TEOREMA UNGHIULUI DE 30 DE GRADE și reciproca - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză. Mai jos găsești teorema cu figură, reciproca, legătura cu unghiul de 60° și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Teorema unghiului de 30° și reciproca ei

Teorema. Dacă triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ și $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ , atunci cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză:

Cateta

A C

este opusă unghiului de

30^{\circ}

, deci

A C = \frac{B C}{2}

$A C = \frac{B C}{2}$

Reciproca. Dacă într-un triunghi dreptunghic o catetă este jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acestei catete are $30^{\circ}$ .

Triunghiul 30-60-90. Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic au împreună $90^{\circ}$ . Dacă unul are $30^{\circ}$ , celălalt are $60^{\circ}$ . De aceea teorema se poate spune și așa: cateta alăturată unghiului de $60^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aplicare directăușor

Triunghiul $D E F$ este dreptunghic în $D$ , cu $m (∠ E) =$ $30^{\circ}$ și ipotenuza $E F = 14$ cm. Calculează lungimea catetei $D F$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiul drept este în $D$ , deci ipotenuza este $E F$ .
Cateta opusă unghiului $E$ de $30^{\circ}$ este $D F$ (latura care nu trece prin $E$ ).
Din teorema unghiului de $30^{\circ}$ : $D F =$ $\frac{E F}{2} =$ $\frac{14}{2} =$ $7$ cm.

Răspuns: $D F = 7$ cm

EXERCIȚIUL 2Din catetă aflăm ipotenuzaușor

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $m (∠ C) =$ $30^{\circ}$ și $A B = 6$ cm. Calculează ipotenuza $B C$ .

Rezolvare pas cu pas

Cateta opusă unghiului $C$ este $A B$ .
Teorema spune $A B = \frac{B C}{2}$ , deci ipotenuza este dublul catetei.
$B C =$ $2 \cdot A B =$ $2 \cdot 6 =$ $12$ cm.

Răspuns: $B C = 12$ cm

EXERCIȚIUL 3Când se dă unghiul de 60°mediu

Triunghiul $M N P$ este dreptunghic în $M$ , cu $m (∠ N) =$ $60^{\circ}$ și ipotenuza $N P = 18$ cm. Calculează $M N$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiurile ascuțite au împreună $90^{\circ}$ , deci $m (∠ P) =$ $90^{\circ} - 60^{\circ} =$ $30^{\circ}$ .
Cateta opusă unghiului $P$ de $30^{\circ}$ este $M N$ .
$M N =$ $\frac{N P}{2} =$ $\frac{18}{2} =$ $9$ cm.

Răspuns: $M N = 9$ cm

EXERCIȚIUL 4Reciproca: aflăm unghiurilemediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A C = 8$ cm și $B C = 16$ cm. Află măsurile unghiurilor $B$ și $C$ .

Rezolvare pas cu pas

$B C$ este ipotenuza, iar $A C =$ $8 =$ $\frac{16}{2} =$ $\frac{B C}{2}$ .
Cateta $A C$ este jumătate din ipotenuză, deci, după reciproca teoremei, unghiul opus ei are $30^{\circ}$ .
Unghiul opus lui $A C$ este $∠ B$ , deci $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ .
$m (∠ C) =$ $90^{\circ} - 30^{\circ} =$ $60^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ , $m (∠ C) =$ $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Teorema aplicată de două orimediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ și $B C = 24$ cm. $A D$ este înălțimea dusă pe ipotenuză ( $D$ pe $B C$ ). Calculează $A C$ , $C D$ și $B D$ .

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul $A B C$ , cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ este $A C$ : $A C =$ $\frac{24}{2} =$ $12$ cm.
$m (∠ C) =$ $90^{\circ} - 30^{\circ} =$ $60^{\circ}$ . Triunghiul $A D C$ este dreptunghic în $D$ , deci $m (∠ C A D) =$ $90^{\circ} - 60^{\circ} =$ $30^{\circ}$ .
În triunghiul $A D C$ , ipotenuza este $A C$ , iar cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ este $C D$ : $C D =$ $\frac{12}{2} =$ $6$ cm.
$B D =$ $B C - C D =$ $24 - 6 =$ $18$ cm.

Răspuns: $A C = 12$ cm, $C D = 6$ cm, $B D = 18$ cm

EXERCIȚIUL 6În triunghiul isoscelmediu

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C = 10$ cm și $m (∠ A) =$ $120^{\circ}$ . $A D$ este înălțimea dusă pe baza $B C$ . Calculează lungimea lui $A D$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiurile de la bază: $m (∠ B) =$ $m (∠ C) =$ $\frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} =$ $30^{\circ}$ .
Triunghiul $A B D$ este dreptunghic în $D$ , cu ipotenuza $A B = 10$ cm și $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ .
Cateta opusă unghiului $B$ este $A D$ , deci $A D =$ $\frac{A B}{2} =$ $\frac{10}{2} =$ $5$ cm.

Răspuns: $A D = 5$ cm

EXERCIȚIUL 7Distanța de la un punct la o dreaptăgreu

În triunghiul $A B C$ , $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ , $m (∠ C) =$ $45^{\circ}$ și $A B = 14$ cm. $D$ este piciorul perpendicularei din $A$ pe $B C$ . Calculează distanța de la $A$ la dreapta $B C$ și lungimea segmentului $C D$ .

Rezolvare pas cu pas

Distanța de la $A$ la $B C$ este lungimea lui $A D$ .
Triunghiul $A B D$ este dreptunghic în $D$ , cu ipotenuza $A B$ și $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ . Cateta opusă este $A D$ , deci $A D =$ $\frac{14}{2} =$ $7$ cm.
În triunghiul $A D C$ , dreptunghic în $D$ : $m (∠ D A C) =$ $90^{\circ} - 45^{\circ} =$ $45^{\circ} =$ $m (∠ C)$ .
Triunghiul $A D C$ are două unghiuri congruente, deci este isoscel: $C D = A D = 7$ cm.

Răspuns: distanța este $A D = 7$ cm, iar $C D = 7$ cm

EXERCIȚIUL 8Cu teorema medianeigreu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $m (∠ C) =$ $30^{\circ}$ . $A D$ este înălțimea, iar $A M$ este mediana dusă pe ipotenuză, cu $A M = 12$ cm. Calculează $B C$ , $A B$ , $B D$ și $D M$ .

Rezolvare pas cu pas

Teorema medianei: $A M = \frac{B C}{2}$ , deci $B C = 2 \cdot 12 = 24$ cm.
Teorema unghiului de $30^{\circ}$ în $A B C$ : cateta opusă lui $C$ este $A B$ , deci $A B =$ $\frac{24}{2} =$ $12$ cm.
$m (∠ B) =$ $60^{\circ}$ . În triunghiul $A B D$ , dreptunghic în $D$ : $m (∠ B A D) =$ $90^{\circ} - 60^{\circ} =$ $30^{\circ}$ , deci $B D =$ $\frac{A B}{2} =$ $6$ cm.
$M$ este mijlocul lui $B C$ , deci $B M = 12$ cm, iar $D M =$ $B M - B D =$ $12 - 6 =$ $6$ cm.

Răspuns: $B C = 24$ cm, $A B = 12$ cm, $B D = 6$ cm, $D M = 6$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe teorema unghiului de 30°

Triunghiul este dreptunghic și are un unghi de $30^{\circ}$ sau de $60^{\circ}$ (dat direct sau obținut din alte unghiuri).
Se cere o catetă când știi ipotenuza, sau ipotenuza când știi cateta din fața unghiului de $30^{\circ}$ .
O catetă este jumătate din ipotenuză și se cer unghiurile: atunci folosești reciproca.

Greșeli frecvente

Împarți la 2 cateta greșită. Doar cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ (cea care nu trece prin vârful lui) este jumătate din ipotenuză. Cealaltă catetă este mai lungă.
Aplici teorema într-un triunghi care nu este dreptunghic. Dacă triunghiul nu are unghi drept, duci întâi o înălțime și lucrezi în triunghiul dreptunghic format, ca la exercițiul 7.
Uiți unghiul de 60°. Dacă se dă unghiul de $60^{\circ}$ , celălalt unghi ascuțit are $30^{\circ}$ . Teorema se aplică și atunci, cu cateta alăturată unghiului de $60^{\circ}$ .

Exersează

Fișă de lucru: Triunghiul dreptunghic, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Triunghiul isoscel și dreptunghic, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Teorema unghiului de 30° și teorema medianeiclasa a VI-a, capitolul 9

Din același capitol

Întrebări frecvente

Care catetă este jumătate din ipotenuză?

Cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ , adică latura care nu trece prin vârful acestui unghi. Ea este și cateta alăturată unghiului de $60^{\circ}$ .

Teorema unghiului de 30° funcționează în orice triunghi?

Nu. Se aplică doar în triunghiul dreptunghic. Într-un triunghi oarecare duci o înălțime și aplici teorema în triunghiul dreptunghic obținut.

Cum aflu cealaltă catetă a triunghiului 30-60-90?

Cu teorema lui Pitagora, pe care o înveți puțin mai târziu, în același capitol. Dacă cateta mică este un număr natural, cateta mare nu iese număr natural. De aceea, în clasa a VI-a, exercițiile pe această teoremă cer mai ales cateta mică și ipotenuza.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 5 iunie 2026, actualizat 18 septembrie 2026