SISTEME DE ECUAȚII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Un sistem de două ecuații cu două necunoscute înseamnă două condiții care trebuie să fie adevărate în același timp, pentru aceleași valori ale lui $x$ și $y$ . Mai jos găsești metoda substituției, metoda reducerii și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Sisteme de ecuații cu două necunoscute

Definiție. Un sistem de două ecuații cu două necunoscute $x$ și $y$ are forma:

${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$

Soluția sistemului este perechea $(x, y)$ care verifică simultan ambele ecuații. Există două metode standard de rezolvare, folosite în funcție de cum arată coeficienții.

Metoda substituției. Exprimi o necunoscută din una dintre ecuații și o înlocuiești în cealaltă. Rămâi cu o singură ecuație, cu o singură necunoscută, pe care știi deja s-o rezolvi.

Metoda reducerii. Aduni sau scazi cele două ecuații, eventual după ce le înmulțești cu numere alese astfel încât o necunoscută să dispară. Dacă niciun coeficient nu e deja egal sau opus, înmulțești una sau ambele ecuații până potrivești coeficienții.

Indiferent de metodă, verifici la final soluția în AMBELE ecuații ale sistemului inițial, nu doar în una.

La probleme de context (vârste, sume de bani, bilete), primul pas nu este niciodată calculul, ci notarea corectă a necunoscutelor: alegi ce înseamnă $x$ și ce înseamnă $y$ , scrii clar asta, și abia apoi traduci cele două informații din enunț în două ecuații. O notare clară de la început îți economisește timp la fiecare pas următor și te ajută să verifici dacă răspunsul are sens în context, nu doar din punct de vedere matematic.

Exerciții rezolvate : sistemele de ecuații cu două necunoscute

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Substituție directăușor

Rezolvă sistemul: ${\begin{matrix} x + y = 12 \\ x - y = 4 \end{matrix}$ .

Rezolvare pas cu pas

Din prima ecuație exprimăm $x$ : $x = 12 - y$ .
Înlocuim în a doua ecuație: $(12 - y) - y =$ $4 \Rightarrow$ $12 - 2 y =$ $4$ .
Rezolvăm: $- 2 y = 4 - 12 = - 8$ , deci $y = 4$ .
Aflăm $x = 12 - 4 = 8$ . Verificare: $8 - 4 = 4$ ✓.

Răspuns: $x = 8$ , $y = 4$

EXERCIȚIUL 2Reducere directăușor

Rezolvă sistemul: ${\begin{matrix} 2 x + y = 11 \\ 2 x - y = 1 \end{matrix}$ .

Rezolvare pas cu pas

Coeficienții lui $y$ sunt deja opuși ( $+ 1$ și $- 1$ ), deci adunăm ecuațiile: $(2 x + y) + (2 x - y) =$ $11 + 1 \Rightarrow$ $4 x =$ $12$ .
Obținem $x = 3$ .
Înlocuim în prima ecuație: $2 \cdot 3 + y =$ $11 \Rightarrow$ $y =$ $5$ . Verificare: $2 \cdot 3 - 5 = 1$ ✓.

Răspuns: $x = 3$ , $y = 5$

EXERCIȚIUL 3Substituție dintr-o ecuație mai simplămediu

Rezolvă sistemul: ${\begin{matrix} 3 x + y = 17 \\ x + y = 9 \end{matrix}$ .

Rezolvare pas cu pas

A doua ecuație e mai simplă, așa că exprimăm $y$ din ea: $y = 9 - x$ .
Înlocuim în prima ecuație: $3 x + (9 - x) =$ $17 \Rightarrow$ $2 x + 9 =$ $17$ .
Rezolvăm: $2 x = 8$ , deci $x = 4$ .
Aflăm $y = 9 - 4 = 5$ . Verificare: $3 \cdot 4 + 5 = 17$ ✓.

Răspuns: $x = 4$ , $y = 5$

EXERCIȚIUL 4Reducere cu o singură înmulțiremediu

Rezolvă sistemul: ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 16 \\ x + y = 7 \end{matrix}$ .

Rezolvare pas cu pas

Înmulțim a doua ecuație cu $2$ , ca să potrivim coeficientul lui $x$ : $2 x + 2 y = 14$ .
Scădem din prima ecuație: $(2 x + 3 y) - (2 x + 2 y) =$ $16 - 14 \Rightarrow$ $y =$ $2$ .
Înlocuim în ecuația inițială $x + y = 7$ : $x = 7 - 2 = 5$ . Verificare: $2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 =$ $16$ ✓.

Răspuns: $x = 5$ , $y = 2$

EXERCIȚIUL 5Problemă cu două numeremediu

Suma a două numere este $45$ , iar diferența lor este $9$ . Află cele două numere.

Rezolvare pas cu pas

Notăm numerele cu $x$ și $y$ și scriem sistemul: ${\begin{matrix} x + y = 45 \\ x - y = 9 \end{matrix}$ .
Adunăm ecuațiile: $2 x = 54$ , deci $x = 27$ .
Înlocuim: $y = 45 - 27 = 18$ . Verificare: $27 - 18 = 9$ ✓.

Răspuns: numerele sunt $27$ și $18$

EXERCIȚIUL 6Reducere cu ambele ecuații înmulțitegreu

Rezolvă sistemul: ${\begin{matrix} 3 x + 2 y = 21 \\ 5 x - 4 y = 13 \end{matrix}$ .

Rezolvare pas cu pas

Niciun coeficient nu e deja egal sau opus. Înmulțim prima ecuație cu $2$ , ca să potrivim coeficientul lui $y$ : $6 x + 4 y = 42$ .
Adunăm cu a doua ecuație (coeficienții lui $y$ devin opuși): $(6 x + 4 y) + (5 x - 4 y) =$ $42 + 13 \Rightarrow$ $11 x =$ $55$ .
Obținem $x = 5$ . Înlocuim în prima ecuație inițială: $3 \cdot 5 + 2 y =$ $21 \Rightarrow$ $2 y =$ $6 \Rightarrow$ $y =$ $3$ .
Verificare în a doua ecuație: $5 \cdot 5 - 4 \cdot 3 =$ $25 - 12 =$ $13$ ✓.

Răspuns: $x = 5$ , $y = 3$

EXERCIȚIUL 7Problemă cu biletegreu

O familie cu 2 adulți și 3 copii plătește la teatru $120$ de lei. O altă familie cu 3 adulți și 1 copil plătește $110$ de lei. Calculează prețul unui bilet de adult și al unui bilet de copil.

Rezolvare pas cu pas

Notăm cu $x$ prețul unui bilet de adult și cu $y$ prețul unui bilet de copil: ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 120 \\ 3 x + y = 110 \end{matrix}$ .
Din a doua ecuație exprimăm $y$ : $y = 110 - 3 x$ .
Înlocuim în prima ecuație: $2 x + 3 (110 - 3 x) =$ $120 \Rightarrow$ $2 x + 330 - 9 x =$ $120 \Rightarrow$ $- 7 x =$ $- 210$ .
Obținem $x = 30$ , apoi $y = 110 - 90 = 20$ . Verificare: $2 \cdot 30 + 3 \cdot 20 =$ $120$ ✓.

Răspuns: bilet adult $30$ lei, bilet copil $20$ lei

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Rezolvă în $ℝ \times ℝ$ sistemul de ecuații: ${\begin{matrix} 2 x - y = 1 \\ x + 2 y = 8 \end{matrix}$ .

Rezolvare pas cu pas

Din prima ecuație exprimăm $y$ : $y = 2 x - 1$ .
Înlocuim în a doua ecuație: $x + 2 (2 x - 1) =$ $8 \Rightarrow$ $x + 4 x - 2 =$ $8 \Rightarrow$ $5 x =$ $10$ .
Obținem $x = 2$ , apoi $y =$ $2 \cdot 2 - 1 =$ $3$ . Verificare: $2 + 2 \cdot 3 = 8$ ✓.

Răspuns: $x = 2$ , $y = 3$

Cum recunoști un exercițiu cu sisteme de ecuații

Enunțul dă două condiții separate despre aceleași două necunoscute, de obicei notate $x$ și $y$ .
La probleme de context (bilete, vârste, numere), apar două informații diferite despre aceleași două cantități necunoscute.
Dacă una din ecuații are deja o necunoscută singură, fără coeficient, e semn că substituția merge repede.

Greșeli frecvente la sistemele de ecuații cu două necunoscute

Înlocuiești expresia scoasă la substituție tot în ecuația din care ai scos-o. Expresia extrasă din ecuația 1 se înlocuiește obligatoriu în ecuația 2, niciodată înapoi în ecuația 1: acolo obții doar o identitate de tipul $10 = 10$ , fără să afli nimic nou.
La reducere, înmulțești o ecuație și uiți să înmulțești și termenul liber din dreapta. Când înmulțești o ecuație cu un număr, înmulțești TOȚI termenii, inclusiv cel din dreapta egalului, fără excepție.
Găsești o singură necunoscută și te oprești acolo. Soluția unui sistem este perechea $(x, y)$ , nu o singură valoare. După ce afli prima necunoscută, o înlocuiești ca să calculezi și pe a doua, apoi verifici în ambele ecuații.

Exersează : sistemele de ecuații cu două necunoscute

Fișă de lucru: Ecuații de forma ax + b = 0, clasa a VII-aPDF de printat, cu rezolvări Test: Ecuații și sisteme de ecuații, clasa a VII-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre sistemele de ecuații cu două necunoscute

Cum știu ce metodă să aleg, substituție sau reducere?

Dacă într-una din ecuații o necunoscută apare singură, fără coeficient în față, substituția e mai rapidă. Dacă ambele ecuații au coeficienți la ambele necunoscute și unii sunt deja egali sau opuși, reducerea e mai directă. Ambele metode dau mereu același rezultat.

Ce înseamnă că sistemul nu are soluție sau are infinit de soluții?

Dacă, după ce reduci, ajungi la o propoziție falsă de tipul $0 = 5$ , sistemul nu are soluție. Dacă ajungi la o propoziție adevărată de tipul $0 = 0$ , sistemul are infinit de soluții, pentru că cele două ecuații descriu de fapt aceeași dreaptă.

Trebuie neapărat să verific soluția la final?

Nu e obligatoriu, dar e cea mai sigură metodă de a prinde o greșeală de calcul înainte să predai lucrarea. Înlocuiești $x$ și $y$ în AMBELE ecuații inițiale și verifici că egalitățile ies adevărate. Durează doar câteva secunde, iar dacă una dintre egalități nu iese, știi imediat că trebuie să reverifici pașii, nu doar rezultatul final.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele este un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute?
2. Prin metoda substituției, din ecuația $x + 2 y = 6$ , cum exprimi corect pe $x$ în funcție de $y$ ?
3. Se dă sistemul ${\begin{matrix} y = 3 x - 1 \\ 2 x + y = 9 \end{matrix}$ . Prin substituție, ce ecuație cu o singură necunoscută obții după înlocuirea lui $y$ în a doua ecuație?
4. După ce ai găsit valoarea lui $x = 2$ din sistemul ${\begin{matrix} y = x + 4 \\ x + y = 8 \end{matrix}$ , care este valoarea lui $y$ ?
5. Care este soluția sistemului ${\begin{matrix} y = 2 x \\ x + y = 6 \end{matrix}$ prin metoda substituției?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 24 mai 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

LUNGIMEA CERCULUI formula L = 2πr - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

ECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b = 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

SISTEME DE ECUAȚII cu text, din viața de zi cu zi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

PRODUSUL CARTEZIAN și sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

DISTANȚA DINTRE DOUĂ PUNCTE în sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

POLIGONUL FRECVENȚELOR și tabelul de frecvențe - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună