REGULI DE CALCUL CU RADICALI recapitulare completă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Pentru $a, b \geq 0$ , radicalul unui produs este produsul radicalilor: $\sqrt{a \cdot b} =$ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ , iar radicalii se adună doar dacă au același număr sub radical. Mai jos găsești toate regulile pe scurt și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Regulile de calcul cu radicali

Produsul și câtul. Pentru $a \geq 0$ și $b \geq 0$ :

$\sqrt{a \cdot b} =$ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ $\sqrt{\frac{a}{b}} =$ $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (b \neq 0)$

Pătratul unui radical: ${(\sqrt{a})}^{2} =$ $a$ , pentru $a \geq 0$ .
Radicalul unui pătrat: $\sqrt{a^{2}} = | a |$ , pentru orice număr real $a$ . De exemplu, $\sqrt{{(- 5)}^{2}} =$ $| - 5 | =$ $5$ .
Scoaterea factorilor de sub radical: $\sqrt{a^{2} \cdot b} =$ $a \sqrt{b}$ , pentru $a, b \geq 0$ . Exemplu: $\sqrt{50} =$ $\sqrt{25 \cdot 2} =$ $5 \sqrt{2}$ . Pe larg: scoaterea factorilor de sub radical.
Introducerea factorilor sub radical: $a \sqrt{b} =$ $\sqrt{a^{2} \cdot b}$ , pentru $a, b \geq 0$ . Exemplu: $3 \sqrt{2} =$ $\sqrt{18}$ .
Adunarea și scăderea: doar pentru radicali asemenea (același număr sub radical): $m \sqrt{a} + n \sqrt{a} =$ $(m + n) \sqrt{a}$ .
Raționalizarea numitorului: amplifici cu radicalul de la numitor: $\frac{a}{\sqrt{b}} =$ $\frac{a \sqrt{b}}{b}$ , pentru $b > 0$ .

Atenție: nu există regulă pentru suma de sub radical: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Ca să scoți factorii repede, ai nevoie de pătratele perfecte.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Produs și cât de radicaliușor

Calculează: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}$ ; b) $\sqrt{75} : \sqrt{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Punem totul sub un singur radical: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} =$ $\sqrt{2 \cdot 18} =$ $\sqrt{36} =$ $6$ .
b) $\sqrt{75} : \sqrt{3} =$ $\sqrt{75 : 3} =$ $\sqrt{25} =$ $5$ .

Răspuns: a) $6$ ; b) $5$

EXERCIȚIUL 2Scoaterea factorilorușor

Scoate factorii de sub radical: a) $\sqrt{48}$ ; b) $\sqrt{200}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Căutăm cel mai mare pătrat perfect care îl divide pe 48: $48 = 16 \cdot 3$ .
$\sqrt{48} =$ $\sqrt{16 \cdot 3} =$ $\sqrt{16} \cdot \sqrt{3} =$ $4 \sqrt{3}$ .
b) $200 = 100 \cdot 2$ , deci $\sqrt{200} =$ $10 \sqrt{2}$ .

Răspuns: a) $4 \sqrt{3}$ ; b) $10 \sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 3Introducerea factorilor și comparareaușor

Introdu factorii sub radical și compară numerele $3 \sqrt{5}$ și $2 \sqrt{11}$ .

Rezolvare pas cu pas

$3 \sqrt{5} =$ $\sqrt{3^{2} \cdot 5} =$ $\sqrt{45}$ .
$2 \sqrt{11} =$ $\sqrt{2^{2} \cdot 11} =$ $\sqrt{44}$ .
Dintre doi radicali, mai mare este cel cu numărul mai mare sub radical: $45 > 44$ , deci $\sqrt{45} > \sqrt{44}$ .

Răspuns: $3 \sqrt{5} > 2 \sqrt{11}$

EXERCIȚIUL 4Adunarea radicalilormediu

Calculează $\sqrt{20} +$ $\sqrt{45} - \sqrt{80} +$ $\sqrt{125}$ .

Rezolvare pas cu pas

Scoatem factorii: $\sqrt{20} =$ $2 \sqrt{5}$ , $\sqrt{45} =$ $3 \sqrt{5}$ , $\sqrt{80} =$ $4 \sqrt{5}$ , $\sqrt{125} =$ $5 \sqrt{5}$ .
Toți radicalii sunt acum asemenea (au $\sqrt{5}$ ), deci îi putem aduna.
$2 \sqrt{5} +$ $3 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} +$ $5 \sqrt{5} =$ $(2 + 3 - 4 + 5) \sqrt{5} =$ $6 \sqrt{5}$ .

Răspuns: $6 \sqrt{5}$

EXERCIȚIUL 5Radicalul unui pătratmediu

Calculează $\sqrt{{(3 - \sqrt{5})}^{2}} +$ $\sqrt{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}$ .

Rezolvare pas cu pas

Folosim $\sqrt{a^{2}} = | a |$ : suma este $| 3 - \sqrt{5} | +$ $| 1 - \sqrt{5} |$ .
$3 =$ $\sqrt{9} > \sqrt{5}$ , deci $3 - \sqrt{5} > 0$ și $| 3 - \sqrt{5} | =$ $3 - \sqrt{5}$ .
$1 =$ $\sqrt{1} < \sqrt{5}$ , deci $1 - \sqrt{5} < 0$ și $| 1 - \sqrt{5} | =$ $\sqrt{5} - 1$ .
Suma: $3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1 =$ $2$ .

Răspuns: $2$

EXERCIȚIUL 6Raționalizarea numitoruluimediu

Raționalizează numitorii: a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ ; b) $\frac{15}{2 \sqrt{5}}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Amplificăm cu $\sqrt{3}$ : $\frac{6}{\sqrt{3}} =$ $\frac{6 \sqrt{3}}{3} =$ $2 \sqrt{3}$ .
b) Amplificăm cu $\sqrt{5}$ : $\frac{15}{2 \sqrt{5}} =$ $\frac{15 \sqrt{5}}{2 \cdot 5} =$ $\frac{15 \sqrt{5}}{10}$ .
Simplificăm cu 5: $\frac{15 \sqrt{5}}{10} =$ $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ .

Răspuns: a) $2 \sqrt{3}$ ; b) $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

EXERCIȚIUL 7Calcul cu toate regulilegreu

Calculează $E =$ $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{48} - \sqrt{12}) +$ $\frac{4}{\sqrt{2}} - \sqrt{18}$ .

Rezolvare pas cu pas

În paranteză: $\sqrt{48} - \sqrt{12} =$ $4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} =$ $2 \sqrt{3}$ .
Produsul: $\sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} =$ $2 \cdot {(\sqrt{3})}^{2} =$ $2 \cdot 3 =$ $6$ .
Raționalizăm: $\frac{4}{\sqrt{2}} =$ $\frac{4 \sqrt{2}}{2} =$ $2 \sqrt{2}$ .
Scoatem factorul: $\sqrt{18} =$ $3 \sqrt{2}$ .
$E =$ $6 + 2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} =$ $6 - \sqrt{2}$ .

Răspuns: $E = 6 - \sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Se consideră numerele $a =$ $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{27} + \sqrt{12} - \sqrt{3})$ și $b =$ $\sqrt{{(\sqrt{7} - 4)}^{2}} +$ $\sqrt{7}$ . Arată că $\sqrt{a + b}$ este număr natural.

Rezolvare pas cu pas

$\sqrt{27} + \sqrt{12} - \sqrt{3} =$ $3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} =$ $4 \sqrt{3}$ .
$a =$ $\sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{3} =$ $4 \cdot 3 =$ $12$ .
$\sqrt{7} < \sqrt{16} =$ $4$ , deci $\sqrt{7} - 4 < 0$ și $\sqrt{{(\sqrt{7} - 4)}^{2}} =$ $4 - \sqrt{7}$ .
$b =$ $4 - \sqrt{7} + \sqrt{7} =$ $4$ .
$\sqrt{a + b} =$ $\sqrt{12 + 4} =$ $\sqrt{16} =$ $4$ , care este număr natural.

Răspuns: $a = 12$ , $b = 4$ , $\sqrt{a + b} =$ $4 \in ℕ$

Cum recunoști ce regulă aplici la radicali

Ai un produs sau un cât de radicali: le pui sub un singur radical și cauți un pătrat perfect.
Ai o sumă de radicali diferiți: scoți întâi factorii de sub fiecare radical, apoi aduni doar radicalii asemenea.
Ai un radical la numitor: raționalizezi. Ai o expresie la pătrat sub radical: scrii modulul și stabilești semnul.

Greșeli frecvente

Desparți radicalul unei sume. $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . De exemplu, $\sqrt{9 + 16} =$ $\sqrt{25} =$ $5$ , dar $\sqrt{9} + \sqrt{16} =$ $3 + 4 =$ $7$ . Calculezi întâi suma de sub radical.
Aduni radicali care nu sunt asemenea. $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$ . Suma $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ rămâne așa. Se adună doar coeficienții radicalilor cu același număr sub radical.
Uiți modulul la radicalul unui pătrat. $\sqrt{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}$ nu este $2 - \sqrt{7}$ , care e un număr negativ. Corect: $| 2 - \sqrt{7} | =$ $\sqrt{7} - 2$ .

Exersează

Fișă de lucru: Reguli de calcul cu radicali, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Radicali, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Scoaterea factorilor de sub radical, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Cum se calculează radicalul unui număr?

Cauți numărul care, înmulțit cu el însuși, dă numărul de sub radical: $\sqrt{49} = 7$ , pentru că $7 \cdot 7 = 49$ . Dacă numărul nu este pătrat perfect, scoți factorii: $\sqrt{12} =$ $2 \sqrt{3}$ .

Pot aduna radical din 2 cu radical din 8?

Da, după ce scoți factorii: $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ , deci $\sqrt{2} + \sqrt{8} =$ $3 \sqrt{2}$ .

Se poate scoate radical dintr-un număr negativ?

Nu, la gimnaziu $\sqrt{a}$ are sens doar pentru $a \geq 0$ . Rezultatul este mereu pozitiv sau zero.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 15. Reguli de calcul cu radicali..

Exersează cu fișa de lucru: Reguli de calcul cu radicali — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este rezultatul înmulțirii $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ ?
2. Simplificați expresia $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$ .
3. Care este forma simplificată a radicalului $\sqrt{72}$ ?
4. Calculați $3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5}$ .
5. Care este rezultatul calculului $4 \sqrt{3} - \sqrt{12}$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 1 iunie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

ALGORITMUL DE EXTRAGERE A RĂDĂCINII PĂTRATE pas cu pas - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

MODULUL UNUI NUMĂR real, pe axă și în calcule - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

SCOATEREA DE SUB RADICAL și introducerea factorilor sub radical - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

RADICAL DIN 72 descompus în factori - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR REALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

RAȚIONALIZAREA NUMITORULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună