Ecuația de gradul 2 — ghid complet cu formulă, pași

de Echipa Școala Virtuală9 mai 2026

Ecuația de gradul 2: formulă + 5 exerciții rezolvate

Știi senzația când deschizi un exercițiu și vezi ecuația de gradul 2, și primul gând e: „De unde încep?” Ai în față ceva de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ și nu știi dacă să te uiți la $a$ , la $b$ , sau să închizi caietul cu totul. Sincer? Și eu am avut momentul ăla. Ecuațiile de gradul 2 par complicat pentru că au mai mulți pași decât ce știai până acum — și pașii ăia trebuie făcuți în ordine. Dar uite ce-i interesant: odată ce înțelegi logica din spate, nu mai e nimic de memorat pe de rost. Chiar nimic. Tot ce ai nevoie e o formulă, puțin calcul și să știi unde te poți împiedica. Hai să vedem cum funcționează, pas cu pas.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă o ecuație de gradul 2 și cum o recunoști
Vei ști să calculezi discriminantul și să interpretezi rezultatul
Vei rezolva o ecuație de gradul 2 complet, pas cu pas, folosind formula
Vei ști ce greșeli să eviți ca să nu pierzi puncte la exerciții

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, o ecuație de gradul 2

Să zicem că ai o balanță. Pe o parte ai o expresie cu $x$ , pe cealaltă ai zero. Misiunea ta e să găsești ce valoare are $x$ ca balanța să rămână în echilibru. Asta-i orice ecuație. Ecuația de gradul 2 e specială pentru că $x$ apare ridicat la puterea a doua — adică $x^{2}$ . Forma standard e aceasta:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Unde $a$ , $b$ și $c$ sunt numere cunoscute, iar $a \neq 0$ . De ce $a \neq 0$ ? Pentru că dacă $a$ ar fi zero, nu mai ai $x^{2}$ deloc, și ecuația ar deveni de gradul 1 — altă poveste. Practic, $a$ e coeficientul care îți spune că ești în fața unui grad 2. Fără el, totul se schimbă. Ecuația poate să aibă două soluții, o soluție sau nicio soluție reală — și asta depinde de un număr magic numit discriminant. Ajungem imediat acolo.

💡 Regula de bază

O ecuație de gradul 2 are forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu $a \neq 0$ . Ca să o rezolvi, calculezi discriminantul $Δ = b^{2} - 4 a c$ , apoi aplici formula pentru soluții. Semnul lui $Δ$ îți spune câte soluții reale există.

Discriminantul — numărul care îți spune tot

Discriminantul sună complicat. De fapt e doar un calcul scurt care îți răspunde la o întrebare simplă: câte soluții are ecuația mea? Îl notăm cu $Δ$ (litera grecească delta) și se calculează așa:

$Δ = b^{2} - 4 a c$

Ai trei cazuri posibile. Dacă $Δ > 0$ , ecuația are două soluții reale distincte. Dacă $Δ = 0$ , are o singură soluție (dublă, cum se spune). Dacă $Δ < 0$ , nu are nicio soluție reală — adică nu există niciun număr real care să funcționeze. La clasa 8 și la Evaluarea Națională, majoritatea exercițiilor au $Δ \geq 0$ , deci nu te panica. Dar trebuie să-l calculezi întotdeauna — nu presupune că ai două soluții înainte să verifici.

💡 Formula soluțiilor

Dacă $Δ \geq 0$ , soluțiile ecuației $a x^{2} + b x + c = 0$ sunt: $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ . Adică una cu $+ \sqrt{Δ}$ și una cu $- \sqrt{Δ}$ .

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Rezolvă ecuația $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ .

🔢 Rezolvare

$a = 2, b = - 5, c = 3$

$Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{1} = 1$

$x_{1} = \frac{- (- 5) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x_{2} = \frac{- (- 5) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

✅ Explicație

Primul pas a fost să identific $a$ , $b$ și $c$ direct din ecuație — fără să schimb nimic. Atenție că $b = - 5$ , negativ, nu pozitiv. Am calculat $Δ = 1 > 0$ , deci știam că există două soluții. Am aplicat formula de două ori: o dată cu $+$ , o dată cu $-$ . Simplu, mecanic, fără surprize.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Scrii $b = 5$ în loc de $b = - 5$ când termenul din ecuație e $- 5 x$ . Apoi $Δ$ iese greșit și soluțiile sunt ambele greșite.

✅ Corect: Coeficientul $b$ include semnul. Dacă ecuația e $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ , atunci $b = - 5$ , punct. Întotdeauna uită-te la semnul din fața termenului cu $x$ .

❌ Greșeala #2: Uiți să calculezi $Δ$ și presupui direct că există două soluții. Aplicând formula, obții o rădăcină negativă sub radical — și acolo rămâi blocat.

✅ Corect: Calculează $Δ$ întotdeauna primul. Dacă $Δ < 0$ , răspunsul e simplu: „Ecuația nu are soluții reale.” E un răspuns complet și corect — nu trebuie să continui.

❌ Greșeala #3: Aplici formula fără să aduci mai întâi ecuația la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ . De exemplu, ai $x^{2} + 3 = 5 x$ și iei $b = 3$ , $c = 5 x$ — nu merge.

✅ Corect: Primul pas la orice ecuație de gradul 2 e să muți tot în stânga și să lași zero în dreapta. Abia apoi identifici $a$ , $b$ , $c$ .

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Rezolvă $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

a = 1, b = - 5, c = 6

Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

\sqrt{Δ} = \sqrt{1} = 1

x_{1} = \frac{- (- 5) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3

x_{2} = \frac{- (- 5) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2

Identificăm întâi coeficienții, apoi discriminantul, apoi aplicăm formula de două ori: o dată cu plus, o dată cu minus.

Răspuns: $x_{1} = 3$ și $x_{2} = 2$

Exercițiul 2. Rezolvă $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

a = 1, b = - 6, c = 9

Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0

Discriminantul este zero, deci ecuația are o singură soluție (dublă), dată de formula simplificată:

x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (- 6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3

Nu mai avem nevoie de radical, pentru că el este zero. Rămâne doar termenul $- b$ împărțit la $2 a$ .

Răspuns: $x_{1} = x_{2} = 3$

Exercițiul 3. Rezolvă $3 x^{2} + x - 2 = 0$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

a = 3, b = 1, c = - 2

Δ = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 1 + 24 = 25

\sqrt{Δ} = \sqrt{25} = 5

x_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

x_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{- 6}{6} = - 1

Aici $a$ nu mai este 1, așa că fracția $4 / 6$ trebuie simplificată la $2 / 3$ . Atenție și la $c$ , care e negativ.

Răspuns: $x_{1} = \frac{2}{3}$ și $x_{2} = - 1$

Exercițiul 4. Rezolvă $2 x^{2} - 3 x + 5 = 0$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

a = 2, b = - 3, c = 5

Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = - 31

Discriminantul este negativ, deci nu putem extrage radicalul din el în numere reale. Ecuația nu are soluții reale, iar acesta este un răspuns complet, nu trebuie să continuăm cu formula.

Răspuns: ecuația nu are soluții reale (discriminantul este negativ)

Exercițiul 5. Provocare: rezolvă ecuația $(x - 1) (x + 5) = 2 x + 3$ , aducând-o mai întâi la forma standard.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Prima problemă e că ecuația nu e încă în forma $a x^{2} + b x + c = 0$ . Desfacem întâi parantezele din stânga:

x^{2} + 5 x - x - 5 = 2 x + 3

x^{2} + 4 x - 5 = 2 x + 3

Mutăm tot în stânga, ca să obținem zero în dreapta:

x^{2} + 2 x - 8 = 0

Abia acum identificăm coeficienții și aplicăm formula, exact ca la exercițiile anterioare:

a = 1, b = 2, c = - 8

Δ = b^{2} - 4 a c = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 4 + 32 = 36

\sqrt{Δ} = \sqrt{36} = 6

x_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2

x_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{- 8}{2} = - 4

Verificare directă în ecuația inițială: pentru $x = 2$ , avem $1 \cdot 7$ în stânga și $2 \cdot 2 + 3$ în dreapta, ambele egale cu 7. Pentru $x = - 4$ , avem $- 5 \cdot 1$ în stânga și $- 5$ în dreapta, la fel egale. Ambele soluții sunt corecte.

Răspuns: $x_{1} = 2$ și $x_{2} = - 4$

Întrebări frecvente

Ce fac dacă ecuația nu e în forma standard?

Aduci tot în stânga egalului și lași 0 în dreapta. De exemplu, $x^{2} + 4 = 7 x$ devine $x^{2} - 7 x + 4 = 0$ . Abia după asta identifici $a$ , $b$ și $c$ . Sari peste pasul ăsta și garantat greșești coeficienții.

Pot rezolva ecuația de gradul 2 fără formulă?

Uneori da — prin descompunere în factori sau prin completarea pătratului. Dar formula cu discriminantul merge întotdeauna, indiferent de ecuație. La examen, dacă nu îți vine descompunerea rapid, folosește formula. E mai sigur și mai rapid decât să cauți combinații.

Cum verific dacă soluțiile mele sunt corecte?

Înlocuiești $x$ cu soluția găsită direct în ecuația originală și verifici dacă obții 0. De exemplu, pentru $x = 3$ în $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : $9 - 15 + 6 = 0$ . Merge. E un pas în plus, dar îți salvează puncte dacă ai greșit undeva pe parcurs.

De ce Δ negativ înseamnă că nu există soluții?

Pentru că în formulă apare $\sqrt{Δ}$ , iar rădăcina pătrată dintr-un număr negativ nu există în mulțimea numerelor reale. Nu poți calcula $\sqrt{- 4}$ pe axa numerelor normale. La liceu vei învăța numere complexe — dar deocamdată răspunsul corect e: nu există soluții reale.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună