Teorema medianei: enunț + 5 exerciții rezolvate

📌 Ce vei învăța

• Vei înțelege ce este mediana într-un triunghi și cum o identifici
• Vei știi să enunți și să aplici teorema medianei în triunghiul dreptunghic
• Vei ști să calculezi mediana sau ipotenuzei dintr-un exercițiu concret, pas cu pas
• Vei recunoaște greșelile frecvente care costă puncte și cum le eviți

💡 Regula de bază

Într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept spre mijlocul ipotenuzei este egală cu jumătate din ipotenuză. Dacă notăm mediana cu  $m_c$  și ipotenuzei cu  $c$ , atunci:  $m_c={\displaystyle \frac{c}{2}}$ . Și reciproca e adevărată: dacă mediana unui triunghi e jumătate din latura spre care e dusă, unghiul din vârful respectiv este drept.

💡 Formulele teoremei

Fie triunghiul dreptunghic  $ABC$  cu unghiul drept în  $C$ , ipotenuzei  $AB=c$  și  $M$  mijlocul lui  $AB$ . Atunci:

$$m_c=CM=\frac{c}{2}=\frac{AB}{2}$$

Reciproca: Dacă  $CM={\displaystyle \frac{AB}{2}}$ , atunci unghiul  $C$  este drept.

📝 Enunț

În triunghiul dreptunghic  $ABC$ , unghiul drept este în  $C$ , catetele sunt  $AC=6$  cm și  $BC=8$  cm.  $M$  este mijlocul ipotenuzei  $AB$ . Calculează lungimea medianei  $CM$ .

🔢 Rezolvare

Pasul 1. Calculăm ipotenuzei  $AB$  cu Teorema lui Pitagora:

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$$
$$A{B}^2=6^2+8^2$$
$$A{B}^2=36+64=100$$
$$AB=\sqrt{100}=10\text{ cm}$$

Pasul 2. Aplicăm teorema medianei în triunghiul dreptunghic:

$$CM=\frac{AB}{2}$$
$$CM=\frac{10}{2}$$
$$CM=5\text{ cm}$$

✅ Explicație

Primul pas e obligatoriu — nu știm ipotenuzei direct, deci o calculăm cu Pitagora. Abia după ce o avem, aplicăm teorema medianei. Ordinea contează. Mulți se grăbesc și sară direct la împărțit, dar împart cateta în loc de ipotenuză — și asta e greșeala clasică. Odată ce ai  $AB$ , e simplu: înjumătățești și gata.

📝 Enunț

În triunghiul  $ABC$ ,  $M$  este mijlocul laturii  $AB$  și  $CM=7$  cm,  $AB=14$  cm. Demonstrează că unghiul  $C$  este drept.

🔢 Rezolvare

Verificăm condiția reciprocei:

$$\frac{AB}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ cm}$$
$$CM=7\text{ cm}$$
$$CM=\frac{AB}{2}$$

✅ Explicație

Deoarece mediana  $CM$  este egală cu jumătate din latura  $AB$ , conform reciprocei teoremei medianei în triunghiul dreptunghic, rezultă că unghiul  $C$  este drept. Practic, am verificat o egalitate și am invocat reciproca — demonstrația e completă. Scurt și clar, exact cum trebuie scris la lucrare.

❌ Greșeala #1: Aplici teorema pentru mediana dusă dintr-un vârf oarecare, nu din vârful unghiului drept. De exemplu, calculezi mediana din  $A$  sau din  $B$  și zici că e jumătate din ceva.

✅ Corect: Teorema se aplică doar pentru mediana dusă din vârful unghiului drept spre mijlocul ipotenuzei. Medianta din  $A$  sau din  $B$  nu are această proprietate specială — pentru acelea există alte formule.

❌ Greșeala #2: Împarți o catetă la 2, în loc de ipotenuză. Se întâmplă când nu identifici corect care latură este ipotenuzei — și toată lumea o face cel puțin o dată.

✅ Corect: Ipotenuzei este latura din fața unghiului drept — adică latura opusă vârfului cu 90°. Verifică întotdeauna care este unghiul drept, apoi identifică latura opusă lui. Aceea e ipotenuzei pe care o împarți la 2.

❌ Greșeala #3: Uiți să calculezi mai întâi ipotenuzei când nu e dată direct, și aplici formula cu o valoare greșită sau inventată.

✅ Corect: Dacă în enunț sunt date catetele, primul pas e mereu Teorema lui Pitagora:  $c=\sqrt{a^2+b^2}$ . Abia după ce ai ipotenuzei, aplici  $m_c={\displaystyle \frac{c}{2}}$ . Ordinea pașilor nu e opțională.

Exercițiul 1. Triunghiul dreptunghic $ABC$ are unghiul drept în $C$ și ipotenuza $AB=18\text{cm}$. Calculează mediana $CM$, unde $M$ este mijlocul lui $AB$.

Exercițiul 2. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt $5\text{cm}$ și $12\text{cm}$. Calculează mediana dusă din vârful unghiului drept spre mijlocul ipotenuzei.

Exercițiul 3. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $AB$. Se știe că $AB=26\text{cm}$ și $CM=13\text{cm}$. Arată că unghiul $C$ este drept și calculează perimetrul triunghiului, știind că $AC=10\text{cm}$.

Exercițiul 4. Mediana dusă din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic măsoară $\mathrm{7,5}\text{cm}$, iar una dintre catete are $9\text{cm}$. Calculează ipotenuza și cealaltă catetă.

Exercițiul 5. Provocare: în triunghiul dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$, mediana $AM$ măsoară $\mathrm{6,5}\text{cm}$, iar cateta $AB=5\text{cm}$. Calculează aria triunghiului.