SUMA UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI: teoremă și unghiul exterior - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este mereu $180^{\circ}$ , indiferent de forma triunghiului, iar unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente lui. Mai jos găsești teorema demonstrată, unghiul exterior și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Suma unghiurilor unui triunghi și unghiul exterior

Într-un triunghi cu unghiurile $A$ , $B$ și $C$ , suma lor este mereu:

Prin

C

duci paralela

D E

A B

: unghiurile cu același număr de arce sunt egale (alterne interne), iar cele trei unghiuri din

C

formează un unghi plat de

180^{\circ}

$m (∠ A) +$ $m (∠ B) +$ $m (∠ C) =$ $180^{\circ}$

Demonstrația se bazează pe dreptele paralele. Duci prin vârful $C$ o dreaptă $D E$ paralelă cu $A B$ . Unghiul $∠ D C A$ este alternul intern al unghiului $∠ A$ (format de secanta $A C$ cu cele două paralele), deci $∠ D C A =$ $∠ A$ . La fel, $∠ B C E =$ $∠ B$ . Cum $D$ , $C$ , $E$ sunt coliniare, unghiul plat din $C$ se împarte exact în $∠ D C A + ∠ A C B + ∠ B C E =$ $180^{\circ}$ , adică $∠ A + ∠ C + ∠ B =$ $180^{\circ}$ .

Unghiul exterior al unui triunghi se formează între o latură și prelungirea laturii alăturate, în același vârf. Fiecare vârf are un unghi exterior, suplementar cu unghiul interior din acel vârf.

$m (∠ exterior) =$ $m (∠ A) + m (∠ B)$

De exemplu, unghiul exterior din $C$ este egal cu $m (∠ A) + m (∠ B)$ , pentru că $m (∠ A) + m (∠ B) =$ $180^{\circ} - m (∠ C)$ , exact cât e și unghiul exterior (suplementul lui $∠ C$ ). Proprietatea asta îți economisește un pas: dacă știi deja cele două unghiuri neadiacente, nu mai trebuie să calculezi întâi unghiul interior din acel vârf și abia apoi suplementul lui, ca să afli unghiul exterior.

Exerciții rezolvate : suma unghiurilor unui triunghi

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aplicare directăușor

Într-un triunghi $A B C$ , $m (∠ A) =$ $42^{\circ}$ și $m (∠ B) =$ $95^{\circ}$ . Calculează $m (∠ C)$ .

Rezolvare pas cu pas

$m (∠ A) +$ $m (∠ B) +$ $m (∠ C) =$ $180^{\circ}$ .
$42^{\circ} + 95^{\circ} + m (∠ C) =$ $180^{\circ}$ .
$m (∠ C) =$ $180^{\circ} - 137^{\circ} =$ $43^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ C) =$ $43^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Triunghi dreptunghicușor

Un triunghi dreptunghic are un unghi de $90^{\circ}$ și un altul de $25^{\circ}$ . Cât măsoară al treilea unghi?

Rezolvare pas cu pas

$90^{\circ} + 25^{\circ} + m (∠ C) =$ $180^{\circ}$ .
$m (∠ C) =$ $180^{\circ} - 115^{\circ} =$ $65^{\circ}$ .

Răspuns: $65^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Unghiul exterior, directușor

Într-un triunghi, cele două unghiuri interioare neadiacente unui unghi exterior sunt $50^{\circ}$ și $65^{\circ}$ . Calculează măsura unghiului exterior.

Rezolvare pas cu pas

Unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente lui.
unghi exterior $=$ $50^{\circ} + 65^{\circ} =$ $115^{\circ}$ .

Răspuns: $115^{\circ}$

EXERCIȚIUL 4Unghiuri în raportmediu

Unghiurile unui triunghi sunt în raportul $2 : 3 : 4$ . Calculează măsura fiecărui unghi.

Rezolvare pas cu pas

Notezi unghiurile $2 x$ , $3 x$ , $4 x$ , pentru că sunt în raportul $2 : 3 : 4$ .
$2 x + 3 x + 4 x =$ $180^{\circ}$ , adică $9 x = 180^{\circ}$ , deci $x = 20^{\circ}$ .
Unghiurile sunt $2 \cdot 20^{\circ} =$ $40^{\circ}$ , $3 \cdot 20^{\circ} =$ $60^{\circ}$ și $4 \cdot 20^{\circ} =$ $80^{\circ}$ .

Răspuns: $40^{\circ}$ , $60^{\circ}$ și $80^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Unghiuri ca expresiimediu

Într-un triunghi $A B C$ , $m (∠ A) = 3 x$ , $m (∠ B) =$ $x + 10^{\circ}$ și $m (∠ C) =$ $2 x - 10^{\circ}$ . Află $x$ și calculează fiecare unghi.

Rezolvare pas cu pas

$3 x + (x + 10^{\circ}) + (2 x - 10^{\circ}) =$ $180^{\circ}$ .
$6 x = 180^{\circ}$ , deci $x = 30^{\circ}$ .
$m (∠ A) =$ $3 \cdot 30^{\circ} =$ $90^{\circ}$ , $m (∠ B) =$ $30^{\circ} + 10^{\circ} =$ $40^{\circ}$ , $m (∠ C) =$ $2 \cdot 30^{\circ} - 10^{\circ} =$ $50^{\circ}$ .
Verificare: $90^{\circ} + 40^{\circ} + 50^{\circ} =$ $180^{\circ}$ . ✓ Observi că triunghiul are un unghi de $90^{\circ}$ , deci e dreptunghic.

Răspuns: $x = 30^{\circ}$ ; unghiurile sunt $90^{\circ}$ , $40^{\circ}$ și $50^{\circ}$

EXERCIȚIUL 6Unghiul exterior, inversmediu

Triunghiul $A B C$ are unghiul exterior de la vârful $C$ egal cu $130^{\circ}$ , iar $m (∠ A) =$ $55^{\circ}$ . Calculează $m (∠ B)$ și $m (∠ C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiul exterior din $C$ este egal cu suma unghiurilor neadiacente: $130^{\circ} =$ $m (∠ A) + m (∠ B)$ .
$m (∠ B) =$ $130^{\circ} - 55^{\circ} =$ $75^{\circ}$ .
Unghiul interior $∠ C$ este suplementul unghiului exterior: $m (∠ C) =$ $180^{\circ} - 130^{\circ} =$ $50^{\circ}$ .
Verificare: $55^{\circ} + 75^{\circ} + 50^{\circ} =$ $180^{\circ}$ . ✓

Răspuns: $m (∠ B) =$ $75^{\circ}$ , $m (∠ C) =$ $50^{\circ}$

EXERCIȚIUL 7Unghiul exterior ca ecuațiegreu

Unghiul exterior al triunghiului $A B C$ , la vârful $C$ , are măsura $5 x$ , iar unghiurile interioare neadiacente lui, din $A$ și din $B$ , sunt $x + 20^{\circ}$ și $2 x + 10^{\circ}$ . Află $x$ , apoi calculează toate cele trei unghiuri ale triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri neadiacente: $5 x =$ $(x + 20^{\circ}) + (2 x + 10^{\circ})$ .
$5 x = 3 x + 30^{\circ}$ , deci $2 x = 30^{\circ}$ , adică $x = 15^{\circ}$ .
$m (∠ A) =$ $15^{\circ} + 20^{\circ} =$ $35^{\circ}$ , $m (∠ B) =$ $2 \cdot 15^{\circ} + 10^{\circ} =$ $40^{\circ}$ .
Unghiul interior $∠ C$ este suplementul unghiului exterior: $m (∠ C) =$ $180^{\circ} - 5 \cdot 15^{\circ} =$ $180^{\circ} - 75^{\circ} =$ $105^{\circ}$ .
Verificare: $35^{\circ} + 40^{\circ} + 105^{\circ} =$ $180^{\circ}$ . ✓

Răspuns: $x = 15^{\circ}$ ; unghiurile triunghiului sunt $35^{\circ}$ , $40^{\circ}$ și $105^{\circ}$

EXERCIȚIUL 8Provocare: cele trei unghiuri exterioaregreu

Cele trei unghiuri exterioare ale unui triunghi, câte unul la fiecare vârf, au măsurile $2 x$ , $3 x$ și $4 x$ . Află $x$ , măsurile celor trei unghiuri exterioare, apoi și pe cele ale unghiurilor interioare corespunzătoare.

Rezolvare pas cu pas

Suma celor trei unghiuri exterioare (câte unul la fiecare vârf) este întotdeauna $360^{\circ}$ : fiecare este suplementul unghiului interior din același vârf, iar unghiurile interioare însumează $180^{\circ}$ , deci $3 \cdot 180^{\circ} - 180^{\circ} =$ $360^{\circ}$ .
$2 x + 3 x + 4 x =$ $360^{\circ}$ , adică $9 x = 360^{\circ}$ , deci $x = 40^{\circ}$ .
Unghiurile exterioare sunt $80^{\circ}$ , $120^{\circ}$ și $160^{\circ}$ .
Unghiurile interioare corespunzătoare sunt suplementele lor: $180^{\circ} - 80^{\circ} =$ $100^{\circ}$ , $180^{\circ} - 120^{\circ} =$ $60^{\circ}$ , $180^{\circ} - 160^{\circ} =$ $20^{\circ}$ .
Verificare: $100^{\circ} + 60^{\circ} + 20^{\circ} =$ $180^{\circ}$ . ✓

Răspuns: $x = 40^{\circ}$ ; unghiurile exterioare sunt $80^{\circ}$ , $120^{\circ}$ , $160^{\circ}$ , iar cele interioare sunt $100^{\circ}$ , $60^{\circ}$ , $20^{\circ}$

Cum recunoști un exercițiu pe suma unghiurilor unui triunghi

Enunțul dă două unghiuri ale unui triunghi (numere sau expresii) și cere al treilea.
Apare cuvântul „unghi exterior” sau o latură prelungită dincolo de un vârf.
Unghiurile sunt date printr-un raport (de exemplu $2 : 3 : 4$ ) și trebuie transformate în ecuație.

Greșeli frecvente la suma unghiurilor unui triunghi

Scazi din $90^{\circ}$ în loc de $180^{\circ}$ când unul dintre unghiuri este drept. Suma celor trei unghiuri e mereu $180^{\circ}$ , inclusiv în triunghiul dreptunghic. Unghiul de $90^{\circ}$ e deja unul dintre cele trei, nu se scade separat din $90^{\circ}$ .
Găsești $x$ dintr-o expresie și te oprești acolo, fără să calculezi unghiurile. $x$ e o valoare intermediară, nu un unghi. După ce afli $x$ , înlocuiești în fiecare expresie ca să obții măsura fiecărui unghi.
Confunzi unghiul exterior cu unghiul interior adiacent lui. Unghiul exterior este suplementul unghiului interior din același vârf, nu egal cu el. Dacă interiorul e $50^{\circ}$ , exteriorul din același vârf e $130^{\circ}$ , nu $50^{\circ}$ .

Exersează : suma unghiurilor unui triunghi

Fișă de lucru: Suma unghiurilor unui triunghi, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Triunghiul, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre suma unghiurilor unui triunghi

Suma unghiurilor unui triunghi e mereu

180^{\circ}

, chiar și la triunghiuri foarte „strâmbe”?

Da, mereu. Chiar dacă un unghi are $1^{\circ}$ și altul $2^{\circ}$ , al treilea va avea $177^{\circ}$ , iar suma tot $180^{\circ}$ rămâne. Forma triunghiului nu contează.

Pot exista două unghiuri obtuze într-un triunghi?

Nu. Un unghi obtuz depășește $90^{\circ}$ . Dacă ai două unghiuri obtuze, suma lor depășește deja $180^{\circ}$ , și mai rămâne un al treilea unghi de adăugat. Într-un triunghi există cel mult un unghi obtuz.

De ce unghiul exterior e egal cu suma celor două neadiacente și nu cu unul singur?

Pentru că unghiul exterior și unghiul interior din același vârf sunt suplementare ( $180^{\circ}$ împreună), iar cele trei unghiuri interioare sunt tot $180^{\circ}$ . Scăzând unghiul propriu din ambele sume, rămâi exact cu suma celorlalte două.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 5. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi. Unghi exterior unui triunghi..

Exersează cu fișa de lucru: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este suma măsurilor unghiurilor unui triunghi?
2. Într-un triunghi, două unghiuri măsoară $60 °$ și $80 °$ . Cât măsoară al treilea unghi?
3. Ce este unghiul exterior al unui triunghi?
4. Care este relația dintre un unghi exterior al unui triunghi și unghiurile interioare neadiacente lui?
5. Într-un triunghi, două unghiuri interioare măsoară $55 °$ și $75 °$ . Cât măsoară unghiul exterior format la al treilea vârf?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 9 septembrie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

PUTEREA UNUI NUMĂR RAȚIONAL cu exponent întreg - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

PERIMETRUL TRIUNGHIULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 7: Triunghiul

CONSTRUCȚIA TRIUNGHIURILOR: metode, condiția de existență - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR: criteriile LLL, LUL, ULU - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

METODA TRIUNGHIURILOR CONGRUENTE pas cu pas - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE cazurile C.C., C.U., I.U., I.C. - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună