ECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b = 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

O ecuație de gradul 1 are forma $a x + b = 0$ , cu $a \neq 0$ , și are o singură soluție: $x = - \frac{b}{a}$ . Mai jos găsești pașii de rezolvare, cazurile speciale și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Ecuația de gradul 1 cu o necunoscută

Definiție. O ecuație de forma $a x + b = 0$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale și $a \neq 0$ , se numește ecuație de gradul 1 cu necunoscuta $x$ . Numărul $a$ este coeficientul lui $x$ , iar $b$ este termenul liber. Soluția este unică:

$a x + b =$ $0 ⟺$ $a x =$ $- b ⟺$ $x =$ $- \frac{b}{a},$ $S =$ ${- \frac{b}{a}}$

Ecuații echivalente. Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții. Obții o ecuație echivalentă dacă:

aduni sau scazi același număr (sau aceeași expresie) în ambii membri; de aici vine regula „treci termenul în celălalt membru cu semn schimbat”;
înmulțești sau împarți ambii membri cu același număr diferit de zero.

Pașii de rezolvare pentru o ecuație mai lungă:

elimini numitorii: înmulțești ambii membri cu numitorul comun;
desfaci parantezele (atenție la minusul din fața parantezei);
treci termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt, cu semn schimbat;
reduci termenii asemenea și ajungi la forma $a x = c$ ;
împarți la coeficientul lui $x$ : $x = \frac{c}{a}$ ;
verifici soluția: o înlocuiești în ecuația inițială și cei doi membri trebuie să fie egali.

Cazuri speciale. Dacă după reducere ajungi la $0 \cdot x = c$ : pentru $c \neq 0$ ecuația nu are soluții, $S = \emptyset$ ; pentru $c = 0$ orice număr real este soluție, $S = ℝ$ .

Ecuații cu modul. Pentru $| a x + b | =$ $c$ : dacă $c > 0$ , rezolvi $a x + b = c$ și $a x + b = - c$ ; dacă $c = 0$ , rezolvi $a x + b = 0$ ; dacă $c < 0$ , ecuația nu are soluții, pentru că modulul nu este niciodată negativ.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Forma ax + b = 0ușor

Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) $3 x - 12 = 0$ ; b) $- 5 x + 2 = 0$ ; c) $0,5 x + 3 = 0$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Trecem $- 12$ în membrul drept: $3 x = 12$ . Împărțim la $3$ : $x = 4$ .
b) $- 5 x = - 2$ . Împărțim la $- 5$ : $x =$ $\frac{- 2}{- 5} =$ $\frac{2}{5}$ .
c) $0,5 x = - 3$ . Împărțim la $0,5$ : $x = - 3 : 0,5 = - 6$ . Verificare: $0,5 \cdot (- 6) + 3 =$ $- 3 + 3 =$ $0$ .

Răspuns: a) $x = 4$ ; b) $x = \frac{2}{5}$ ; c) $x = - 6$

EXERCIȚIUL 2Trecerea termenilorușor

Rezolvă ecuația $7 x - 5 = 3 x + 11$ și verifică soluția.

Rezolvare pas cu pas

Trecem $3 x$ în membrul stâng și $- 5$ în membrul drept, cu semn schimbat: $7 x - 3 x = 11 + 5$ .
Reducem termenii asemenea: $4 x = 16$ , deci $x = 4$ .
Verificare: membrul stâng $7 \cdot 4 - 5 = 23$ , membrul drept $3 \cdot 4 + 11 = 23$ . Cei doi membri sunt egali.

Răspuns: $S = {4}$

EXERCIȚIUL 3Ecuații cu parantezemediu

Rezolvă ecuația $2 (x + 3) - 5 (x - 1) =$ $x - 9$ .

Rezolvare pas cu pas

Desfacem parantezele. Minusul din fața lui $5$ schimbă ambele semne din a doua paranteză: $2 x + 6 - 5 x + 5 =$ $x - 9$ .
Reducem în membrul stâng: $- 3 x + 11 = x - 9$ .
Trecem termenii: $- 3 x - x = - 9 - 11$ , deci $- 4 x = - 20$ .
Împărțim la $- 4$ : $x = 5$ .
Verificare: $2 \cdot 8 - 5 \cdot 4 =$ $16 - 20 =$ $- 4$ și $5 - 9 = - 4$ .

Răspuns: $x = 5$

EXERCIȚIUL 4Ecuații cu numitorimediu

Rezolvă ecuația $\frac{x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} =$ $\frac{1}{6}$ .

Rezolvare pas cu pas

Numitorul comun al lui $3$ , $4$ și $6$ este $12$ . Înmulțim ambii membri cu $12$ : $4 (x - 1) - 3 (x + 2) =$ $2$ .
Desfacem parantezele: $4 x - 4 - 3 x - 6 = 2$ .
Reducem: $x - 10 = 2$ , deci $x = 12$ .
Verificare: $\frac{11}{3} - \frac{14}{4} =$ $\frac{11}{3} - \frac{7}{2} =$ $\frac{22 - 21}{6} =$ $\frac{1}{6}$ .

Răspuns: $x = 12$

EXERCIȚIUL 5Coeficienți cu radicalimediu

Rezolvă ecuațiile: a) $x \sqrt{2} + 1 = 5$ ; b) $x \sqrt{3} + \sqrt{12} =$ $2 \sqrt{27}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $x \sqrt{2} = 4$ , deci $x =$ $\frac{4}{\sqrt{2}}$ .
Raționalizăm numitorul: $x =$ $\frac{4 \sqrt{2}}{2} =$ $2 \sqrt{2}$ .
b) Scoatem factorii de sub radical: $\sqrt{12} =$ $2 \sqrt{3}$ și $2 \sqrt{27} =$ $2 \cdot 3 \sqrt{3} =$ $6 \sqrt{3}$ .
Ecuația devine $x \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} =$ $6 \sqrt{3}$ , deci $x \sqrt{3} =$ $4 \sqrt{3}$ .
Împărțim la $\sqrt{3}$ : $x = 4$ .

Răspuns: a) $x = 2 \sqrt{2}$ ; b) $x = 4$

EXERCIȚIUL 6Cazurile 0 · x = cmediu

Rezolvă ecuațiile: a) $2 (x + 3) = 2 x + 5$ ; b) $3 (x - 1) + 4 =$ $3 x + 1$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $2 x + 6 = 2 x + 5$ , deci $2 x - 2 x = 5 - 6$ , adică $0 \cdot x = - 1$ .
Orice număr înmulțit cu $0$ dă $0$ , niciodată $- 1$ . Ecuația nu are soluții: $S = \emptyset$ .
b) $3 x - 3 + 4 = 3 x + 1$ , deci $3 x + 1 = 3 x + 1$ , adică $0 \cdot x = 0$ .
Egalitatea este adevărată pentru orice număr real $x$ : $S = ℝ$ .

Răspuns: a) $S = \emptyset$ ; b) $S = ℝ$

EXERCIȚIUL 7Ecuații cu modulmediu

Rezolvă în $ℝ$ ecuațiile: a) $| 2 x - 3 | =$ $7$ ; b) $| x + 1 | =$ $- 4$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Membrul drept este $7 > 0$ , deci avem două cazuri: $2 x - 3 = 7$ sau $2 x - 3 = - 7$ .
Din $2 x - 3 = 7$ : $2 x = 10$ , $x = 5$ . Din $2 x - 3 = - 7$ : $2 x = - 4$ , $x = - 2$ .
Verificare: $| 2 \cdot 5 - 3 | =$ $7$ și $| 2 \cdot (- 2) - 3 | =$ $| - 7 | =$ $7$ .
b) Modulul unui număr nu poate fi negativ, deci ecuația nu are soluții.

Răspuns: a) $S = {- 2, 5}$ ; b) $S = \emptyset$

EXERCIȚIUL 8Exercițiu cu textgreu

Un elev a cheltuit o treime din banii pe care îi avea pe o carte, apoi un sfert din banii rămași pe caiete. I-au mai rămas $45$ de lei. Câți lei avea la început?

Rezolvare pas cu pas

Notăm cu $x$ suma de la început. După carte rămân $x - \frac{x}{3} =$ $\frac{2 x}{3}$ lei.
Pe caiete dă un sfert din rest: $\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x}{3} =$ $\frac{x}{6}$ lei.
Scriem ecuația: $\frac{2 x}{3} - \frac{x}{6} =$ $45$ . Înmulțim cu $6$ : $4 x - x = 270$ , deci $3 x = 270$ și $x = 90$ .
Verificare: cartea costă $90 : 3 = 30$ lei, rămân $60$ lei; caietele costă $60 : 4 = 15$ lei; rămân $60 - 15 = 45$ lei.

Răspuns: $90$ de lei

Cum recunoști o ecuație de gradul 1

Necunoscuta $x$ apare doar la puterea întâi: nu există $x^{2}$ , $x$ la numitor sau $x$ sub radical.
După ce elimini numitorii și desfaci parantezele, ecuația se poate aduce la forma $a x + b = 0$ .
În exercițiile cu text, necunoscuta este cantitatea cerută, iar enunțul îți dă o egalitate între două mărimi.

Greșeli frecvente

Uiți să schimbi semnul când treci un termen în celălalt membru. Din $7 x - 5 = 11$ rezultă $7 x = 11 + 5$ , nu $7 x = 11 - 5$ .
Nu schimbi toate semnele după un minus din fața parantezei. $- 5 (x - 1) = - 5 x + 5$ , nu $- 5 x - 5$ .
Înmulțești cu numitorul comun doar o parte din termeni. Când elimini numitorii, înmulțești fiecare termen din ambii membri, inclusiv pe cei fără numitor.

Exersează

Fișă de lucru: Ecuații de forma ax + b = 0, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Ecuații și sisteme de ecuații, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Ecuații de forma ax + b = 0 cu modulclasa a VII-a, lecția 7

Din același capitol

Întrebări frecvente

De ce trebuie ca

a

să fie diferit de

0

Dacă $a = 0$ , termenul cu $x$ dispare și nu mai avem o ecuație de gradul 1. Atunci ajungem la $0 \cdot x = c$ , care nu are soluții sau are o infinitate de soluții.

Câte soluții are o ecuație de gradul 1?

Exact una: $x = - \frac{b}{a}$ . O ecuație cu modul poate avea două soluții, una sau niciuna, pentru că se rezolvă în două cazuri.

Trebuie să fac verificarea?

Este bine să o faci mereu: înlocuiești soluția în ecuația inițială și compari cei doi membri. Așa prinzi repede o greșeală de semn sau de calcul.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 2. Ecuații de forma ax + b = 0, a, b numere reale, a nenul..

Exersează cu fișa de lucru: Ecuații de forma ax + b = 0, a, b numere reale, a nenul — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este soluția ecuației $3 x + 9 = 0$ ?
2. Ecuația $a x + b = 0$ , cu $a \neq 0$ , are soluția:
3. Care dintre următoarele ecuații are soluția $x = 5$ ?
4. Câte soluții are ecuația $a x + b = 0$ atunci când $a \neq 0$ ?
5. Care este valoarea lui $b$ dacă ecuația $- 4 x + b = 0$ are soluția $x = - 3$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 24 aprilie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

POLIGOANE REGULATE ÎNSCRISE ÎN CERC latura, apotema și aria - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

LUNGIMEA CERCULUI formula L = 2πr - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

SISTEME DE ECUAȚII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

SISTEME DE ECUAȚII cu text, din viața de zi cu zi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

PRODUSUL CARTEZIAN și sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

DISTANȚA DINTRE DOUĂ PUNCTE în sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună