Congruența triunghiurilor — definiție, criterii

📌 Ce vei învăța

• Vei înțelege ce înseamnă congruența triunghiurilor și cum o recunoști
• Vei ști să aplici cele trei criterii de congruență: LLL, LUL și ULU
• Vei ști să identifici elementele corespondente între două triunghiuri congruente
• Vei putea rezolva exerciții în care demonstrezi că două triunghiuri sunt congruente

💡 Regula de bază

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate laturile egale și toți unghiurile egale (câte unul corespunzător). Scriem  $△ABC\equiv △DEF$  — și ordinea literelor îți spune exact care vârf corespunde cărui vârf din celălalt triunghi.

💡 Cum ții minte

LLL, LUL, ULU — le poți citi ca trei cuvinte ciudate. Sau le poți scrie pe o foaie și să-ți notezi lângă fiecare ce condiție pune pe unghi sau latură. Ideea e că L = latură și U = unghi. Simplu. Și dacă ții minte că unghiul sau latura din mijloc trebuie să fie chiar între celelalte două elemente — ai rezolvat jumătate din confuzii.

📝 Enunț

Fie triunghiurile  $△ABC$  și  $△DEF$  cu  $AB=DE=5cm$ ,  $BC=EF=7cm$  și  $\angle ABC=\angle DEF=60°$ . Demonstrează că  $△ABC\equiv △DEF$ .

🔢 Rezolvare

$$AB=DE=5\text{cm}\text{(prima latură egală)}$$
$$BC=EF=7\text{cm}\text{(a doua latură egală)}$$
$$\angle ABC=\angle DEF=60°\text{(unghiul dintre cele două laturi)}$$
$$\Rightarrow △ABC\equiv △DEF\text{(criteriul LUL)}$$

✅ Explicație

Am identificat două laturi egale —  $AB=DE$  și  $BC=EF$  — și unghiul dintre ele:  $\angle ABC$  este unghiul format exact de laturile  $AB$  și  $BC$ , iar  $\angle DEF$  este format de  $DE$  și  $EF$ . Condiția LUL e îndeplinită perfect. De asta nu mai avem nevoie să știm nimic despre  $AC$  sau  $DF$  — criteriul garantează singur congruența.

❌ Greșeala #1: Scrii  $△ABC\equiv △EDF$  fără să verifici dacă ordinea vârfurilor e corectă. Mulți pun literele cum le vine, fără să se gândească la corespondență.

✅ Corect: Ordinea literelor îți spune care vârf corespunde cărui vârf. Dacă  $A$  corespunde cu  $D$ ,  $B$  cu  $E$  și  $C$  cu  $F$ , atunci scrii obligatoriu  $△ABC\equiv △DEF$  — nu  $△ABC\equiv △EDF$  sau altă combinație.

❌ Greșeala #2: La criteriul LUL, elevii iau orice unghi egal din triunghi, nu neapărat cel cuprins între cele două laturi. De exemplu, au  $AB=DE$ ,  $BC=EF$  și iau  $\angle BAC=\angle EDF$  — dar ăla e unghiul opus, nu cel dintre laturi.

✅ Corect: La LUL, unghiul trebuie să fie exact cel format de cele două laturi date. Dacă laturile sunt  $AB$  și  $BC$ , unghiul dintre ele este  $\angle ABC$  — adică cel de la vârful  $B$ , nu de la  $A$  sau  $C$ .

Exercițiul 1. Triunghiurile $△MNP$ și $△XYZ$ au $MN=XY=4\text{cm}$, $NP=YZ=6\text{cm}$, $MP=XZ=5\text{cm}$. Sunt congruente? Prin ce criteriu?

Exercițiul 2. În triunghiurile $△ABC$ și $△DEF$: $\angle BAC=\angle EDF=45°$, $AB=DE=8\text{cm}$, $\angle ABC=\angle DEF=70°$. Demonstrează congruența.

Exercițiul 3. Fie $△ABC$ isoscel cu $AB=AC$. Mediana $AD$ cade pe $BC$, cu $D$ mijlocul lui $BC$. Demonstrează că $△ABD\equiv △ACD$.

Exercițiul 4. Triunghiurile dreptunghice $△ABC$ și $△DEF$ au unghiul drept în $B$, respectiv $E$. Se știe că $AB=DE=6\text{cm}$ și $BC=EF=8\text{cm}$. Demonstrează congruența.

Exercițiul 5. Provocare: Fie $ABCD$ un paralelogram. Demonstrează că $△ABC\equiv △CDA$.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 11. Congruența triunghiurilor. Cazuri de congruență..