CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR: criteriile LLL, LUL, ULU - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Două triunghiuri sunt congruente dacă poți verifica un criteriu de congruență: LLL, LUL sau ULU, fără să mai măsori toate cele șase elemente. Mai jos găsești cele trei criterii explicate cu figuri și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Congruența triunghiurilor și criteriile de congruență

Două triunghiuri sunt congruente dacă toate laturile și toate unghiurile corespunzătoare sunt egale. Dacă triunghiul $A B C$ este congruent cu triunghiul $D E F$ , scrii $△ A B C \equiv △ D E F$ , iar ordinea literelor arată corespondența: $A$ cu $D$ , $B$ cu $E$ , $C$ cu $F$ . Asta înseamnă șase egalități: $A B = D E$ , $B C = E F$ , $A C = D F$ și cele trei perechi de unghiuri egale.

Triunghiurile

A B C

și

D E F

sunt congruente prin criteriul LUL:

A B = D E

A C = D F

și unghiul dintre ele este egal.

Nu trebuie să verifici toate cele șase. Există trei criterii de congruență: dacă una dintre combinațiile de mai jos se potrivește, triunghiurile sunt congruente automat, cu tot restul elementelor.

$A B =$ $D E,$ $B C =$ $E F,$ $A C =$ $D F \Rightarrow$ $△ A B C \equiv △ D E F$ $(LLL)$

LLL (latură-latură-latură). Toate cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale, câte una, cu cele trei laturi ale celuilalt.

$A B =$ $D E,$ $A C =$ $D F,$ $m (∠ A) =$ $m (∠ D) \Rightarrow$ $△ A B C \equiv △ D E F$ $(LUL)$

LUL (latură-unghi-latură). Două laturi și unghiul cuprins exact între ele sunt egale. Dacă laturile sunt $A B$ și $A C$ , unghiul dintre ele este $∠ A$ , nu orice alt unghi din triunghi.

$m (∠ A) =$ $m (∠ D),$ $A B =$ $D E,$ $m (∠ B) =$ $m (∠ E) \Rightarrow$ $△ A B C \equiv △ D E F$ $(ULU)$

ULU (unghi-latură-unghi). Două unghiuri și latura cuprinsă exact între ele sunt egale. Dacă unghiurile sunt la $A$ și la $B$ , latura dintre ele este $A B$ .

La triunghiurile dreptunghice mai există și criteriul „ipotenuză-catetă”, care e tot o formă de LUL sau ULU aplicată unui caz special. Pentru orice triunghi, cele trei criterii de mai sus sunt suficiente.

Exerciții rezolvate : congruența triunghiurilor

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Recunoașterea criteriului LLLușor

Triunghiurile $D E F$ și $G H I$ au $D E = G H = 6$ cm, $E F = H I = 9$ cm și $D F = G I = 7$ cm. Sunt congruente? Prin ce criteriu?

Rezolvare pas cu pas

Ai toate cele trei laturi ale unui triunghi egale, câte una, cu toate cele trei laturi ale celuilalt: $D E = G H$ , $E F = H I$ , $D F = G I$ .
Nu ai nevoie de nicio informație despre unghiuri: criteriul LLL se aplică direct.

Răspuns: Da, $△ D E F \equiv △ G H I$ prin criteriul LLL.

EXERCIȚIUL 2Corespondența din notațieușor

Dacă $△ P Q R \equiv △ S T U$ , ce unghi din al doilea triunghi corespunde cu unghiul $Q$ ?

Rezolvare pas cu pas

Ordinea literelor din notație arată corespondența dintre vârfuri: $P$ cu $S$ (poziția 1), $Q$ cu $T$ (poziția 2), $R$ cu $U$ (poziția 3).
Unghiul $Q$ este la vârful de pe poziția 2, deci unghiul corespunzător este cel de la vârful de pe poziția 2 din celălalt triunghi.

Răspuns: unghiul $T$

EXERCIȚIUL 3Ce mai lipsește pentru LULușor

În triunghiurile $A B C$ și $D E F$ se știe $A B = D E$ și $m (∠ A) =$ $m (∠ D)$ . Ce altă informație mai ai nevoie ca să aplici criteriul LUL?

Rezolvare pas cu pas

Criteriul LUL cere două laturi și unghiul cuprins exact între ele.
Ai deja o latură ( $A B = D E$ ) și unghiul de la un capăt al ei ( $∠ A = ∠ D$ ). Pentru ca unghiul să fie „cuprins”, mai ai nevoie de cealaltă latură care formează acel unghi: $A C$ și $D F$ .

Răspuns: mai ai nevoie de $A C = D F$ (a doua latură care formează unghiul $A$ , respectiv $D$ )

EXERCIȚIUL 4Criteriul ULUmediu

Triunghiurile $A B C$ și $D E F$ au $m (∠ A) =$ $m (∠ D) =$ $50^{\circ}$ , $A B = D E = 9$ cm și $m (∠ B) =$ $m (∠ E) =$ $70^{\circ}$ . a) Arată că cele două triunghiuri sunt congruente. b) Calculează $m (∠ C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Ai două unghiuri ( $A$ și $B$ ) și latura cuprinsă exact între ele ( $A B$ ) egale în ambele triunghiuri: se aplică criteriul ULU, deci $△ A B C \equiv △ D E F$ .
Suma unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ}$ : $m (∠ C) =$ $180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} =$ $60^{\circ}$ .
Din congruență, $m (∠ F) =$ $m (∠ C) =$ $60^{\circ}$ .

Răspuns: $△ A B C \equiv △ D E F$ prin ULU; $m (∠ C) =$ $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Criteriul LUL la triunghiuri dreptunghicemediu

Triunghiurile dreptunghice $A B C$ și $D E F$ au unghiul drept în $B$ , respectiv $E$ . Se știe $A B = D E = 5$ cm și $B C = E F = 12$ cm. a) Prin ce criteriu sunt congruente? b) Dacă $A C = 13$ cm, calculează perimetrul triunghiului $D E F$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiul drept este mereu cuprins exact între cele două catete. Ai deci două laturi ( $A B$ , $B C$ ) și unghiul dintre ele ( $90^{\circ}$ ) egale în ambele triunghiuri: criteriul LUL.
Din congruență, $D F = A C = 13$ cm.
Perimetrul lui $D E F$ este $D E + E F + D F =$ $5 + 12 + 13 =$ $30$ cm.

Răspuns: $△ A B C \equiv △ D E F$ prin LUL; perimetrul triunghiului $D E F$ este $30$ cm

EXERCIȚIUL 6Comun printr-o medianămediu

Triunghiul $M N P$ este isoscel, cu $M N = M P = 9$ cm. Punctul $Q$ este mijlocul lui $N P$ , cu $N P = 8$ cm. Demonstrează că $△ M N Q \equiv △ M P Q$ .

Rezolvare pas cu pas

$M N = M P = 9$ cm (dat, triunghi isoscel).
$N Q = Q P = 4$ cm, pentru că $Q$ este mijlocul lui $N P$ , iar $N P = 8$ cm.
$M Q = M Q$ , pentru că este latură comună celor două triunghiuri.
Ai trei perechi de laturi egale: $M N = M P$ , $N Q = Q P$ , $M Q = M Q$ .

Răspuns: $△ M N Q \equiv △ M P Q$ prin criteriul LLL

EXERCIȚIUL 7Perimetrul dintr-o ecuațiegreu

$△ A B C \equiv △ D E F$ prin criteriul LLL. Se știe $A B = 4 x - 3$ , $D E = 21$ , $B C = 15$ și $A C = 18$ . Află $x$ , apoi calculează perimetrul triunghiului $D E F$ .

Rezolvare pas cu pas

Din congruență, $A B = D E$ : $4 x - 3 = 21$ .
$4 x = 24$ , deci $x = 6$ . Verificare: $4 \cdot 6 - 3 = 21$ . ✓
Din corespondența $△ A B C \equiv △ D E F$ , $E F = B C = 15$ cm și $D F = A C = 18$ cm.
Perimetrul lui $D E F$ este $D E + E F + D F =$ $21 + 15 + 18 =$ $54$ cm.

Răspuns: $x = 6$ ; perimetrul triunghiului $D E F$ este $54$ cm

EXERCIȚIUL 8Provocare: congruență cu unghiuri opuse la vârfgreu

Punctele $B$ , $A$ , $D$ sunt coliniare, cu $A B = A D$ . Unghiurile $∠ B A C$ și $∠ D A E$ sunt opuse la vârf, iar $A C = A E$ . Demonstrează că $△ A B C \equiv △ A D E$ .

Rezolvare pas cu pas

$A B = A D$ (dat direct în enunț).
$∠ B A C =$ $∠ D A E$ , pentru că sunt unghiuri opuse la vârf, iar unghiurile opuse la vârf sunt întotdeauna egale.
$A C = A E$ (dat direct în enunț).
Unghiul $∠ B A C$ este cuprins exact între laturile $A B$ și $A C$ , iar unghiul $∠ D A E$ este cuprins exact între $A D$ și $A E$ : ai două laturi și unghiul dintre ele, egale în ambele triunghiuri.

Răspuns: $△ A B C \equiv △ A D E$ prin criteriul LUL

Cum recunoști un exercițiu pe congruența triunghiurilor

Enunțul dă exact trei elemente corespunzătoare (laturi sau unghiuri) și cere să identifici criteriul sau să demonstrezi congruența.
Ți se cere un element necunoscut al unui triunghi, folosind faptul că e congruent cu altul ale cărui elemente le cunoști.
Apare o latură comună celor două triunghiuri sau o pereche de unghiuri opuse la vârf, ca element „gratuit” care completează unul dintre criterii.

Greșeli frecvente la congruența triunghiurilor

Ignori ordinea literelor din notație. Dacă scrii $△ A B C \equiv △ D E F$ , $A$ corespunde cu $D$ , nu cu $E$ sau $F$ . Ordinea literelor e parte din informație, nu doar o etichetă.
La criteriul LUL, alegi un unghi care nu e cuprins între cele două laturi date. Dacă laturile sunt $A B$ și $A C$ , unghiul dintre ele este exact $∠ A$ , nu $∠ B$ sau $∠ C$ . Un unghi „oarecare” egal nu garantează congruența.
Crezi că e suficient un singur element egal ca să declari triunghiurile congruente. O latură egală sau un unghi egal, izolat, nu spune nimic despre restul triunghiului. Ai nevoie de exact combinația unui criteriu: LLL, LUL sau ULU.

Exersează : congruența triunghiurilor

Fișă de lucru: Congruența triunghiurilor, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Triunghiul, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre congruența triunghiurilor

Câte elemente trebuie să verific ca să demonstrez că două triunghiuri sunt congruente?

Trei, alese după unul dintre criteriile LLL, LUL sau ULU, nu la întâmplare. Combinația contează: la LUL, de exemplu, unghiul trebuie să fie exact cel dintre cele două laturi.

De ce nu există un criteriu „unghi-unghi-unghi”?

Pentru că două triunghiuri cu aceleași trei unghiuri pot avea dimensiuni diferite, unul fiind o versiune mărită sau micșorată a celuilalt. Ele sunt asemenea, dar nu neapărat congruente.

Ce înseamnă o latură sau un unghi „comun” în congruență?

Când două triunghiuri împart o latură sau un vârf, acel element este automat egal cu el însuși și poate completa un criteriu, fără să mai fie dat separat în enunț.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 11. Congruența triunghiurilor. Cazuri de congruență..

Exersează cu fișa de lucru: Congruența triunghiurilor — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Două triunghiuri sunt congruente dacă și numai dacă:
2. Cazul de congruență L.U.L. (latura-unghi-latura) spune că două triunghiuri sunt congruente dacă au egale:
3. Cazul de congruență L.L.L. (latura-latura-latura) afirmă că două triunghiuri sunt congruente dacă:
4. Cazul de congruență U.L.U. (unghi-latura-unghi) cere ca două triunghiuri să aibă egale:
5. Triunghiul $A B C$ și triunghiul $D E F$ au $A B = D E$ , $A C = D F$ și $∠ A = ∠ D$ . Ce caz de congruență se aplică?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 30 mai 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

SUMA UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI: teoremă și unghiul exterior - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

CONSTRUCȚIA TRIUNGHIURILOR: metode, condiția de existență - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

METODA TRIUNGHIURILOR CONGRUENTE pas cu pas - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE cazurile C.C., C.U., I.U., I.C. - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

BISECTOAREA UNUI UNGHI: proprietăți și incentrul triunghiului - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

MEDIATOARELE LATURILOR UNUI TRIUNGHI și circumcentrul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună