ALGORITMUL DE EXTRAGERE A RĂDĂCINII PĂTRATE pas cu pas - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

1. La partea întreagă grupezi de la dreapta spre stânga, câte două cifre; la zecimale, de la virgulă spre dreapta.
2. a) $5|29$: două grupe, rezultatul are două cifre. b) $43|56$: două cifre.
3. c) $1|51|29$: trei grupe, deci rezultatul are trei cifre. Prima grupă are o singură cifră, ceea ce este permis.
4. d) $12,|96$: partea întreagă are o grupă, deci rezultatul are o cifră înainte de virgulă și una după.
5. e) $1|04,$ $|85|76$: partea întreagă are două grupe, deci două cifre înainte de virgulă; zecimalele au două grupe, deci două zecimale.

Răspuns: a) 2 cifre; b) 2 cifre; c) 3 cifre; d) 1 cifră și 1 zecimală; e) 2 cifre și 2 zecimale

1. Grupele: $5|29$.
2. Cel mai mare pătrat cel mult egal cu $5$ este $4=2^2$. Prima cifră este $2$, iar restul este $5-4=1$.
3. Cobori grupa $29$: obții $129$. Dublul rezultatului este $4$, deci cauți $x$ cu $\overline{4x}\cdot x\le 129$.
4. $43\cdot 3=129$, exact cât trebuie, iar $44\cdot 4=176$ e prea mare. Cifra este $3$, iar restul este $0$.
5. Verificare: ${23}^2=529$.

Răspuns: $\sqrt{529}=23$

1. Grupele: $43|56$.
2. $6^2=$ $36\le 43<49=$ $7^2$, deci prima cifră este $6$. Restul: $43-36=7$.
3. Cobori $56$: obții $756$. Dublul lui $6$ este $12$, deci cauți $x$ cu $\overline{12x}\cdot x\le 756$.
4. $126\cdot 6=756$, iar $127\cdot 7=889$ este prea mare. Cifra este $6$, restul este $0$.
5. Verificare: ${66}^2=4356$.

Răspuns: $\sqrt{4356}=66$

1. Grupele: $1|51|29$, deci rezultatul are trei cifre.
2. Prima grupă este $1$: prima cifră este $1$, restul $0$.
3. Cobori $51$. Dublul lui $1$ este $2$: cauți $x$ cu $\overline{2x}\cdot x\le 51$. $23\cdot 3=69$ este prea mare, $22\cdot 2=44$ merge. Cifra este $2$, restul $51-44=7$.
4. Cobori $29$: obții $729$. Dublul rezultatului $12$ este $24$: cauți $x$ cu $\overline{24x}\cdot x\le 729$.
5. $243\cdot 3=729$. Cifra este $3$, restul $0$. Verificare: ${123}^2=15129$.

Răspuns: $\sqrt{15129}=123$

1. Grupele: $1|04,$ $|85|76$. Prima cifră este $1$, restul $0$.
2. Cobori $04$: obții $4$. Dublul lui $1$ este $2$, iar $\overline{2x}\cdot x\le 4$ merge doar pentru $x=0$ ($21\cdot 1=21$ e prea mare). Cifra este $0$, restul $4$. Cifrele se pot și anula: rezultatul de până acum este $10$.
3. Ai trecut de virgulă, deci scrii virgula în rezultat: $\mathrm{10,}\dots$ Cobori $85$: obții $485$. Dublul lui $10$ este $20$: $202\cdot 2=$ $404\le 485$, iar $203\cdot 3=609$ e prea mare. Cifra este $2$, restul $81$.
4. Cobori $76$: obții $8176$. Dublul lui $102$ este $204$: $2044\cdot 4=8176$. Cifra este $4$, restul $0$.
5. Verificare: ${\mathrm{10,24}}^2=$ $\mathrm{104,8576}$.

Răspuns: $\sqrt{\mathrm{104,8576}}=$ $\mathrm{10,24}$

1. $7$ nu este pătrat perfect. Scrii $7=\mathrm{7,00}00$: câte o pereche de zerouri pentru fiecare zecimală dorită.
2. Prima cifră: $2^2=4\le 7<9$, deci $2$, restul $3$. Pui virgula în rezultat.
3. Cobori $00$: obții $300$. Dublul lui $2$ este $4$: $46\cdot 6=$ $276\le 300$, iar $47\cdot 7=329$ e prea mare. Cifra este $6$, restul $24$.
4. Cobori $00$: obții $2400$. Dublul lui $26$ este $52$: $524\cdot 4=$ $2096\le 2400$, iar $525\cdot 5=2625$ e prea mare. Cifra este $4$, restul $304$.
5. Restul nu este $0$, deci $\mathrm{2,64}$ este o aproximare prin lipsă. Verificare: ${\mathrm{2,64}}^2=$ $\mathrm{6,9696}<7<\mathrm{7,0225}=$ ${\mathrm{2,65}}^2$.

Răspuns: $\sqrt{7}\approx \mathrm{2,64}$ (prin lipsă) și $\sqrt{7}\approx \mathrm{2,65}$ (prin adaos)

1. a) $7056$: grupele $70|56$. $8^2=64\le 70$, restul $6$. Cobori $56$: $656$. Dublul lui $8$ este $16$: $164\cdot 4=656$, restul $0$. Deci $7056={84}^2$, pătrat perfect.
2. Pentru $7058$, pașii sunt aceiași, dar la final ai $658-656=2$. Restul este $2$, deci $7058={84}^2+2$ nu este pătrat perfect.
3. b) $2000$: grupele $20|00$. $4^2=16\le 20$, restul $4$. Cobori $00$: $400$. Dublul lui $4$ este $8$: $84\cdot 4=$ $336\le 400$, iar $85\cdot 5=425$ e prea mare. Rezultatul este $44$, restul $64$.
4. Deci ${44}^2=$ $2000-64=$ $1936\le 2000$, iar $n=44$. Următorul pătrat perfect este ${45}^2=2025$.

Răspuns: a) $7056={84}^2$ da; $7058$ nu (rest $2$); b) $n=44$, iar $2025$ este cel mai mic pătrat perfect mai mare decât $2000$

1. Aria pătratului este $l^2$, deci latura este $l=\sqrt{\mathrm{1339,56}}$ m.
2. Grupele: $13|39,|56$. $3^2=9\le 13$, restul $4$. Cobori $39$: $439$. Dublul lui $3$ este $6$: $66\cdot 6=$ $396\le 439$, iar $67\cdot 7=469$ e prea mare. Cifra $6$, restul $43$.
3. Pui virgula. Cobori $56$: $4356$. Dublul lui $36$ este $72$: $726\cdot 6=4356$, restul $0$. Deci $l=\mathrm{36,6}$ m.
4. Gardul are lungimea perimetrului: $P=$ $4\cdot \mathrm{36,6}=$ $\mathrm{146,4}$ m. Verificare: ${\mathrm{36,6}}^2=\mathrm{1339,56}$.

Răspuns: latura $\mathrm{36,6}$ m, gardul $\mathrm{146,4}$ m