de Echipa Școala Virtuală27 iulie 2026

Probleme cu ecuații: exemple rezolvate pas cu pas

Ai citit enunțul de trei ori și tot nu știi de unde să începi. Știi că e vorba de un număr necunoscut, știi că trebuie să faci ceva cu el — dar ce anume? Asta e exact momentul în care problemele care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor par imposibile. Nu sunt. De fapt, e vorba de un truc simplu pe care, odată ce îl vezi, îl vei recunoaște în orice enunț. Practic, transformi o problemă de logică într-o balanță — pui necunoscuta de o parte și datele problemei de cealaltă, și le echilibrezi. Atât. Hai să vedem exact cum funcționează asta, pas cu pas, cu exemple reale și cu greșelile pe care le fac aproape toți elevii la început — inclusiv eu le-am făcut.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă să „traduci" o problemă în ecuație
Vei ști să identifici necunoscuta și să o notezi corect
Vei vedea cum se rezolvă o problemă reală, pas cu pas
Vei ști ce greșeli să eviți ca să nu pierzi puncte inutil

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce înseamnă, de fapt, să rezolvi o problemă cu o ecuație

Termenul „ecuație" sună complicat. Nu e. O ecuație e doar o balanță în echilibru — ai ceva în stânga, ai ceva în dreapta, și cele două părți sunt egale. Când rezolvi o problemă cu ajutorul unei ecuații, practic faci un singur lucru: notezi cu $x$ ce nu știi, scrii cu litere și numere ce știi din enunț, și rezolvi ca să afli $x$ . Uite cum apare asta în viața reală. Tu și fratele tău aveți împreună 54 de lei. Fratele tău are cu 10 lei mai mult decât tine. Câți lei ai tu? Nu știi cât ai tu — aia e necunoscuta. O notezi cu $x$ . Fratele tău are $x + 10$ . Împreună aveți $x + (x + 10) = 54$ . Gata — asta e ecuația. Acum o rezolvi și afli $x$ .

💡 Regula de bază

Identifici ce nu știi și notezi cu $x$ . Scrii o relație din enunț care leagă necunoscuta de datele cunoscute. Rezolvi ecuația și verifici rezultatul în enunțul original — nu în ecuație, ci în problemă.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Trei prieteni strâng bani pentru un cadou. Al doilea prieten a dat de două ori mai mult decât primul. Al treilea a dat cu 15 lei mai puțin decât al doilea. Împreună au strâns 130 de lei. Cât a dat fiecare?

🔢 Rezolvare

Notăm: primul prieten a dat x lei

Al doilea a dat 2 x lei

Al treilea a dat 2 x - 15 lei

x + 2 x + (2 x - 15) = 130

5 x - 15 = 130

5 x = 130 + 15

5 x = 145

x = 29

Primul: 29 lei, al doilea: 58 lei, al treilea: 43 lei

✅ Explicație

Cheia e să alegi bine ce notezi cu $x$ . Ai ales primul prieten — cel față de care ceilalți se definesc. De acolo, toate celelalte mărimi s-au scris în funcție de $x$ . La final verifici: $29 + 58 + 43 = 130$ . Merge. Dacă nu mergea, înseamnă că ai greșit undeva în ecuație — nu în calcul, ci în „traducerea" enunțului.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Notezi cu $x$ o mărime greșită — una față de care nu se poate exprima nimic altceva din problemă. De exemplu, în problema de mai sus, dacă notai cu $x$ al treilea prieten, ajungeai la expresii complicate și te încurcai singur.

✅ Corect: Notezi cu $x$ mărimea față de care toate celelalte sunt exprimate în enunț. Citești enunțul și te întrebi: „Față de cine se compară ceilalți?" Ăla e $x$ -ul tău.

❌ Greșeala #2: Verifici rezultatul în ecuație, nu în enunț. Pui $x = 29$ în ecuație, vede că iese 130 și consideri că e gata. Dar dacă ai scris ecuația greșit de la început, verificarea în ecuație nu îți arată nimic.

✅ Corect: Întoarce-te la enunțul problemei cu valorile găsite și verifică fiecare condiție din text. „Al doilea a dat de două ori mai mult decât primul?" — $58 = 2 \times 29$ . Da. „Al treilea a dat cu 15 mai puțin decât al doilea?" — $43 = 58 - 15$ . Da. Abia acum ești sigur.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Suma a două numere consecutive este 47. Află cele două numere.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm primul număr cu $x$ . Fiind consecutiv, al doilea este $x + 1$ .

x + (x + 1) = 47

2 x + 1 = 47

2 x = 46

x = 23

Am obținut $x = 23$ , deci al doilea număr este $23 + 1 = 24$ .

Răspuns: $23$ și $24$

Exercițiul 2. Un dreptunghi are lungimea cu 8 cm mai mare decât lățimea. Perimetrul este 64 cm. Află dimensiunile dreptunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm lățimea cu $x$ ; lungimea este atunci $x + 8$ . Perimetrul este suma tuturor laturilor:

2 x + 2 (x + 8) = 64

2 x + 2 x + 16 = 64

4 x + 16 = 64

4 x = 48

x = 12

Lățimea este 12 cm, deci lungimea este $12 + 8 = 20$ cm. Verificare: $2 (12 + 20) = 64$ .

Răspuns: lungimea = $20 cm$ , lățimea = $12 cm$

Exercițiul 3. Trei clase au împreună 87 de elevi. Clasa a 6-a B are cu 3 elevi mai mult decât clasa a 6-a A, iar clasa a 6-a C are de două ori mai mulți elevi decât clasa a 6-a A. Câți elevi are fiecare clasă?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm numărul de elevi din clasa A cu $x$ . Clasa B are $x + 3$ , clasa C are $2 x$ .

x + (x + 3) + 2 x = 87

4 x + 3 = 87

4 x = 84

x = 21

Clasa A are 21 de elevi, clasa B are $21 + 3 = 24$ , clasa C are $2 \cdot 21 = 42$ . Verificare: $21 + 24 + 42 = 87$ .

Răspuns: clasa A = 21 elevi, clasa B = 24 elevi, clasa C = 42 elevi

Exercițiul 4. Mama are acum de trei ori vârsta fiicei sale. Peste 10 ani, mama va avea de două ori vârsta pe care o va avea atunci fiica. Ce vârstă are acum fiica?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm vârsta actuală a fiicei cu $x$ ; mama are $3 x$ . Peste 10 ani, fiica va avea $x + 10$ , iar mama $3 x + 10$ .

3 x + 10 = 2 (x + 10)

3 x + 10 = 2 x + 20

x = 10

Fiica are acum 10 ani, iar mama 30. Verificare: peste 10 ani fiica are 20, mama are 40, adică exact dublu.

Răspuns: fiica are acum 10 ani

Exercițiul 5. Provocare: Un magazin vinde trei tipuri de caiete. Caietul cu spirală costă de două ori mai mult decât caietul simplu. Caietul cu coperți cartonate costă cu 4 lei mai mult decât caietul cu spirală. Împreună, cele trei caiete costă 44 de lei. Cât costă fiecare caiet?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm prețul caietului simplu cu $x$ . Caietul cu spirală costă $2 x$ , iar cel cu coperți cartonate $2 x + 4$ .

x + 2 x + (2 x + 4) = 44

5 x + 4 = 44

5 x = 40

x = 8

Caietul simplu costă 8 lei, deci spirala costă $2 \cdot 8 = 16$ lei, iar coperțile cartonate $16 + 4 = 20$ lei. Verificare: $8 + 16 + 20 = 44$ .

Răspuns: caiet simplu = 8 lei, caiet cu spirală = 16 lei, caiet cu coperți cartonate = 20 lei

Întrebări frecvente

Cum știu ce să notez cu x când enunțul pare complicat?

Citești enunțul și cauți mărimea față de care toate celelalte sunt comparate sau definite. De obicei apare formularea „de două ori mai mult decât...", „cu 5 mai puțin decât..." — cel față de care se face comparația devine $x$ . Dacă nu e clar, încearcă să exprimi fiecare mărime în cuvinte, apoi alege pe cea mai simplă ca punct de plecare.

Trebuie să verific întotdeauna rezultatul?

Da, mereu. Nu ca să pierzi timp, ci ca să câștigi siguranță. Verificarea în enunț — nu în ecuație — îți arată dacă ai „tradus" corect problema. E pasul care face diferența între un rezultat pe care îl scrii cu teamă și unul pe care îl scrii cu convingere. Durează 30 de secunde și îți salvează punctele.

Ce fac dacă îmi iese x negativ sau zecimal — am greșit?

Nu neapărat. Depinde de problemă. Dacă problema cere număr de persoane sau obiecte, un $x$ negativ sau zecimal înseamnă că ceva e greșit în ecuație — cel mai probabil în „traducerea" enunțului. Dacă e vorba de bani, temperaturi sau alte mărimi, un rezultat negativ sau zecimal poate fi perfect valid. Verifică în enunț și vei ști sigur.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 11. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună