $A D$ , cu $A G = 2 \cdot G D$ . Atunci $A D =$ $A G + G D =$ $3 \cdot G D$ , deci $\frac{A G}{A D} =$ $\frac{2 \cdot G D}{3 \cdot G D} =$ $\frac{2}{3}$ .
b) În triunghiul $A B D$ , $M G ∥ B D$ (pentru că $M N ∥ B C$ ). Din teorema lui Thales: $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{A G}{A D} =$ $\frac{2}{3}$ , deci $A M =$ $\frac{2}{3} \cdot 12 =$ $8$ cm.
La fel, în triunghiul $A D C$ , $G N ∥ D C$ : $\frac{A N}{A C} =$ $\frac{A G}{A D} =$ $\frac{2}{3}$ , deci $A N =$ $\frac{2}{3} \cdot 18 =$ $12$ cm.
c) $M B =$ $A B - A M =$ $12 - 8 =$ $4$ cm. În triunghiul $A B C$ , $M P ∥ A C$ , cu $M \in (A B)$ și $P \in (B C)$ .
Din teorema lui Thales: $\frac{B P}{P C} =$ $\frac{B M}{M A} =$ $\frac{4}{8} =$ $\frac{1}{2}$ .

Răspuns: a) $\frac{A G}{A D} =$ $\frac{2}{3}$ ; b) $A M = 8$ cm, $A N = 12$ cm; c) $\frac{B P}{P C} =$ $\frac{1}{2}$

Cum recunoști un exercițiu pe teorema lui Thales

Ai un triunghi și un segment paralel cu una dintre laturi, cu capetele pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor).
Se cer segmente de pe laturi sau un raport între ele, iar în enunț apar alte segmente de pe aceleași laturi.
Se cere să arăți că două drepte sunt paralele și ai lungimile segmentelor de pe laturi: atunci folosești reciproca. În trapez, duci o diagonală ca să obții două triunghiuri.

Greșeli frecvente

Amesteci segmentele în proporție. Scrie rapoartele în aceeași ordine pe ambele laturi: $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{N C}$ sau $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{A N}{A C}$ . O proporție ca $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{A C}$ este greșită.
Pui segmentul $M N$ în teorema lui Thales. Teorema lui Thales leagă doar segmentele de pe laturile $A B$ și $A C$ . Relația dintre $M N$ și $B C$ vine din asemănarea triunghiurilor și nu este $\frac{M N}{B C} =$ $\frac{A M}{M B}$ .
Aplici teorema fără să ai paralelism. Teorema lui Thales cere $M N ∥ B C$ . Dacă paralelismul nu este dat, ai nevoie de reciprocă: întâi verifici că rapoartele sunt egale, apoi tragi concluzia.

Exersează

Fișă de lucru: Teorema lui Thales, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Asemănarea triunghiurilor, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Segmente proporționale, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Thales?

O paralelă dusă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale: dacă $M N ∥ B C$ , atunci $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{N C}$ .

Care este diferența dintre teorema lui Thales și reciproca ei?

Teorema pornește de la paralelism și dă rapoarte egale. Reciproca pornește de la rapoarte egale și demonstrează paralelismul.

Pot calcula lungimea lui

M N

cu teorema lui Thales?

Nu. Lungimea lui $M N$ se află cu asemănarea triunghiurilor, pe care o studiezi imediat după teorema lui Thales. Excepție: dacă $M$ și $N$ sunt mijloace, $M N$ este linie mijlocie și $M N = \frac{B C}{2}$ .

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 3. Teorema lui Thales. Reciproca teoremei lui Thales.

Exersează cu fișa de lucru: Teorema lui Thales — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Două drepte paralele taie laturile unui unghi. Dacă pe prima latură segmentele determinate sunt de 4 cm și 6 cm, iar pe a doua latură primul segment este de 3 cm, cât este al doilea segment?
2. Ce afirmă teorema lui Thales referitor la două drepte paralele care taie laturile unui unghi?
3. Pe laturile unui unghi sunt marcate punctele A, B și C, D astfel încât $\frac{O A}{A B} = \frac{O C}{C D}$ . Ce putem concluziona despre dreapta BC?
4. Care este condiția necesară pentru a aplica reciproca teoremei lui Thales și a concluziona că două drepte sunt paralele?
5. Pe laturile unui unghi cu vârful O, o dreaptă paralelă cu baza determină segmentele OA = 6 cm, OB = 9 cm pe o latură. Dacă pe cealaltă latură primul segment OC = 4 cm, cât este OD (segmentul total pe a doua latură)?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 12 mai 2026, actualizat 23 septembrie 2026