Linia mijlocie în triunghi: 5 exerciții rezolvate

📌 Ce vei învăța

• Vei înțelege ce este linia mijlocie în triunghi și cum o identifici într-o figură
• Vei ști să aplici cele două proprietăți esențiale în exerciții
• Vei recunoaște greșelile frecvente și vei ști cum să le eviți
• Vei rezolva exerciții de dificultate progresivă cu răspunsuri verificate

💡 Regula de bază

Linia mijlocie a unui triunghi este segmentul care unește mijloacele a două laturi ale triunghiului. Ea este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din aceasta. Dacă a treia latură are lungimea  $a$ , atunci linia mijlocie are lungimea  ${\displaystyle \frac{a}{2}}$ .

💡 Regula de bază

Dacă  $M$  și  $N$  sunt mijloacele laturilor  $AB$  și  $AC$  din triunghiul  $ABC$ , atunci:  $MN\parallel BC$  și  $MN={\displaystyle \frac{BC}{2}}$ . Reciproc, dacă un segment unește mijlocul unei laturi cu un punct de pe altă latură și este paralel cu a treia latură, atunci acel punct este mijlocul celei de-a doua laturi.

📝 Enunț

În triunghiul  $ABC$ ,  $M$  este mijlocul laturii  $AB$  și  $N$  este mijlocul laturii  $AC$ . Știind că  $MN=\mathrm{7,5}\text{ cm}$ , calculează lungimea laturii  $BC$ . Știind că  $BC=18\text{ cm}$ , calculează  $MN$  într-un al doilea triunghi similar.

🔢 Rezolvare

$$MN=\frac{BC}{2}$$

$$\mathrm{7,5}=\frac{BC}{2}$$

$$BC=\mathrm{7,5}\times 2$$

$$BC=15\text{ cm}$$

Al doilea caz —  $BC=18\text{ cm}$ :

$$MN=\frac{BC}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ cm}$$

✅ Explicație

Formula spune că linia mijlocie e jumătate din latura paralelă cu ea. Deci dacă știi linia mijlocie și vrei latura, înmulțești cu 2. Dacă știi latura și vrei linia mijlocie, împarți la 2. Nu există altceva de făcut — e o relație directă, fără pași ascunși. Important e să verifici înainte că  $M$  și  $N$  sunt mijloacele laturilor, nu puncte oarecare.

❌ Greșeala #1: Elevii aplică formula liniei mijlocii pentru orice segment din triunghi, nu doar pentru cel care unește mijloacele a două laturi. Văd un segment și direct scriu  $MN={\displaystyle \frac{BC}{2}}$ , fără să verifice că  $M$  și  $N$  sunt cu adevărat mijloace.

✅ Corect: Înainte de orice calcul, verifici explicit că punctele date sunt mijloacele laturilor respective. Dacă problema nu spune asta direct, nu poți folosi proprietatea. Citește enunțul cu atenție — de obicei scrie „ $M$  este mijlocul lui  $AB$ ”.

❌ Greșeala #2: Confundarea sensului formulei — când știu  $MN$ , în loc să înmulțească cu 2 ca să găsească  $BC$ , elevii împart din nou la 2. Adică fac  $BC={\displaystyle \frac{MN}{2}}$ , ceea ce e complet greșit.

✅ Corect: Ține minte relația în ambele sensuri:  $MN={\displaystyle \frac{BC}{2}}$ , deci  $BC=2\times MN$ . Dacă ai linia mijlocie și cauți latura, înmulțești. Dacă ai latura și cauți linia mijlocie, împarți. Scrie relația înainte de calcul și nu vei greși.

Exercițiul 1. În triunghiul $DEF$, $M$ este mijlocul lui $DE$ și $N$ este mijlocul lui $DF$. Dacă $EF=14\text{cm}$, cât măsoară $MN$?

Exercițiul 2. În triunghiul $ABC$, linia mijlocie $MN$ corespunzătoare laturii $BC$ are lungimea $MN=11\text{cm}$. Calculează perimetrul triunghiului $ABC$ știind că $AB=10\text{cm}$ și $AC=8\text{cm}$.

Exercițiul 3. În triunghiul $ABC$ cu $AB=16\text{cm}$, $BC=20\text{cm}$ și $AC=12\text{cm}$, se trasează toate cele trei linii mijlocii. Calculează perimetrul triunghiului format de cele trei linii mijlocii.

Exercițiul 4. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar $N$ este un punct pe latura $AC$ astfel încât $MN\parallel BC$. Știind că $AC=18\text{cm}$ și $BC=16\text{cm}$, calculează lungimile segmentelor $AN$ și $MN$.

Exercițiul 5. Provocare: perimetrul triunghiului $ABC$ este de $36\text{cm}$. Unim mijloacele laturilor și obținem triunghiul $MNP$, apoi unim și mijloacele laturilor triunghiului $MNP$ și obținem un al treilea triunghi. Calculează perimetrul acestui al treilea triunghi.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 6. Linia mijlocie în triunghi..