TRIUNGHIUL ECHILATERAL, proprietăți și formule - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Un triunghi echilateral are toate laturile congruente și toate unghiurile de 60°. Mai jos găsești proprietățile cu figură, reciprocele, perimetrul, exemple din viața reală și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Triunghiul echilateral: definiție, proprietăți și formule

Definiție. Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral. Este un caz particular de triunghi isoscel: oricare latură poate fi considerată bază.

Medianele

A D

B E

C F

sunt și înălțimi și bisectoare. Ele trec prin centrul

G

Unghiurile. Toate unghiurile sunt congruente și fiecare are $180^{\circ} : 3 =$ $60^{\circ}$ .

Liniile importante. Din fiecare vârf, înălțimea, mediana și bisectoarea coincid și sunt pe mediatoarea laturii opuse. De aceea cele patru puncte importante (centrul de greutate, ortocentrul, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris) sunt un singur punct, $G$ , numit centrul triunghiului. El se află la două treimi din fiecare mediană, măsurat de la vârf: $A G = 2 \cdot G D$ .

Reciprocele. Un triunghi este echilateral dacă are toate unghiurile congruente. Un triunghi isoscel care are un unghi de $60^{\circ}$ (la vârf sau la bază) este echilateral.

Perimetrul. Cu $l$ latura:

$P = 3 l$

Legătura cu teorema unghiului de 30°. Înălțimea $A D$ împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice cu unghiurile de $30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ și $90^{\circ}$ . În fiecare, $B D = \frac{A B}{2}$ , exact ce spune teorema unghiului de $30^{\circ}$ .

În viața reală. Indicatorul rutier „Cedează trecerea” are forma unui triunghi echilateral cu un vârf în jos, iar la biliard bilele se așază la început într-un cadru în formă de triunghi echilateral.

În clasa a VII-a, după ce înveți radicalii, vei folosi și formulele pentru înălțime și arie: $h =$ $\frac{l \sqrt{3}}{2}$ și $A =$ $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Perimetrul unui indicatorușor

Un indicator rutier are forma unui triunghi echilateral cu latura de $90$ cm. a) Câți metri de bandă reflectorizantă trebuie pentru marginea lui? b) Alt triunghi echilateral are perimetrul de $42$ cm. Cât măsoară latura lui?

Rezolvare pas cu pas

a) Toate laturile au $90$ cm, deci $P = 3 \cdot 90 = 270$ cm.
Transformăm: $270$ cm $= 2,7$ m.
b) Din $P = 3 l$ rezultă $l =$ $P : 3 =$ $42 : 3 =$ $14$ cm.

Răspuns: a) $2,7$ m; b) $14$ cm

EXERCIȚIUL 2Unghiul exteriorușor

Triunghiul $A B C$ este echilateral, iar $D$ este un punct pe prelungirea laturii $B C$ , astfel încât $C$ este între $B$ și $D$ . Calculează măsura unghiului $A C D$ .

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul este echilateral, deci $m (∠ A C B) =$ $60^{\circ}$ .
Unghiurile $A C B$ și $A C D$ sunt adiacente suplementare, pentru că $B$ , $C$ , $D$ sunt coliniare.
$m (∠ A C D) =$ $180^{\circ} - 60^{\circ} =$ $120^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A C D) =$ $120^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Reciproca: isoscel cu un unghi de 60°ușor

Triunghiul $A B C$ are $A B = A C = 7$ cm și $m (∠ B) =$ $60^{\circ}$ . Arată că triunghiul este echilateral și calculează perimetrul lui.

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul este isoscel cu baza $B C$ , deci $m (∠ C) =$ $m (∠ B) =$ $60^{\circ}$ .
$m (∠ A) =$ $180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} =$ $60^{\circ}$ .
Toate unghiurile sunt congruente, deci triunghiul este echilateral și $B C = A B = 7$ cm.
$P = 3 \cdot 7 = 21$ cm.

Răspuns: triunghiul este echilateral, $P = 21$ cm

EXERCIȚIUL 4Înălțimea este și bisectoaremediu

Triunghiul $A B C$ este echilateral, cu perimetrul de $30$ cm, iar $A D$ este înălțimea dusă din $A$ ( $D$ pe $B C$ ). Calculează $B D$ și $m (∠ B A D)$ .

Rezolvare pas cu pas

Latura este $l = 30 : 3 = 10$ cm.
În triunghiul echilateral, înălțimea $A D$ este și mediană, deci $B D = 10 : 2 = 5$ cm.
$A D$ este și bisectoare, deci $m (∠ B A D) =$ $60^{\circ} : 2 =$ $30^{\circ}$ .
Observă: în triunghiul dreptunghic $A B D$ , cateta $B D = 5$ cm este opusă unghiului de $30^{\circ}$ și este jumătate din ipotenuza $A B = 10$ cm.

Răspuns: $B D = 5$ cm, $m (∠ B A D) =$ $30^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Centrul triunghiului echilateralmediu

În triunghiul echilateral $A B C$ , medianele $A D$ , $B E$ și $C F$ se intersectează în punctul $G$ . Știind că $A D = 12$ cm, calculează $A G$ , $G D$ și distanțele de la $G$ la vârfurile $B$ și $C$ .

Rezolvare pas cu pas

$G$ este centrul de greutate, deci se află la două treimi din mediană, de la vârf: $A G =$ $\frac{2}{3} \cdot 12 =$ $8$ cm.
$G D =$ $A D - A G =$ $12 - 8 =$ $4$ cm.
Triunghiul fiind echilateral, toate medianele au aceeași lungime, $12$ cm. La fel, $B G =$ $\frac{2}{3} \cdot 12 =$ $8$ cm și $C G = 8$ cm.
$G$ este la aceeași distanță de cele trei vârfuri, deci este și centrul cercului circumscris.

Răspuns: $A G = 8$ cm, $G D = 4$ cm, $B G = C G = 8$ cm

EXERCIȚIUL 6Cu teorema unghiului de 30°mediu

Triunghiul $A B C$ este echilateral, cu latura de $16$ cm. $D$ este mijlocul lui $B C$ , iar $D E ⟂ A C$ , cu $E$ pe $A C$ . Calculează $C E$ și $A E$ .

Rezolvare pas cu pas

$D C = 16 : 2 = 8$ cm.
Triunghiul $D E C$ este dreptunghic în $E$ , cu $m (∠ C) =$ $60^{\circ}$ , deci $m (∠ C D E) =$ $90^{\circ} - 60^{\circ} =$ $30^{\circ}$ .
Cateta $C E$ este opusă unghiului de $30^{\circ}$ , deci $C E =$ $\frac{D C}{2} =$ $\frac{8}{2} =$ $4$ cm.
$A E =$ $A C - C E =$ $16 - 4 =$ $12$ cm.

Răspuns: $C E = 4$ cm, $A E = 12$ cm

EXERCIȚIUL 7Un triunghi echilateral în interiorgreu

Triunghiul $A B C$ este echilateral, cu latura de $12$ cm. Pe laturile $A B$ , $B C$ , $C A$ se iau punctele $D$ , $E$ , $F$ astfel încât $A D = B E = C F = 4$ cm. Arată că triunghiul $D E F$ este echilateral.

Liniuțele arată doar datele din enunț:

A D = B E = C F

Rezolvare pas cu pas

$D B = 12 - 4 = 8$ cm, $E C = 12 - 4 = 8$ cm și $F A = 12 - 4 = 8$ cm.
Comparăm triunghiurile $A D F$ , $B E D$ și $C F E$ : $A D = B E = C F = 4$ cm, $A F = B D = C E = 8$ cm, iar unghiurile dintre aceste laturi, $∠ A$ , $∠ B$ , $∠ C$ , au câte $60^{\circ}$ .
După cazul latură-unghi-latură (LUL), $△ A D F \equiv △ B E D \equiv △ C F E$ .
Rezultă $D F = E D = F E$ , deci triunghiul $D E F$ are toate laturile congruente și este echilateral.

Răspuns: triunghiul $D E F$ este echilateral (din congruența LUL a celor trei triunghiuri din colțuri)

EXERCIȚIUL 8Clasa a VII-a: înălțimea și ariagreu

(clasa a VII-a) Triunghiul $A B C$ este echilateral, cu latura de $6$ cm, iar $A D$ este înălțimea lui. Calculează $A D$ și aria triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

$D$ este mijlocul lui $B C$ , deci $D C = 3$ cm.
Din teorema lui Pitagora în triunghiul $A D C$ : $A D^{2} =$ $6^{2} - 3^{2} =$ $36 - 9 =$ $27$ , deci $A D =$ $\sqrt{27} =$ $3 \sqrt{3}$ cm.
Verificare cu formula: $h =$ $\frac{l \sqrt{3}}{2} =$ $\frac{6 \sqrt{3}}{2} =$ $3 \sqrt{3}$ cm.
$A =$ $\frac{B C \cdot A D}{2} =$ $\frac{6 \cdot 3 \sqrt{3}}{2} =$ $9 \sqrt{3}$ cm², la fel ca $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4} =$ $\frac{36 \sqrt{3}}{4}$ .

Răspuns: $A D = 3 \sqrt{3}$ cm, $A = 9 \sqrt{3}$ cm²

Cum recunoști un exercițiu pe triunghiul echilateral

Enunțul spune „triunghi echilateral” sau „toate laturile egale”: știi imediat că toate unghiurile au $60^{\circ}$ .
Apare o linie dusă dintr-un vârf (înălțime, mediană, bisectoare): ea este în același timp și celelalte două linii din acel vârf și formează unghiuri de $30^{\circ}$ cu laturile care pleacă din acel vârf.
Trebuie să arăți că un triunghi este echilateral: cauți trei laturi egale, trei unghiuri egale sau un triunghi isoscel cu un unghi de $60^{\circ}$ .

Greșeli frecvente

Crezi că orice triunghi isoscel este echilateral. Invers este adevărat: echilateralul este un caz de isoscel. Un isoscel devine echilateral doar dacă are și un unghi de $60^{\circ}$ .
Pui centrul la jumătatea medianei. Centrul $G$ este la două treimi de vârf și la o treime de latură: $A G = 2 \cdot G D$ .
Folosești formula ariei cu $\sqrt{3}$ în clasa a VI-a. Formulele $h =$ $\frac{l \sqrt{3}}{2}$ și $A =$ $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$ se învață în clasa a VII-a. În clasa a VI-a lucrezi cu laturi, unghiuri, perimetru și teorema unghiului de $30^{\circ}$ .

Exersează

Fișă de lucru: Triunghiul echilateral, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Triunghiul isoscel și dreptunghic, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Triunghiul echilateralclasa a VI-a, capitolul 9

Din același capitol

Întrebări frecvente

Câte grade are fiecare unghi al unui triunghi echilateral?

Fiecare unghi are $60^{\circ}$ , pentru că unghiurile sunt egale și suma lor este $180^{\circ}$ .

Un triunghi echilateral poate fi dreptunghic?

Nu. Toate unghiurile lui au $60^{\circ}$ , deci niciunul nu este drept. Este mereu un triunghi ascuțitunghic.

Care sunt formulele triunghiului echilateral?

Perimetrul este $P = 3 l$ . În clasa a VII-a se adaugă înălțimea $h =$ $\frac{l \sqrt{3}}{2}$ și aria $A =$ $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 26 aprilie 2026, actualizat 18 septembrie 2026