FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT: pătratul sumei, al diferenței și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Trei formule scurtează mult calculul cu paranteze la pătrat: ${(a + b)}^{2} =$ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , ${(a - b)}^{2} =$ $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ și $(a - b) (a + b) =$ $a^{2} - b^{2}$ . Mai jos găsești de unde vin, cum le recunoști și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Formulele de calcul prescurtat

Cele trei formule sunt cazuri particulare ale înmulțirii a două paranteze, atât de frecvente încât merită memorate, ca să nu mai desfaci înmulțirea de fiecare dată.

${(a + b)}^{2} =$ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$

${(a - b)}^{2} =$ $a^{2} - 2 a b + b^{2}$

$(a - b) (a + b) =$ $a^{2} - b^{2}$

Pătratul sumei și pătratul diferenței au aceeași structură: pătratul primului termen, dublul produsului celor doi termeni (cu semnul din paranteză), pătratul celui de-al doilea.
Diferența de pătrate se aplică pe o sumă înmulțită cu o diferență a acelorași două numere: rezultatul este pătratul primului minus pătratul celui de-al doilea, fără termenul din mijloc.

De unde vin? Din înmulțirea obișnuită a două paranteze. De exemplu, ${(a + b)}^{2}$ înseamnă $(a + b) (a + b)$ , iar dacă înmulțești fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua, obții exact $a^{2} + a b + b a + b^{2} =$ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , pentru că $a b$ și $b a$ sunt același produs.

Factorizarea inversă: aceleași formule funcționează și în sens invers, ca să transformi o sumă de trei termeni sau o diferență de pătrate înapoi într-un produs de paranteze. Dacă recunoști $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , îl rescrii direct ${(a + b)}^{2}$ , iar $a^{2} - b^{2}$ devine $(a - b) (a + b)$ .

Calcul mental rapid: un număr apropiat de o valoare rotundă se scrie ca sumă sau diferență, apoi aplici formula. De exemplu, $997$ devine $1000 - 3$ , iar pătratul lui se calculează din trei produse simple, fără o înmulțire lungă pe hârtie.

Pentru regulile generale de simplificare a expresiilor cu litere (termeni asemenea, paranteze imbricate) vezi calcul algebric.

Exerciții rezolvate : formulele de calcul prescurtat

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Pătratul sumeiușor

Calculează ${(x + 7)}^{2}$ folosind formula pătratului sumei.

Rezolvare pas cu pas

Aplici ${(a + b)}^{2} =$ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , cu $a = x$ și $b = 7$ .
${(x + 7)}^{2} =$ $x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2} =$ $x^{2} + 14 x + 49$ .

Răspuns: $x^{2} + 14 x + 49$

EXERCIȚIUL 2Pătratul diferențeiușor

Calculează ${(5 a - 3)}^{2}$ folosind formula pătratului diferenței.

Rezolvare pas cu pas

Aplici ${(a - b)}^{2} =$ $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ , cu primul termen $5 a$ și al doilea $3$ .
${(5 a - 3)}^{2} =$ ${(5 a)}^{2} - 2 \cdot 5 a \cdot 3 + 3^{2} =$ $25 a^{2} - 30 a + 9$ .
Ai grijă: pătratul primului termen este ${(5 a)}^{2} = 25 a^{2}$ , nu $5 a^{2}$ .

Răspuns: $25 a^{2} - 30 a + 9$

EXERCIȚIUL 3Diferența de pătrateușor

Calculează $(4 x + 1) (4 x - 1)$ folosind formula diferenței de pătrate.

Rezolvare pas cu pas

Recunoști tiparul $(a + b) (a - b)$ , cu $a = 4 x$ și $b = 1$ .
Rezultatul este direct $a^{2} - b^{2}$ : ${(4 x)}^{2} - 1^{2} =$ $16 x^{2} - 1$ .

Răspuns: $16 x^{2} - 1$

EXERCIȚIUL 4Simplificare cu ambele formulemediu

Simplifică expresia $E =$ ${(x + 5)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$ folosind formulele de calcul prescurtat.

Rezolvare pas cu pas

Desfaci fiecare pătrat separat: ${(x + 5)}^{2} =$ $x^{2} + 10 x + 25$ și ${(x - 5)}^{2} =$ $x^{2} - 10 x + 25$ .
Scazi cele două rezultate, desfăcând paranteza cu minus în față: $E =$ $x^{2} + 10 x + 25 - x^{2} + 10 x - 25$ .
Termenii $x^{2}$ și cei liberi se anulează, rămâne $E = 20 x$ .

Răspuns: $E = 20 x$

EXERCIȚIUL 5Calcul mental rapidmediu

Calculează $998^{2}$ fără calculator, folosind o formulă de calcul prescurtat.

Rezolvare pas cu pas

Scrii $998$ ca $1000 - 2$ și aplici formula pătratului diferenței.
$998^{2} =$ ${(1000 - 2)}^{2} =$ $1000^{2} - 2 \cdot 1000 \cdot 2 + 2^{2} =$ $1 000 000 - 4000 + 4$ .
Aduni: $998^{2} = 996 004$ .

Răspuns: $998^{2} = 996 004$

EXERCIȚIUL 6Factorizare inversămediu

Scrie expresia $x^{2} + 14 x + 49$ ca pătratul unei paranteze.

Rezolvare pas cu pas

Verifici dacă primul și ultimul termen sunt pătrate perfecte: $x^{2} = x \cdot x$ și $49 = 7^{2}$ .
Verifici termenul din mijloc: dublul produsului ar trebui să fie $2 \cdot x \cdot 7 =$ $14 x$ , și chiar așa scrie în expresie.
Toate cele trei condiții se potrivesc cu ${(a + b)}^{2}$ , deci $x^{2} + 14 x + 49 =$ ${(x + 7)}^{2}$ .

Răspuns: $x^{2} + 14 x + 49 =$ ${(x + 7)}^{2}$

EXERCIȚIUL 7Sumă de două pătrategreu

Simplifică expresia $E =$ ${(2 x - 5)}^{2} + {(2 x + 5)}^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

Desfaci fiecare pătrat: ${(2 x - 5)}^{2} =$ $4 x^{2} - 20 x + 25$ și ${(2 x + 5)}^{2} =$ $4 x^{2} + 20 x + 25$ .
Aduni cele două rezultate, termen cu termen: $E =$ $4 x^{2} - 20 x + 25 + 4 x^{2} + 20 x + 25$ .
Termenii $- 20 x$ și $20 x$ se anulează, rămân $4 x^{2} + 4 x^{2} = 8 x^{2}$ și $25 + 25 = 50$ .

Răspuns: $E = 8 x^{2} + 50$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Un teren dreptunghiular are lungimea $(x + 8)$ metri și lățimea $(x - 8)$ metri, unde $x = 17$ metri. a) Arată, folosind formula diferenței de pătrate, că aria terenului este $(x^{2} - 64)$ m². b) Calculează aria terenului, în metri pătrați.

Rezolvare pas cu pas

a) Aria unui dreptunghi este produsul dintre lungime și lățime: $A = (x + 8) (x - 8)$ .
Acesta este exact tiparul diferenței de pătrate, cu $a = x$ și $b = 8$ : $A =$ $x^{2} - 8^{2} =$ $x^{2} - 64$ .
b) Pentru $x = 17$ : lungimea este $17 + 8 = 25$ m, iar lățimea este $17 - 8 = 9$ m.
Aria directă: $A = 25 \cdot 9 = 225$ m². Verificare cu formula: $A =$ $17^{2} - 64 =$ $289 - 64 =$ $225$ m².

Răspuns: a) $A = x^{2} - 64$ (demonstrat); b) $A = 225$ m²

Cum recunoști un exercițiu cu formule de calcul prescurtat

Vezi o paranteză la pătrat, de forma ${(a + b)}^{2}$ sau ${(a - b)}^{2}$ : aplici direct formula, fără să înmulțești manual.
Vezi produsul unei sume cu o diferență a acelorași doi termeni, de forma $(a + b) (a - b)$ : rezultatul e direct $a^{2} - b^{2}$ , fără termen la mijloc.
Ți se cere factorizarea unei sume de trei termeni sau a unei diferențe de pătrate: cauți tiparul potrivit și îl rescrii ca produs sau ca pătrat.

Greșeli frecvente la formulele de calcul prescurtat

Uiți termenul din mijloc la pătratul sumei sau al diferenței. ${(a + b)}^{2} =$ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , nu doar $a^{2} + b^{2}$ . Termenul $2 a b$ apare mereu, cu semnul potrivit.
Nu ridici la pătrat și coeficientul, doar litera. În ${(5 a)}^{2}$ se ridică la pătrat tot termenul: $5^{2} \cdot a^{2} =$ $25 a^{2}$ , nu $5 a^{2}$ .
Aplici formula diferenței de pătrate pe termeni diferiți. Formula $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ cere ca cei doi termeni din paranteze să fie exact aceiași, doar cu semn schimbat la unul. Dacă parantezele au termeni diferiți, nu se aplică; desfaci înmulțirea obișnuită.

Exersează : formulele de calcul prescurtat

Fișă de lucru: Formule de calcul prescurtat, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Calcul algebric, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Descompunerea în factori cu formule de calcul prescurtatPDF de printat, clasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre formulele de calcul prescurtat

Câte formule de calcul prescurtat trebuie să știu pentru clasa a VIII-a?

Trei: pătratul sumei ${(a + b)}^{2}$ , pătratul diferenței ${(a - b)}^{2}$ și diferența de pătrate $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ . Din ele derivă și cazurile de factorizare inversă.

Trebuie să memorez formulele sau le pot deduce oricând?

La început le poți deduce, desfăcând înmulțirea celor două paranteze. Cu cât le folosești mai des, cu atât le reții din memorie și le aplici direct, fără să le mai deduci.

Formula diferenței de pătrate merge și cu numere, nu doar cu litere?

Da, exact acolo e cea mai utilă la calcul rapid: $998^{2}$ sau $51 \cdot 49$ se calculează în câteva secunde dacă recunoști tiparul, în loc să înmulțești direct numere mari.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 7. Formule de calcul prescurtat..

Exersează cu fișa de lucru: Formule de calcul prescurtat — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este formula corectă pentru pătratul sumei a două numere $a$ și $b$ ?
2. Care este formula corectă pentru pătratul diferenței a două numere $a$ și $b$ ?
3. Care este formula corectă pentru diferența de pătrate $a^{2} - b^{2}$ ?
4. Calculează folosind o formulă de calcul prescurtat: $103^{2}$
5. Folosind formula diferenței de pătrate, calculează $47 \cdot 53$ .

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 1 mai 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

INECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b > 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 1: Intervale de numere reale

CALCUL ALGEBRIC cu litere, termeni asemenea și paranteze - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

DESCOMPUNEREA ÎN FACTORI factor comun, formule, grupare - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

VALOAREA MINIMĂ A UNEI EXPRESII și valoarea maximă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

ECUAȚIA DE GRADUL 2 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a IX-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

PIRAMIDA TRIUNGHIULARĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună