ECUAȚIA DE GRADUL 2 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a IX-a)

O ecuație de gradul al doilea are forma $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$, și se rezolvă cu ajutorul discriminantului $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. Mai jos găsești formula, relațiile lui Viète și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Ecuația de gradul al doilea: formula și discriminantul

Exerciții rezolvate : ecuația de gradul al doilea

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aplicare directăușor

Rezolvă ecuația $x^2-7x+10=0$.

Rezolvare pas cu pas

1. Identificăm coeficienții: $a=1$, $b=-7$, $c=10$.
2. Calculăm discriminantul: $\mathrm{\Delta }=$ ${(-7)}^2-4\cdot 1\cdot 10=$ $49-40=$ $9$.
3. $\sqrt{\mathrm{\Delta }}=$ $\sqrt{9}=$ $3$.
4. Aplicăm formula: $x_1=$ ${\displaystyle \frac{7+3}{2}}=$ $5$, $x_2=$ ${\displaystyle \frac{7-3}{2}}=$ $2$.

Răspuns: $x_1=5$, $x_2=2$

EXERCIȚIUL 2Discriminant zeroușor

Rezolvă ecuația $x^2-8x+16=0$.

Rezolvare pas cu pas

1. $a=1$, $b=-8$, $c=16$.
2. $\mathrm{\Delta }=$ ${(-8)}^2-4\cdot 1\cdot 16=$ $64-64=$ $0$.
3. Discriminantul este zero, deci ecuația are o singură soluție (dublă): $x_1=$ $x_2=$ $-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=$ ${\displaystyle \frac{8}{2}}=$ $4$.

Răspuns: $x_1=x_2=4$

EXERCIȚIUL 3Coeficient a diferit de 1mediu

Rezolvă ecuația $2x^2+3x-2=0$.

Rezolvare pas cu pas

1. $a=2$, $b=3$, $c=-2$.
2. $\mathrm{\Delta }=$ $3^2-4\cdot 2\cdot (-2)=$ $9+16=$ $25$.
3. $\sqrt{25}=5$.
4. $x_1=$ ${\displaystyle \frac{-3+5}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{2}{4}}=$ $\mathrm{0,5}$, $x_2=$ ${\displaystyle \frac{-3-5}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{-8}{4}}=$ $-2$.

Răspuns: $x_1=\mathrm{0,5}$, $x_2=-2$

EXERCIȚIUL 4Fără soluții realemediu

Rezolvă ecuația $3x^2-2x+5=0$.

Rezolvare pas cu pas

1. $a=3$, $b=-2$, $c=5$.
2. $\mathrm{\Delta }=$ ${(-2)}^2-4\cdot 3\cdot 5=$ $4-60=$ $-56$.
3. Discriminantul este negativ, deci ecuația nu are nicio soluție reală. Acesta este răspunsul complet, nu mai continuăm cu formula.

Răspuns: ecuația nu are soluții reale ($\mathrm{\Delta }=-56<0$)

EXERCIȚIUL 5Aducerea la forma standardmediu

Rezolvă ecuația $(x-1)(x+2)=10$, aducând-o mai întâi la forma standard.

Rezolvare pas cu pas

1. Desfacem paranteza din stânga: $x^2+2x-x-2=$ $10\Rightarrow$ $x^2+x-2=$ $10$.
2. Mutăm totul în stânga: $x^2+x-12=0$.
3. Acum aplicăm formula: $\mathrm{\Delta }=$ $1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=$ $1+48=$ $49$, $\sqrt{49}=7$.
4. $x_1=$ ${\displaystyle \frac{-1+7}{2}}=$ $3$, $x_2=$ ${\displaystyle \frac{-1-7}{2}}=$ $-4$.

Răspuns: $x_1=3$, $x_2=-4$

EXERCIȚIUL 6Relațiile lui Viètegreu

Ecuația $x^2-7x+c=0$ are o soluție $x_1=3$. Află valoarea lui $c$ și cealaltă soluție $x_2$, folosind relațiile lui Viète, fără să calculezi discriminantul.

Rezolvare pas cu pas

1. Din prima relație a lui Viète, $x_1+x_2=$ $-{\displaystyle \frac{b}{a}}=$ $7$, deci $x_2=$ $7-x_1=$ $7-3=$ $4$.
2. Din a doua relație, $x_1\cdot x_2=$ ${\displaystyle \frac{c}{a}}=$ $c$, deci $c=3\cdot 4=12$.
3. Verificare: ecuația devine $x^2-7x+12=0$, cu $\mathrm{\Delta }=49-48=1$ și soluțiile $x=$ ${\displaystyle \frac{7\pm 1}{2}}$, adică $4$ și $3$ ✓.

Răspuns: $c=12$, $x_2=4$

EXERCIȚIUL 7Problemă de contextgreu

Aria unui dreptunghi este $60$ cm², iar lungimea este cu $4$ cm mai mare decât lățimea. Află dimensiunile dreptunghiului.

Rezolvare pas cu pas

1. Notăm lățimea cu $x$; lungimea este $x+4$. Aria: $x(x+4)=60$.
2. Desfacem și aducem la forma standard: $x^2+4x-60=0$.
3. $\mathrm{\Delta }=$ $4^2-4\cdot 1\cdot (-60)=$ $16+240=$ $256$, $\sqrt{256}=16$.
4. $x_1=$ ${\displaystyle \frac{-4+16}{2}}=$ $6$, $x_2=$ ${\displaystyle \frac{-4-16}{2}}=$ $-10$. Respingem soluția negativă, pentru că o lățime nu poate fi negativă.
5. Lățimea este $6$ cm, iar lungimea $6+4=10$ cm.

Răspuns: lățime $6$ cm, lungime $10$ cm

EXERCIȚIUL 8Discuție după parametrugreu

Pentru ce valori ale lui $m$ ecuația $x^2-4x+m=0$ are două soluții reale distincte?

Rezolvare pas cu pas

1. Punem condiția să existe două soluții distincte: $\mathrm{\Delta }>0$.
2. Calculăm: $\mathrm{\Delta }=$ ${(-4)}^2-4\cdot 1\cdot m=$ $16-4m$.
3. Rezolvăm inecuația: $16-4m>0\Rightarrow$ $-4m>-16\Rightarrow$ $m<4$.
4. Verificare pentru $m=3$: $\mathrm{\Delta }=$ $16-12=$ $4>0$ ✓, deci ecuația chiar are două soluții.

Răspuns: pentru $m<4$

Cum recunoști un exercițiu cu ecuația de gradul 2

• Necunoscuta $x$ apare ridicată la puterea a doua, $x^2$, alături de termeni cu $x$ la puterea întâi și un termen liber.
• Enunțul poate cere direct soluțiile, sau poate cere doar câte soluții reale are ecuația, ceea ce înseamnă că te oprești la semnul discriminantului.
• Dacă enunțul dă deja o soluție și cere să afli un coeficient necunoscut sau cealaltă soluție, aplici relațiile lui Viète, nu discriminantul.
• Dacă enunțul cere doar câte soluții reale are ecuația, nu care sunt ele, te oprești la semnul lui $\mathrm{\Delta }$, fără să mai aplici formula completă.

Greșeli frecvente la ecuația de gradul al doilea

• Scrii coeficientul $b$ fără semn. Coeficientul $b$ include semnul din fața termenului cu $x$. Dacă ecuația e $2x^2-5x+3=0$, atunci $b=-5$, nu $5$.
• Aplici formula fără să calculezi mai întâi discriminantul. Calculezi întotdeauna $\mathrm{\Delta }$ primul. Dacă $\mathrm{\Delta }<0$, răspunsul „ecuația nu are soluții reale” e deja complet; nu continui cu formula.
• Aplici formula fără să aduci mai întâi ecuația la forma standard. Dacă ai o ecuație cu paranteze sau cu termeni de ambele părți ale egalului, muți tot în stânga și lași zero în dreapta ÎNAINTE să identifici $a$, $b$, $c$.

Exersează : ecuația de gradul al doilea

Din același capitol

• Funcția matematică: ce este
• Ecuația asimptotei oblice
• Toate formulele de matematică pentru gimnaziu

Întrebări frecvente despre ecuația de gradul al doilea