Reguli de calcul cu radicali — recapitulare completă

de Echipa Școala Virtuală1 iunie 2026

Reguli de calcul cu radicali: 7 exerciții rezolvate

Scoți calculatorul, vezi un radical și primul instinct e să-l lași pe mai târziu. Îl ocolești, faci alt exercițiu, revii la el și tot nu știi de unde să începi. Problema nu e că ești slab la mate — problema e că regulile de calcul cu radicali par o listă de reguli fără sens, rupte din context. Dar nu sunt. De fapt, sunt câteva idei simple care se repetă mereu, în forme ușor diferite. Odată ce le înțelegi pe prima, le înțelegi pe toate. Hai să le luăm de la capăt, fără grabă, pas cu pas — ca și cum le-ai vedea prima dată și cineva stă lângă tine să-ți arate exact cum gândește.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este un radical și ce înseamnă să-l simplifici
Vei ști să înmulțești și să împarți radicali fără să confunzi regulile
Vei putea aduna și scădea radicali — și vei ști când NU se poate
Vei recunoaște greșelile clasice și vei ști cum să le eviți

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, un radical?

Înainte de orice regulă, hai să fim siguri că știm despre ce vorbim. Radicalul e semnul $\sqrt{}$ — și tot ce e sub el se numește radican. Practic, $\sqrt{9}$ te întreabă: „Care număr, înmulțit cu el însuși, dă 9?” Răspunsul e 3, pentru că $3 \times 3 = 9$ . Simplu. Acum, $\sqrt{2}$ nu are un răspuns „frumos” — e un număr cu zecimale infinite. Și asta-i perfect normal. Nu toate radicalele se simplifică la numere întregi. Important e să știi să lucrezi cu ele, chiar și când rămân cu semnul $\sqrt{}$ .

💡 Regula de bază

Radicalul $\sqrt{a}$ este definit doar pentru $a \geq 0$ — nu poți scoate radical dintr-un număr negativ (cel puțin nu în clasa 5-8). Și întotdeauna $\sqrt{a} \geq 0$ , adică rezultatul e pozitiv sau zero.

Înmulțirea și împărțirea radicalilor

Uite unde devine interesant. Doi radicali înmulțiți se pot „uni” sub același semn. Adică $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$ devine $\sqrt{15}$ . De ce? Pentru că, dacă înmulțești ce e sub radicali, obții ce ar fi sub un singur radical mai mare. E ca și cum ai combina două ingrediente într-un singur bol. Funcționează la fel și la împărțire — $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ devine $\sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$ . Regula merge în ambele sensuri: poți uni sau poți separa, după cum îți convine în exercițiu.

💡 Regula de bază

Înmulțire: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ , pentru $a, b \geq 0$ . Împărțire: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ , pentru $a \geq 0$ și $b > 0$ . Reține ambele — apar constant în exerciții.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Calculează: $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} + \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} - \sqrt{18}$

🔢 Rezolvare

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$
$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$
$4 + 5 - 3 \sqrt{2} = 9 - 3 \sqrt{2}$

✅ Explicație

Primele două radicali s-au simplificat frumos la numere întregi — 4 și 5, deci le-am adunat normal. Al treilea, $\sqrt{18}$ , nu se simplifică la întreg, dar îl putem scrie ca $3 \sqrt{2}$ . Acesta nu se poate aduna cu 9, pentru că sunt „tipuri” diferite. Rezultatul final rămâne $9 - 3 \sqrt{2}$ — și asta e perfect corect, nu e niciun calcul greșit.

Adunarea și scăderea radicalilor

Asta-i partea care îi încurcă pe mulți. Și sincer, e normal — regula nu e evidentă din prima. Gândește-te așa: poți aduna 3 mere cu 2 mere și obții 5 mere. Dar nu poți aduna 3 mere cu 2 portocale și să zici că ai 5 „fructe de același tip”. Radicalii funcționează exact la fel. Poți aduna $3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$ , pentru că sunt „același fel” de radical. Dar $3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3}$ rămâne exact așa — nu se simplifică mai departe. Sunt radicali diferiți, nu au ce să facă împreună.

💡 Regula de bază

Aduni sau scazi radicali doar dacă au același radicand (același număr sub radical). Atunci: $a \sqrt{c} + b \sqrt{c} = (a + b) \sqrt{c}$ . Dacă radicalii sunt diferiți, expresia rămâne cu plus sau minus între ei — nu forța nimic.

Scoaterea factorilor de sub radical

Uneori ai un radical „mare” care se poate simplifica. Trucul e să cauți în radican un pătrat perfect — adică un număr care e rezultatul unui înmulțit cu el însuși. De exemplu, $\sqrt{72}$ . Pare complicat. Dar $72 = 36 \cdot 2$ și $36 = 6^{2}$ . Deci $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ . Practic, ai „scos” 6 afară din radical. Asta nu înseamnă că l-ai scăpat — înseamnă că ai scris același număr într-o formă mai simplă, mai ușor de lucrat.

💡 Regula de bază

Dacă $a = b^{2} \cdot c$ , atunci $\sqrt{a} = b \sqrt{c}$ . Caută mereu cel mai mare pătrat perfect care divide radicantul — altfel s-ar putea să faci pași în plus inutil.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$ . Toată lumea face asta la început — și eu am făcut-o.

✅ Corect: $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ . Radicalul nu se „distribuie” la adunare sau scădere. Verifici singur: $\sqrt{13} \approx 3,6$ , nu 5. Regula funcționează doar la înmulțire și împărțire.

❌ Greșeala #2: Se adună radicali diferiți: $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{5} = 6 \sqrt{8}$ . Nu merge așa — nici numerele, nici radicalii nu se adună separat și apoi se combină.

✅ Corect: $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{5}$ rămâne exact așa, nesimplificat. Nu există o formă mai simplă. Uneori răspunsul corect e să lași expresia cum e.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Calculează $\sqrt{36} + \sqrt{49} - \sqrt{25}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Toate cele trei numere sunt pătrate perfecte, deci fiecare radical dispare frumos:

\sqrt{36} + \sqrt{49} - \sqrt{25} = 6 + 7 - 5 = 8

Extragem întâi fiecare radical (6, 7 și 5), abia apoi facem adunarea și scăderea. Nu aduna niciodată numerele de sub radicali între ele.

Răspuns: $8$

Exercițiul 2. Simplifică $\sqrt{75} - \sqrt{12}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scoatem factorii de sub radical, căutând pătrate perfecte în descompunere: 75 = 25 ⋅ 3 și 12 = 4 ⋅ 3.

\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5 \sqrt{3}

\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2 \sqrt{3}

Acum ambii termeni au același radical, $\sqrt{3}$ , deci îi putem scădea:

5 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}

Răspuns: $3 \sqrt{3}$

Exercițiul 3. Calculează $\frac{\sqrt{98} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{4}} + \sqrt{45} - \sqrt{5}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

La fracție folosim regula înmulțirii radicalilor: radicalii se înmulțesc sub un singur radical.

\frac{\sqrt{98} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{196}}{2} = \frac{14}{2} = 7

Apoi scoatem factorii la $\sqrt{45}$ : din 45 = 9 ⋅ 5 obținem $3 \sqrt{5}$ , iar termenii cu $\sqrt{5}$ se scad între ei:

7 + 3 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 7 + 2 \sqrt{5}

7 și $2 \sqrt{5}$ nu se mai pot aduna, pentru că unul e număr rațional și celălalt conține radical.

Răspuns: $7 + 2 \sqrt{5}$

Exercițiul 4. Calculează $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Aplicăm de două ori regula înmulțirii: produsul a doi radicali este radicalul produsului.

\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4

\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9

Ambele produse dau pătrate perfecte, așa că rezultatul final e un simplu calcul:

4 + 9 = 13

Răspuns: $13$

Exercițiul 5. Calculează $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{32}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scoatem factorii de sub fiecare radical: 50 = 25 ⋅ 2, 18 = 9 ⋅ 2 și 32 = 16 ⋅ 2.

\sqrt{50} = 5 \sqrt{2}, \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}, \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}

Toți termenii conțin acum $\sqrt{2}$ , deci lucrăm doar cu coeficienții:

5 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}

Verificare pe coeficienți: 5 + 3 − 4 = 4. Corect.

Răspuns: $4 \sqrt{2}$

Exercițiul 6. Calculează $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} - \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

La primul termen folosim regula înmulțirii, la al doilea regula împărțirii radicalilor:

\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10

\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6

Ambii termeni au devenit numere întregi, deci scăderea e imediată:

10 - 6 = 4

Răspuns: $4$

Exercițiul 7. Provocare: calculează $(\sqrt{48} - \sqrt{27}) \cdot \sqrt{3} + {(\sqrt{2})}^{2}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Rezolvăm întâi paranteza, scoțând factorii de sub radicali: 48 = 16 ⋅ 3 și 27 = 9 ⋅ 3.

\sqrt{48} - \sqrt{27} = 4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = \sqrt{3}

Înmulțim rezultatul cu $\sqrt{3}$ și folosim faptul că radicalul la pătrat dă numărul de sub el:

\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3, {(\sqrt{2})}^{2} = 2

3 + 2 = 5

Trei reguli într-un singur exercițiu: scoaterea factorilor, scăderea radicalilor asemenea și înmulțirea radicalilor.

Răspuns: $5$

Întrebări frecvente

Pot scoate radical dintr-un număr negativ?

La nivelul claselor 5-8, nu. $\sqrt{- 4}$ nu există în mulțimea numerelor pe care le studiezi tu acum. Dacă apare un număr negativ sub radical într-un exercițiu, verifică dacă ai greșit undeva la calculul anterior. Nu e un caz care apare în programa ta.

De ce a2=a nu merge mereu?

Merge când $a \geq 0$ . Dacă $a$ e negativ — să zicem $a = - 3$ — atunci $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = \sqrt{9} = 3$ , nu $- 3$ . De aceea, mai corect e să scrii $\sqrt{a^{2}} = | a |$ , adică valoarea absolută. E un detaliu care apare în exerciții mai grele.

Cum știu când am simplificat un radical complet?

Radicalul e complet simplificat când sub semnul $\sqrt{}$ nu mai există niciun factor care e pătrat perfect. De exemplu, $\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ — sub radical a rămas 3, care nu mai are niciun pătrat perfect ca factor. Dacă mai poți scoate ceva afară, nu e gata.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 15. Reguli de calcul cu radicali..

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Textul narativ ficțional explicat cu exemple, clasele 5-8

9 august 2026

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună