Triunghiul dreptunghic — tot ce trebuie să știi, formule

de Echipa Școala Virtuală13 mai 2026

Triunghiul dreptunghic: formule + exerciții rezolvate

Știi care e momentul în care aproape toți se blochează la triunghiul dreptunghic? Când văd teorema lui Pitagora scrisă ca $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ și nu înțeleg de ce literele astea contează sau care e diferența dintre ele. Pare o formulă aruncată din senin, fără context. Dar de fapt, triunghiul dreptunghic e peste tot în jurul tău — în colțul unui perete, în diagonala unui ecran, în scara blocului. Nu e matematică abstractă. E forma pe care o construim cel mai des în lumea reală. Hai să o luăm de la zero, fără grabă — ce este, cum îl recunoști, cum calculezi ce nu știi și unde greșesc aproape toți la exerciții. Inclusiv eu am greșit la început și îți arăt exact unde.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este triunghiul dreptunghic și cum îl recunoști după unghi și laturi
Vei ști să aplici teorema lui Pitagora pentru a calcula latura necunoscută
Vei cunoaște formulele pentru perimetru și arie la triunghiul dreptunghic
Vei evita cele mai frecvente greșeli pe care le fac elevii la exerciții

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, un triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi de exact 90°. Atât. Asta e tot ce îl face special — un singur unghi drept. Îl recunoști după micul pătrat desenat într-un colț, care înseamnă „unghi de 90°”. Laturile care formează unghiul drept se numesc catete — să zicem că le numim $a$ și $b$ . Latura din față, cea mai lungă, se numește ipotenuză — o notăm $c$ . Ipotenuza e mereu în fața unghiului drept și e mereu cea mai mare dintre cele trei laturi. Dacă nu știi care e ipotenuza, caută unghiul de 90° și uită-te la latura din fața lui. Aia e. Simplu.

💡 Regula de bază

Într-un triunghi dreptunghic există mereu un unghi de 90°, două catete ( $a$ și $b$ ) și o ipotenuză ( $c$ ). Ipotenuza este latura din fața unghiului drept și este cea mai lungă latură a triunghiului.

Teorema lui Pitagora — de unde vine și cum o folosești

Okay, să zicem că ai un triunghi dreptunghic și știi două laturi, dar nu o știi pe a treia. Cum o afli? Uite cum gândesc eu asta. Dacă am catetelele $a = 3$ cm și $b = 4$ cm, și vreau să aflu ipotenuza $c$ , mă gândesc: există o legătură fixă, dovedită matematic, între cele trei laturi ale oricărui triunghi dreptunghic. Legătura asta spune că suma pătratelor celor două catete e egală cu pătratul ipotenuzei. Adică $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . De fapt, asta nu e o regulă inventată — e o proprietate pe care o au toate triunghiurile dreptunghice, fără excepție. Pitagora a demonstrat-o acum 2500 de ani, dar tu o poți folosi acum, la orice exercițiu. Practic, dacă știi oricare două laturi, o poți calcula pe a treia.

💡 Regula de bază

Teorema lui Pitagora: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , unde $a$ și $b$ sunt catetele, iar $c$ este ipotenuza. Dacă vrei să afli o catetă, muți cealaltă parte: $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ . Extrage rădăcina pătrată la final pentru a obține lungimea laturii.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Un triunghi dreptunghic are catetele $a = 6$ cm și $b = 8$ cm. Calculează ipotenuza $c$ , perimetrul și aria triunghiului.

🔢 Rezolvare

$c^{2} = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$
$c = \sqrt{100} = 10 cm$
$P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 cm$
$𝒜 = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24 {cm}^{2}$

✅ Explicație

Am aplicat teorema lui Pitagora: am ridicat la pătrat fiecare catetă, le-am adunat și am scos rădăcina. A ieșit frumos 10, pentru că 6-8-10 e un triplet pitagoreic cunoscut. Perimetrul e suma celor trei laturi. Aria se calculează cu formula specifică triunghiului dreptunghic — cele două catete joacă rolul bazei și al înălțimii, deci le înmulțim și împărțim la 2.

Perimetrul și aria — formule clare

Perimetrul e ușor. Aduni pur și simplu toate cele trei laturi. Dacă ai $a$ , $b$ și $c$ cunoscute, calculezi $P = a + b + c$ . Dacă nu știi una dintre ele, mai întâi o afli cu Pitagora, apoi aduni. Aria e și ea simplă la triunghiul dreptunghic, mai simplă decât la alte triunghiuri. De ce? Pentru că cele două catete sunt perpendiculare — una e baza, cealaltă e exact înălțimea pe baza aia. Nu trebuie să cauți înălțimea separat. Practic, formula devine directă.

💡 Regula de bază

Perimetrul: $P = a + b + c$ . Aria: $𝒜 = \frac{a \cdot b}{2}$ , unde $a$ și $b$ sunt catetele. La triunghiul dreptunghic, catetele sunt și baza și înălțimea — asta îți simplifică enorm calculul față de alte tipuri de triunghiuri.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confundarea ipotenuzei cu o catetă. Mulți elevi aplică formula $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ dar pun ipotenuza în locul unei catete — adică scriu $c^{2} + b^{2} = a^{2}$ fără să verifice care latură e cea mai mare.

✅ Corect: Ipotenuza $c$ e mereu cea mai mare latură și stă singură în dreapta egalității. Verifică: $c$ trebuie să fie mai mare decât $a$ și mai mare decât $b$ . Dacă nu e, ai pus literele greșit.

❌ Greșeala #2: Calcularea ariei cu formula greșită — unii folosesc $𝒜 = \frac{b a z a \cdot înălțime}{2}$ și caută o înălțime exterioară, deși la triunghiul dreptunghic înălțimea e chiar cateta.

✅ Corect: La triunghiul dreptunghic, dacă iei o catetă drept bază, înălțimea corespunzătoare ei este exact cealaltă catetă — pentru că sunt perpendiculare. Deci $𝒜 = \frac{a \cdot b}{2}$ e formula completă, fără căutări suplimentare.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Un triunghi dreptunghic are catetele $a = 3 cm$ și $b = 4 cm$ . Cât măsoară ipotenuza?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Aplicăm teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor.

c^{2} = a^{2} + b^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25

c = \sqrt{25} = 5 cm

Căutăm numărul care ridicat la pătrat dă 25: acesta este 5. Este celebrul triunghi 3-4-5.

Răspuns: $c = 5 cm$

Exercițiul 2. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este $c = 13 cm$ , iar o catetă este $a = 5 cm$ . Calculează cealaltă catetă și aria triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Când știm ipotenuza, scădem: pătratul catetei lipsă este pătratul ipotenuzei minus pătratul catetei cunoscute.

b^{2} = c^{2} - a^{2} = 169 - 25 = 144

b = \sqrt{144} = 12 cm

Pentru arie folosim cele două catete, nu ipotenuza:

A = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{5 \cdot 12}{2} = \frac{60}{2} = 30 {cm}^{2}

Verificare: 5, 12 și 13 formează un triplet pitagoreic, pentru că 25 + 144 = 169.

Răspuns: $b = 12 cm$ , $A = 30 {cm}^{2}$

Exercițiul 3. Un triunghi dreptunghic are catetele egale, fiecare de $a = 7 cm$ . Calculează ipotenuza, perimetrul și aria.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Triunghiul dreptunghic isoscel: aceleași formule, doar că ambele catete sunt 7 cm.

c^{2} = 7^{2} + 7^{2} = 49 + 49 = 98

c = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7 \sqrt{2} \approx 9,9 cm

P = 7 + 7 + 7 \sqrt{2} \approx 14 + 9,9 = 23,9 cm

A = \frac{7 \cdot 7}{2} = \frac{49}{2} = 24,5 {cm}^{2}

Am scos 49 de sub radical pentru că este pătrat perfect; rămâne radical din 2, aproximativ 1,41.

Răspuns: $c = 7 \sqrt{2} \approx 9,9 cm$ , $P \approx 23,9 cm$ , $A = 24,5 {cm}^{2}$

Exercițiul 4. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic măsoară $c = 10 cm$ , iar o catetă $a = 6 cm$ . Calculează perimetrul și aria triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Găsim întâi cateta lipsă, apoi perimetrul și aria vin de la sine.

b^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow b = \sqrt{64} = 8 cm

P = 6 + 8 + 10 = 24 cm

A = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24 {cm}^{2}

Perimetrul adună toate cele trei laturi; aria folosește doar catetele. Coincidența 24 și 24 e reală la triunghiul 6-8-10.

Răspuns: $P = 24 cm$ , $A = 24 {cm}^{2}$

Exercițiul 5. Provocare: catetele unui triunghi dreptunghic sunt în raportul 3:4, iar ipotenuza măsoară $20 cm$ . Află lungimile catetelor și aria triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm catetele cu $3 k$ și $4 k$ , apoi aplicăm teorema lui Pitagora:

{(3 k)}^{2} + {(4 k)}^{2} = 9 k^{2} + 16 k^{2} = 25 k^{2} = 400

k^{2} = 16 \Rightarrow k = 4

A = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96 {cm}^{2}

Catetele sunt 3 ⋅ 4 = 12 cm și 4 ⋅ 4 = 16 cm. Verificare: 144 + 256 = 400, adică exact 20 la pătrat. Corect.

Răspuns: $12 cm$ și $16 cm$ , $A = 96 {cm}^{2}$

Întrebări frecvente

Cum știu dacă un triunghi e dreptunghic după lungimile laturilor?

Verifici cu teorema lui Pitagora în sens invers. Ia cele trei laturi, ridică la pătrat pe fiecare și verifică dacă suma pătratelor celor două laturi mai mici e egală cu pătratul celei mai mari. Dacă $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , triunghiul e dreptunghic. Dacă nu e egal, nu e dreptunghic. Simplu de verificat cu orice trei numere.

Ce sunt tripletele pitagoreice și de ce le știu pe dinafară?

Tripletele pitagoreice sunt seturi de trei numere întregi care verifică teorema lui Pitagora. Cele mai folosite: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17. Dacă le recunoști în exercițiu, economisești timp — nu mai calculezi rădăcini. La examene apar des tocmai pentru că dau rezultate întregi, frumoase.

Pot avea două unghiuri drepte într-un triunghi dreptunghic?

Nu. Niciodată. Suma unghiurilor unui triunghi e mereu 180°. Dacă ai deja un unghi de 90°, mai rămân doar 90° pentru celelalte două unghiuri — deci amândouă sunt ascuțite, mai mici de 90°. Un triunghi cu două unghiuri drepte ar însemna 180° doar din două unghiuri, ceea ce e imposibil geometric.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 12. Triunghiul dreptunghic. Teorema unghiului de 30 de grade. Teorema medianei..

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună