UNGHIURI OPUSE LA VÂRF: definiție și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

1. $m(\angle COD)=$ $m(\angle AOB)=$ ${48}^{\circ }$ (unghiuri opuse la vârf).
2. $m(\angle AOB)+m(\angle BOC)=$ ${180}^{\circ }$ (unghiuri adiacente pe o dreaptă), deci $m(\angle BOC)=$ ${180}^{\circ }-{48}^{\circ }=$ ${132}^{\circ }$.
3. $m(\angle DOA)=$ $m(\angle BOC)=$ ${132}^{\circ }$ (unghiuri opuse la vârf).

Răspuns: ${48}^{\circ }$, ${132}^{\circ }$, ${132}^{\circ }$

1. Unghiurile opuse la vârf sunt cele care nu au nicio latură comună, adică stau față în față.
2. $\angle AOB$ și $\angle COD$ nu au nicio latură comună: sunt opuse la vârf.
3. $\angle BOC$ și $\angle DOA$ nu au nicio latură comună: sunt și ele opuse la vârf.

Răspuns: $\angle AOB$ cu $\angle COD$, și $\angle BOC$ cu $\angle DOA$

1. Drepte perpendiculare înseamnă că unul dintre cele patru unghiuri este de ${90}^{\circ }$.
2. Opusul lui la vârf este tot de ${90}^{\circ }$, iar cele două unghiuri adiacente, suplementare cu ${90}^{\circ }$, sunt și ele de ${180}^{\circ }-{90}^{\circ }=$ ${90}^{\circ }$ fiecare.

Răspuns: toate cele patru unghiuri sunt de ${90}^{\circ }$

1. Notezi unghiul mic cu $a$, iar vecinul lui de pe dreaptă este $3a$. Fiind adiacente, suma lor este ${180}^{\circ }$: $a+3a={180}^{\circ }$.
2. $4a={180}^{\circ }$, deci $a={45}^{\circ }$, iar vecinul este $3\cdot {45}^{\circ }=$ ${135}^{\circ }$.
3. Unghiurile opuse la vârf copiază exact aceste valori: ${45}^{\circ }$, ${135}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, ${135}^{\circ }$.

Răspuns: ${45}^{\circ }$, ${135}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, ${135}^{\circ }$

1. Fiind adiacente pe o dreaptă, cele două unghiuri sunt suplementare: $(4x+8^{\circ })+(2x+{52}^{\circ })=$ ${180}^{\circ }$.
2. $6x+{60}^{\circ }=$ ${180}^{\circ }$, deci $x={20}^{\circ }$.
3. $m(\angle AOB)=$ $4\cdot {20}^{\circ }+8^{\circ }=$ ${88}^{\circ }$, $m(\angle BOC)=$ $2\cdot {20}^{\circ }+{52}^{\circ }=$ ${92}^{\circ }$.
4. Unghiurile opuse la vârf sunt egale cu cele deja aflate: $m(\angle COD)=$ ${88}^{\circ }$, $m(\angle DOA)=$ ${92}^{\circ }$.

Răspuns: $x={20}^{\circ }$; unghiurile sunt ${88}^{\circ }$, ${92}^{\circ }$, ${88}^{\circ }$, ${92}^{\circ }$

1. Fiind opuse la vârf, cele două unghiuri sunt egale: $5x-{20}^{\circ }=$ $3x+{10}^{\circ }$.
2. $2x={30}^{\circ }$, deci $x={15}^{\circ }$.
3. $m(\angle AOB)=$ $5\cdot {15}^{\circ }-{20}^{\circ }=$ ${55}^{\circ }$. Verificare: $m(\angle COD)=$ $3\cdot {15}^{\circ }+{10}^{\circ }=$ ${55}^{\circ }$. ✓
4. Unghiurile adiacente completează până la ${180}^{\circ }$: ${180}^{\circ }-{55}^{\circ }=$ ${125}^{\circ }$, pentru fiecare dintre $\angle BOC$ și $\angle DOA$.

Răspuns: $x={15}^{\circ }$; unghiurile sunt ${55}^{\circ }$, ${125}^{\circ }$, ${55}^{\circ }$, ${125}^{\circ }$

1. Notezi cele două unghiuri adiacente $a$ și $b$, cu $a>b$. Știi $a+b={180}^{\circ }$ și $a-b={50}^{\circ }$.
2. Aduni cele două relații: $2a={230}^{\circ }$, deci $a={115}^{\circ }$.
3. Din $a+b={180}^{\circ }$: $b=$ ${180}^{\circ }-{115}^{\circ }=$ ${65}^{\circ }$. Verificare: ${115}^{\circ }-{65}^{\circ }=$ ${50}^{\circ }$. ✓
4. Unghiurile opuse la vârf copiază aceste valori: ${115}^{\circ }$, ${65}^{\circ }$, ${115}^{\circ }$, ${65}^{\circ }$.

Răspuns: ${115}^{\circ }$, ${65}^{\circ }$, ${115}^{\circ }$, ${65}^{\circ }$

1. Unghiul dintre mânere este opus la vârf cu unghiul dintre lame (cele două drepte formate de lamă + mânerul din prelungirea ei se intersectează la pivot).
2. a) Unghiul dintre mânere $={35}^{\circ }$ (opus la vârf, deci egal).
3. b) Unghiul dintre o lamă și mânerul alăturat este adiacent cu unghiul dintre lame, deci suplementar cu el: ${180}^{\circ }-{35}^{\circ }=$ ${145}^{\circ }$.

Răspuns: a) ${35}^{\circ }$; b) ${145}^{\circ }$