METODA TRIUNGHIURILOR CONGRUENTE pas cu pas - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 5 octombrie 2026

Ca să demonstrezi că două segmente sau două unghiuri sunt congruente, le așezi în două triunghiuri, arăți că triunghiurile sunt congruente și apoi citești concluzia din corespondența vârfurilor. Aceasta este metoda triunghiurilor congruente, iar cu ea ajungi și la drepte paralele, perpendiculare sau la mijlocul unui segment. Mai jos găsești metoda în cinci pași și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Metoda triunghiurilor congruente în cinci pași

Într-o problemă de demonstrație, congruența triunghiurilor nu este de obicei ce ți se cere, ci drumul până acolo. În figură, segmentele $A B$ și $C D$ au același mijloc $O$ . Vrei să arăți că $A C = B D$ : cele două segmente sunt laturi în triunghiurile $O A C$ și $O B D$ , deci pe acestea le compari.

Segmentele

A B

și

C D

au același mijloc

O

: din

△ O A C \equiv △ O B D

(L.U.L.) rezultă

A C = B D

și

A C ∥ B D

$△ O A C \equiv △ O B D \Rightarrow$ $A C =$ $B D$

Citește concluzia. Ce trebuie să arăți: două segmente egale, două unghiuri egale, un unghi drept, două drepte paralele, un mijloc?
Alege triunghiurile. Caută două triunghiuri în care elementele din concluzie ocupă același loc. Dacă nu există, unește două puncte și construiește-le.
Găsește trei perechi de elemente congruente, fiecare cu justificare. Sursele obișnuite: ipoteza, latura comună, unghiul comun, unghiurile opuse la vârf, unghiurile alterne interne formate de două paralele, mijlocul unui segment, bisectoarea unui unghi, razele aceluiași cerc, sume sau diferențe de segmente congruente.
Numește criteriul. L.U.L. (unghiul cuprins între cele două laturi), U.L.U. (latura cuprinsă între cele două unghiuri) sau L.L.L.
Trage concluzia. Din congruență rezultă toate celelalte elemente, în ordinea vârfurilor. De exemplu, din $△ O A C \equiv △ O B D$ rezultă $A C = B D$ și $∠ O A C \equiv ∠ O B D$ .

Cum ajungi la alte concluzii decât egalități. Două unghiuri congruente care sunt și suplementare (adiacente, cu laturile necomune în prelungire) au câte $90^{\circ}$ : obții o perpendiculară. Două unghiuri alterne interne congruente arată că dreptele sunt paralele: în figură, $∠ O A C \equiv ∠ O B D$ , deci $A C ∥ B D$ . Un punct al unui segment care îl împarte în două segmente congruente este mijlocul lui. O semidreaptă care împarte un unghi în două unghiuri congruente este bisectoarea lui.

Exerciții rezolvate : metoda triunghiurilor congruente

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Segmente egale obținute prin adunareușor

Punctele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ se află pe o dreaptă, în această ordine, cu $A B = C D$ . De aceeași parte a dreptei se iau punctele $E$ și $F$ , astfel încât $A E = D F$ și $∠ E A D \equiv ∠ F D A$ . Demonstrează că $E C = F B$ și că $∠ A C E \equiv ∠ D B F$ .

Pe figură sunt marcate doar datele:

A B = C D

A E = D F

și unghiurile de la

A

și

D

congruente. Egalitatea

E C = F B

se demonstrează.

Rezolvare pas cu pas

Concluzia cere $E C = F B$ . Segmentul $E C$ este latură în triunghiul $E A C$ , iar $F B$ în triunghiul $F D B$ : pe acestea le compari.
Punctele $B$ și $C$ sunt între $A$ și $D$ , deci $A C = A B + B C$ și $D B = D C + C B$ . Cum $A B = D C$ , adunând la ambele același segment $B C$ , obții $A C = D B$ .
$A E = D F$ (ipoteză).
Unghiul $E A C$ este chiar unghiul $E A D$ , pentru că $C$ este pe semidreapta $A D$ ; la fel, unghiul $F D B$ este unghiul $F D A$ . Deci $∠ E A C \equiv ∠ F D B$ , iar fiecare este cuprins între laturile egale.
Prin L.U.L., $△ E A C \equiv △ F D B$ , cu $E \to F$ , $A \to D$ , $C \to B$ . Rezultă $E C = F B$ și $∠ A C E \equiv ∠ D B F$ .

Răspuns: $△ E A C \equiv △ F D B$ (L.U.L.), deci $E C = F B$ și $∠ A C E \equiv ∠ D B F$

EXERCIȚIUL 2Unghiul comun al două triunghiuriușor

Pe latura $O x$ a unghiului $x O y$ se iau punctele $A$ și $B$ , iar pe latura $O y$ punctele $C$ și $D$ , astfel încât $O A = O C = 3$ cm și $O B = O D = 7$ cm. Demonstrează că $A D = C B$ și că $∠ O D A \equiv ∠ O B C$ .

Segmentele

A D

și

C B

par egale pe desen, dar egalitatea lor se demonstrează.

Rezolvare pas cu pas

Segmentul $A D$ este latură în triunghiul $O A D$ , iar $C B$ este latură în triunghiul $O C B$ . Pe acestea le compari.
$O A = O C$ și $O D = O B$ (ipoteză).
Unghiul $A O D$ și unghiul $C O B$ sunt același unghi, $x O y$ : unghiul comun. El este cuprins între laturile egale.
Prin L.U.L., $△ O A D \equiv △ O C B$ , cu corespondența $O \to O$ , $A \to C$ , $D \to B$ .
Rezultă $A D = C B$ și $∠ O D A \equiv ∠ O B C$ .

Răspuns: $△ O A D \equiv △ O C B$ (L.U.L.), deci $A D = C B$ și $∠ O D A \equiv ∠ O B C$

EXERCIȚIUL 3Un unghi aflat din congruențăușor

Triunghiurile $A B C$ și $D B C$ se află de o parte și de alta a laturii comune $B C$ , cu $A B = D B$ și $A C = D C$ . Știind că $m (∠ B A C) =$ $70^{\circ}$ și $m (∠ A B C) =$ $60^{\circ}$ , calculează $m (∠ B D C)$ și $m (∠ B C D)$ .

Rezolvare pas cu pas

Compari triunghiurile $A B C$ și $D B C$ : $A B = D B$ și $A C = D C$ (ipoteză), iar $B C$ este latură comună.
Prin L.L.L., $△ A B C \equiv △ D B C$ , cu corespondența $A \to D$ , $B \to B$ , $C \to C$ .
Unghiul $B D C$ corespunde unghiului $B A C$ : $m (∠ B D C) =$ $70^{\circ}$ .
În triunghiul $A B C$ : $m (∠ A C B) =$ $180^{\circ} - 70^{\circ} - 60^{\circ} =$ $50^{\circ}$ . Unghiul $B C D$ corespunde lui $A C B$ , deci $m (∠ B C D) =$ $50^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ B D C) =$ $70^{\circ}$ , $m (∠ B C D) =$ $50^{\circ}$

EXERCIȚIUL 4Laturi opuse egale, laturi opuse paralelemediu

În patrulaterul convex $A B C D$ , $A B = C D$ și $A D = B C$ . Demonstrează că $∠ A B C \equiv ∠ C D A$ și că $A B ∥ C D$ .

Paralelismul laturilor nu se citește de pe desen; se demonstrează.

Rezolvare pas cu pas

Nu există încă triunghiuri pe figură, așa că le construiești: diagonala $A C$ împarte patrulaterul în $△ A B C$ și $△ C D A$ .
$A B = C D$ , $B C = D A$ (ipoteză) și $A C$ latură comună. Prin L.L.L., $△ A B C \equiv △ C D A$ , cu $A \to C$ , $B \to D$ , $C \to A$ .
Unghiul $A B C$ corespunde unghiului $C D A$ , deci $∠ A B C \equiv ∠ C D A$ .
Tot din congruență, $∠ B A C \equiv ∠ D C A$ . Aceste unghiuri sunt alterne interne, formate de dreptele $A B$ și $C D$ cu secanta $A C$ .
Unghiurile alterne interne sunt congruente, deci $A B ∥ C D$ .

Răspuns: $△ A B C \equiv △ C D A$ (L.L.L.); $∠ A B C \equiv ∠ C D A$ și $A B ∥ C D$

EXERCIȚIUL 5Prelungești segmentul cu lungimea luimediu

În triunghiul $A B C$ , $M$ este mijlocul laturii $B C$ . Pe prelungirea segmentului $A M$ , dincolo de $M$ , se ia punctul $D$ astfel încât $M D = A M$ . Demonstrează că $C D = A B$ și că $C D ∥ A B$ .

Rezolvare pas cu pas

$A B$ este latură în triunghiul $M A B$ , iar $C D$ în triunghiul $M D C$ .
$M B = M C$ , pentru că $M$ este mijlocul lui $B C$ ; $M A = M D$ (ipoteză).
$∠ A M B \equiv ∠ D M C$ , fiind unghiuri opuse la vârf. Fiecare este cuprins între laturile egale.
Prin L.U.L., $△ M A B \equiv △ M D C$ , cu $A \to D$ , $B \to C$ . Rezultă $C D = A B$ .
Tot din congruență, $∠ M A B \equiv ∠ M D C$ : unghiuri alterne interne pentru dreptele $A B$ , $C D$ și secanta $A D$ . Deci $C D ∥ A B$ .

Răspuns: $△ M A B \equiv △ M D C$ (L.U.L.), deci $C D = A B$ și $C D ∥ A B$

EXERCIȚIUL 6Două unghiuri și latura dintre elemediu

Punctele $C$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $A B$ , astfel încât $m (∠ C A B) =$ $m (∠ D A B) =$ $40^{\circ}$ și $m (∠ C B A) =$ $m (∠ D B A) =$ $30^{\circ}$ . Știind că $A C = 5$ cm, calculează $A D$ și $m (∠ A D B)$ și arată că $B C = B D$ .

Rezolvare pas cu pas

Compari triunghiurile $A B C$ și $A B D$ . Latura $A B$ este comună.
Unghiurile alăturate laturii $A B$ sunt congruente: $∠ C A B \equiv ∠ D A B$ și $∠ C B A \equiv ∠ D B A$ .
Latura $A B$ este cuprinsă între cele două unghiuri, deci prin U.L.U., $△ A B C \equiv △ A B D$ , cu $C \to D$ .
Rezultă $A D = A C = 5$ cm și $B D = B C$ .
Unghiul $A D B$ corespunde unghiului $A C B$ : $m (∠ A D B) =$ $180^{\circ} - 40^{\circ} - 30^{\circ} =$ $110^{\circ}$ .

Răspuns: $A D = 5$ cm, $m (∠ A D B) =$ $110^{\circ}$ , $B C = B D$

EXERCIȚIUL 7Linia centrelor și coarda comunăgreu

Două cercuri, cu centrele $O$ și $P$ , se intersectează în punctele $A$ și $B$ . Segmentul $O P$ intersectează segmentul $A B$ în punctul $M$ . Demonstrează că $O P ⟂ A B$ și că $M$ este mijlocul lui $A B$ .

Unghiul drept dintre

O P

și

A B

nu este marcat pe figură, pentru că el trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

Pasul 1. În triunghiurile $O A P$ și $O B P$ : $O A = O B$ (raze ale primului cerc), $P A = P B$ (raze ale celui de-al doilea cerc), $O P$ latură comună.
Prin L.L.L., $△ O A P \equiv △ O B P$ , deci $∠ A O P \equiv ∠ B O P$ , adică $∠ A O M \equiv ∠ B O M$ .
Pasul 2. În triunghiurile $O A M$ și $O B M$ : $O A = O B$ , $∠ A O M \equiv ∠ B O M$ (pasul 1) și $O M$ latură comună. Prin L.U.L., $△ O A M \equiv △ O B M$ .
Rezultă $A M = B M$ , deci $M$ este mijlocul lui $A B$ , și $∠ O M A \equiv ∠ O M B$ .
Unghiurile $O M A$ și $O M B$ sunt adiacente suplementare ( $A$ , $M$ , $B$ coliniare) și congruente, deci fiecare are $180^{\circ} : 2 =$ $90^{\circ}$ . Așadar $O P ⟂ A B$ .

Răspuns: $O P ⟂ A B$ și $A M = M B$ (două congruențe: L.L.L., apoi L.U.L.)

EXERCIȚIUL 8Unghiuri formate prin adunaregreu

În triunghiul $A B C$ , $m (∠ B A C) =$ $50^{\circ}$ . În exteriorul triunghiului se construiesc triunghiurile $A B D$ și $A C E$ , cu $m (∠ B A D) =$ $m (∠ C A E) =$ $90^{\circ}$ , $A D = A B$ și $A E = A C$ . a) Calculează $m (∠ D A C)$ și $m (∠ B A E)$ . b) Demonstrează că $D C = B E$ .

Segmentele

D C

și

B E

nu sunt desenate, ca figura să rămână clară: trasează-le tu. Egalitatea lor se demonstrează.

Rezolvare pas cu pas

a) Unghiul $D A C$ este format din unghiurile $D A B$ și $B A C$ : $m (∠ D A C) =$ $90^{\circ} + 50^{\circ} =$ $140^{\circ}$ .
La fel, unghiul $B A E$ este format din $B A C$ și $C A E$ : $m (∠ B A E) =$ $50^{\circ} + 90^{\circ} =$ $140^{\circ}$ .
b) Segmentul $D C$ este latură în triunghiul $D A C$ , iar $B E$ în triunghiul $B A E$ .
$A D = A B$ și $A C = A E$ (ipoteză), iar $∠ D A C \equiv ∠ B A E$ (punctul a), fiecare unghi fiind cuprins între laturile egale.
Prin L.U.L., $△ D A C \equiv △ B A E$ , cu $D \to B$ , $C \to E$ . Rezultă $D C = B E$ .

Răspuns: a) $m (∠ D A C) =$ $m (∠ B A E) =$ $140^{\circ}$ ; b) $△ D A C \equiv △ B A E$ (L.U.L.), deci $D C = B E$

Cum recunoști că o problemă se rezolvă cu metoda triunghiurilor congruente

Ți se cere să arăți că două segmente sau două unghiuri sunt egale, fără să ai lungimi sau măsuri de calculat: caută două triunghiuri care le conțin.
Ți se cere o perpendiculară, o paralelă, un mijloc sau o bisectoare: gândește-te ce pereche de unghiuri sau de segmente congruente ți-ar da-o, apoi caută triunghiurile.
Enunțul are mijloace, bisectoare, raze, paralele sau segmente prelungite cu aceeași lungime: acestea sunt, aproape mereu, sursa perechilor de elemente congruente.

Greșeli frecvente la metoda triunghiurilor congruente

Alegi triunghiuri care nu conțin concluzia. Dacă trebuie să arăți $A D = C B$ , triunghiurile alese trebuie să aibă laturile $A D$ și $C B$ . Altfel, chiar dacă demonstrezi o congruență corectă, nu ajungi la ce ți se cere.
Scrii corespondența vârfurilor la întâmplare. Ordinea literelor în $△ O A D \equiv △ O C B$ spune ce latură corespunde cărei laturi. Dacă o scrii greșit, citești concluzia greșit. Pune pe aceeași poziție vârfurile cu unghiuri congruente.
Folosești ce vrei să demonstrezi. Nu poți scrie „ $E C = F B$ ” ca pas justificat când exact asta ți se cere. Fiecare pereche de elemente congruente are o justificare din ipoteză sau dintr-un rezultat demonstrat înainte.

Exersează : metoda triunghiurilor congruente

Fișă de lucru: Congruența triunghiurilor, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Triunghiul, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Metoda triunghiurilor congruente, partea a II-aclasa a VI-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre metoda triunghiurilor congruente

De unde știu ce triunghiuri să aleg?

Pornește de la concluzie. Segmentele sau unghiurile pe care trebuie să le arăți congruente trebuie să fie elemente care își corespund în cele două triunghiuri. Dacă figura nu are astfel de triunghiuri, trasează un segment ajutător, de exemplu o diagonală.

Ce fac dacă găsesc doar două perechi de elemente congruente?

Caută a treia pereche printre elementele „ascunse”: latura comună, unghiul comun, unghiurile opuse la vârf, unghiurile alterne interne sau o sumă de segmente congruente. Dacă tot nu o găsești, încearcă altă pereche de triunghiuri sau o congruență intermediară.

Cum arăt că două drepte sunt perpendiculare cu această metodă?

Arăți că cele două unghiuri adiacente formate de drepte sunt congruente. Cum ele sunt și suplementare, fiecare are $90^{\circ}$ . Congruența lor o obții dintr-o pereche de triunghiuri congruente.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Metoda triunghiurilor congruente se folosește pentru a demonstra că două segmente sau două unghiuri sunt egale. Care este primul pas al acestei metode?
2. Două triunghiuri sunt congruente prin criteriul L.U.L. dacă îndeplinesc condiția:
3. În triunghiurile $△ A B C$ și $△ D E F$ , știm că $A B = D E$ , $B C = E F$ și $A C = D F$ . Prin ce criteriu sunt congruente cele două triunghiuri?
4. Dacă demonstrăm că $△ A B C ≅ △ D E F$ , ce putem concluziona despre elementele celor două triunghiuri?
5. Într-un exercițiu, vrem să dovedim că $A M = B M$ , unde $M$ este un punct. Am identificat $△ A M P$ și $△ B M P$ cu $A P = B P$ și $M P$ latură comună. Mai avem nevoie de o condiție pentru criteriul L.L.L. Care este aceasta?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 5 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

CONSTRUCȚIA TRIUNGHIURILOR: metode, condiția de existență - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR: criteriile LLL, LUL, ULU - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE cazurile C.C., C.U., I.U., I.C. - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

BISECTOAREA UNUI UNGHI: proprietăți și incentrul triunghiului - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

MEDIATOARELE LATURILOR UNUI TRIUNGHI și circumcentrul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

ÎNĂLȚIMILE UNUI TRIUNGHI: definiție și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună