TEOREMA MEDIANEI în triunghiul dreptunghic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 14 septembrie 2026

Într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză. Mai jos găsești teorema cu figură, reciproca și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu, apoi fișa de lucru PDF și testul capitolului.

Teorema medianei în triunghiul dreptunghic

Teorema. Dacă triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ și $M$ este mijlocul ipotenuzei $B C$ , atunci

$A M = \frac{B C}{2} = B M = M C$

Reciproca. Dacă într-un triunghi mediana dusă dintr-un vârf este jumătate din latura opusă, atunci unghiul din acel vârf este drept.

Liniuțele arată segmentele egale:

A M = B M = M C

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aplicare directăușor

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu ipotenuza $B C = 18$ cm. Punctul $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează lungimea medianei $A M$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiul drept este în $A$ , deci latura din fața lui, $B C$ , este ipotenuza.
$A M$ pleacă din vârful unghiului drept spre mijlocul ipotenuzei, deci putem aplica teorema medianei.
$A M = \frac{B C}{2} = \frac{18}{2} = 9$ cm.

Răspuns: $A M = 9$ cm

EXERCIȚIUL 2Drumul invers: din mediană aflăm ipotenuzaușor

Într-un triunghi $D E F$ dreptunghic în $D$ , mediana $D N$ dusă spre ipotenuză are $7,5$ cm. Cât măsoară ipotenuza $E F$ ?

Rezolvare pas cu pas

Din teorema medianei, $D N = \frac{E F}{2}$ .
Atunci ipotenuza este dublul medianei: $E F = 2 \cdot D N = 2 \cdot 7,5 = 15$ cm.

Răspuns: $E F = 15$ cm

EXERCIȚIUL 3Întâi ipotenuza, apoi medianamediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 8$ cm și $A C = 6$ cm. Dacă $M$ este mijlocul ipotenuzei, calculează $A M$ . (Folosește teorema lui Pitagora.)

Rezolvare pas cu pas

Ipotenuza nu e dată, așa că o calculăm cu teorema lui Pitagora: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 64 + 36 = 100$ , deci $B C = 10$ cm.
Aplicăm teorema medianei: $A M = \frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm.

Răspuns: $A M = 5$ cm

EXERCIȚIUL 4Reciproca: demonstrăm că unghiul e dreptmediu

În triunghiul $A B C$ , punctul $M$ este mijlocul laturii $A B$ , $A B = 12$ cm și $C M = 6$ cm. Arată că unghiul $C$ este drept.

Pe figură, M e mijlocul lui AB; nu marcăm unghiul drept, pentru că asta trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

$C M$ este mediana dusă din $C$ spre latura $A B$ , pentru că $M$ este mijlocul lui $A B$ .
Comparăm: $\frac{A B}{2} = \frac{12}{2} = 6$ cm, iar $C M = 6$ cm, deci $C M = \frac{A B}{2}$ .
Conform reciprocei teoremei medianei, unghiul din vârful din care pleacă mediana este drept: $m (∠ A C B) = 90^{\circ}$ .

Răspuns: unghiul $C$ este drept

EXERCIȚIUL 5Împreună cu teorema unghiului de 30°mediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $m (∠ B) = 30^{\circ}$ și $B C = 20$ cm. Punctul $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează $A M$ și $A C$ , apoi arată că triunghiul $A M C$ este echilateral.

Rezolvare pas cu pas

Teorema medianei: $A M = \frac{B C}{2} = 10$ cm.
Teorema unghiului de $30^{\circ}$ : cateta din fața unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză, deci $A C = \frac{B C}{2} = 10$ cm.
$M$ este mijlocul lui $B C$ , deci $M C = 10$ cm.
Triunghiul $A M C$ are $A M = M C = A C = 10$ cm, deci este echilateral.

Răspuns: $A M = 10$ cm, $A C = 10$ cm, $△ A M C$ echilateral

EXERCIȚIUL 6Perimetrul, pornind de la medianămediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ . Mediana $A M$ are $13$ cm, iar cateta $A B = 24$ cm. Calculează perimetrul triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Ipotenuza este dublul medianei: $B C = 2 \cdot 13 = 26$ cm.
Cealaltă catetă, cu teorema lui Pitagora: $A C^{2} = B C^{2} - A B^{2} = 676 - 576 = 100$ , deci $A C = 10$ cm.
Perimetrul: $P = A B + A C + B C = 24 + 10 + 26 = 60$ cm.

Răspuns: $P = 60$ cm

EXERCIȚIUL 7Aflăm unghiurile din unghiul dintre mediană și ipotenuzăgreu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , iar $M$ este mijlocul ipotenuzei $B C$ . Știind că $m (∠ A M B) = 120^{\circ}$ , află măsurile unghiurilor $B$ și $C$ .

Rezolvare pas cu pas

Din teorema medianei, $A M = \frac{B C}{2} = B M$ . Deci triunghiul $A B M$ este isoscel, cu baza $A B$ .
Unghiurile de la bază sunt egale: $m (∠ M A B) = m (∠ M B A) = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ .
Deci $m (∠ B) = 30^{\circ}$ , iar $m (∠ C) = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ B) = 30^{\circ}$ , $m (∠ C) = 60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: mediana în dreptunghigreu

Dreptunghiul $A B C D$ are $A B = 8$ cm și $B C = 6$ cm. Diagonalele se intersectează în $O$ . Arată că $B O = \frac{A C}{2}$ folosind teorema medianei și calculează $B O$ .

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ (unghiurile dreptunghiului sunt drepte), cu ipotenuza $A C$ .
Diagonalele unui dreptunghi se înjumătățesc, deci $O$ este mijlocul lui $A C$ și $B O$ este mediana dusă din vârful unghiului drept.
Teorema medianei: $B O = \frac{A C}{2}$ .
Pitagora în $△ A B C$ : $A C^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100$ , deci $A C = 10$ cm și $B O = 5$ cm.

Răspuns: $B O = 5$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe teorema medianei

Enunțul spune „triunghi dreptunghic” și „mijlocul ipotenuzei” (sau „mediana dusă spre ipotenuză”).
Se cere mediana, iar ipotenuza e dată sau se poate afla cu Pitagora. Sau invers.
Se cere să arăți că un unghi este drept, iar în enunț ai un mijloc de latură și o lungime egală cu jumătate din acea latură: aici folosești reciproca.

Greșeli frecvente

Împarți o catetă la 2, nu ipotenuza. Ipotenuza este latura din fața unghiului drept.
Aplici teorema pentru o mediană dusă din alt vârf. Doar mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.
Sari peste Pitagora. Dacă ai doar catetele, calculezi întâi ipotenuza și abia apoi înjumătățești.

Exersează

Fișă de lucru: Triunghiul dreptunghic, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu figuri, rezolvarea exercițiului 1 gratuită

Testul capitolului „Triunghiul”, clasa a VI-acu barem PDF · se publică în curând

Din același capitol

Întrebări frecvente

Teorema medianei se aplică și în triunghiul isoscel sau echilateral?

Nu. Relația $A M = \frac{B C}{2}$ este adevărată doar pentru mediana dusă din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic. În alte triunghiuri, mediana nu este jumătate din latura spre care e dusă.

Cum știu care mediană este cea din teoremă?

Găsește vârful cu unghiul drept (în figură are un pătrățel, în enunț scrie „dreptunghic în …”). Mediana din teoremă pleacă din acel vârf și ajunge la mijlocul ipotenuzei.

Pot folosi reciproca la demonstrații?

Da. Dacă arăți că o mediană este jumătate din latura spre care e dusă, rezultă că unghiul din vârful din care pleacă este drept. La lucrare scrii egalitatea și numești reciproca teoremei medianei.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 6 iunie 2026, actualizat 14 septembrie 2026