de Echipa Școala Virtuală10 iulie 2026

Calcule cu măsuri de unghiuri

Q: Cum știu dacă două unghiuri sunt complementare sau suplementare?

Le aduni și verifici suma. Dacă suma e 90° , sunt complementare. Dacă suma e 180° , sunt suplementare. Nu există altă metodă mai rapidă. Un truc ca să nu le confunzi: "complementare" sună a "complet" pentru un unghi drept — adică 90° . "Suplementare" — suma e mai mare, 180° . Ține minte asta și nu le vei mai inversa.

Vara asta, poate stai la soare și te uiți la umbrele care se lungesc pe asfalt — sau la felul în care un ventilator se rotește. Fără să știi, faci deja calcule cu măsuri de unghiuri în cap. Creierul tău intuiește că ceva face o rotație completă, că altceva e "pe jumătate deschis". Problema apare când pui asta pe hârtie. Mulți elevi iau un exercițiu cu unghiuri și îl rezolvă mecanic, fără să înțeleagă de ce funcționează — și atunci, când apare ceva ușor diferit, se blochează. Nu pentru că sunt greși, ci pentru că nimeni nu le-a arătat cum să gândească unghiurile, nu doar să le calculeze. Asta facem azi.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă măsura unui unghi și cum se citește corect
Vei ști să aduni și să scazi măsuri de unghiuri exprimate în grade și minute
Vei recunoaște greșelile cele mai frecvente și vei ști cum să le eviți
Vei rezolva exerciții cu unghiuri complementare, suplementare și explementare

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, măsura unui unghi

Imaginează-ți că ești pe terenul de sport și ții o rachetă de badminton. O ridici din poziție orizontală până la verticală. Ai parcurs un unghi. Cât de mult ai rotit-o — asta e măsura unghiului. O exprimăm în grade, notate cu $°$ . O rotație completă înseamnă $360 °$ . Jumătate de rotație — $180 °$ . Un sfert — $90 °$ . Probabil ai mai auzit de unghiuri drepte (exact $90 °$ ), ascuțite (mai mici de $90 °$ ) și obtuze (între $90 °$ și $180 °$ ). Există și unghiuri nule ( $0 °$ ) și unghiuri alungite ( $180 °$ ). Când faci calcule cu măsuri de unghiuri, de fapt lucrezi cu aceste numere — le aduni, le scazi, le compari. Simplu ca atât, chiar dacă la prima vedere pare altfel.

💡 Regula de bază

Măsura unui unghi se exprimă în grade ( $°$ ) și poate fi orice valoare între $0 °$ și $360 °$ . Când aduni sau scazi unghiuri, tratezi gradele exact ca pe numere obișnuite — cu o singură excepție: dacă apar și minute ( '\ ), trebuie să știi că $1 ° = 60^{'}$ , nu $100^{'}$ . Asta îi încurcă pe toți.

Grade și minute — sistemul sexagesimal

Okay, aici se complică puțin lucrurile. Pe lângă grade, mai există o unitate mai mică: minutul de unghi, notat cu $^{'}$ . Atenție — nu e minutul de timp, chiar dacă e același simbol. Regula e fixă: $1 ° = 60^{'}$ . Deci dacă ai $90 ° 30^{'}$ , înseamnă nouăzeci de grade și treizeci de minute. Când aduni două unghiuri exprimate în grade și minute, aduni separat gradele cu gradele și minutele cu minutele — exact ca la adunarea cu rest în clase diferite, dacă vă mai amintiți. Dacă suma minutelor depășește $60$ , transformi $60^{'}$ în $1 °$ și adaugi la grade. La scădere, dacă minutele de sus sunt mai mici decât cele de jos, "împrumuți" $1 °$ de la grade și îl transformi în $60^{'}$ . Exact ca la scăderea cu împrumut pe care o știi din clasele mici.

💡 Regula de bază

La adunarea și scăderea unghiurilor: gradele cu gradele, minutele cu minutele. Dacă suma minutelor $\geq 60$ , scazi $60^{'}$ și adaugi $1 °$ . Dacă la scădere minutele de sus sunt insuficiente, iei $1 °$ de la grade și îl transformi în $60^{'}$ pe care îi adaugi la minute.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Calculează $47 ° 38^{'} + 25 ° 45^{'}$ . Apoi verifică dacă cele două unghiuri sunt complementare, suplementare sau niciuna.

🔢 Rezolvare

47 ° 38^{'} + 25 ° 45^{'}

Minute: 38^{'} + 45^{'} = 83^{'}

83^{'} = 60^{'} + 23^{'} = 1 ° 23^{'}

Grade: 47 ° + 25 ° + 1 ° = 73 °

Rezultat: 73 ° 23^{'}

Verificare complementare: 47 ° 38^{'} + 25 ° 45^{'} = 73 ° 23^{'} \neq 90 ° \Rightarrow nu sunt complementare

Verificare suplementare: 73 ° 23^{'} \neq 180 ° \Rightarrow nu sunt suplementare

✅ Explicație

Cheia e că minutele au depășit 60 — adică $83^{'}$ . Nu lăsăm $83^{'}$ ca atare, ci transformăm $60^{'}$ în $1 °$ și îl urcăm la grade. E exact ca atunci când ai 13 unități la adunare și "treci" 1 la zeci. Suma finală, $73 ° 23^{'}$ , nu e nici $90 °$ , nici $180 °$ — deci cele două unghiuri nu au o relație specială între ele.

Unghiuri complementare, suplementare și explementare

Aceste trei tipuri de perechi apar mereu în exerciții. Hai să le fixăm clar, o dată pentru totdeauna. Două unghiuri sunt complementare dacă suma lor e $90 °$ — gândește-te la un colț drept împărțit în două. Sunt suplementare dacă suma lor e $180 °$ — adică formează o linie dreaptă. Și sunt explementare (sau "conjugate") dacă suma lor e $360 °$ — adică împreună fac o rotație completă. Dacă știi suma, poți afla oricând unul dintre ele scăzând pe celălalt. De exemplu, dacă un unghi de $35 °$ e complementar cu altul, cel de-al doilea e $90 ° - 35 ° = 55 °$ . Simplu.

💡 Regula de bază

Complementare: $α + β = 90 °$
Suplementare: $α + β = 180 °$
Explementare: $α + β = 360 °$
Ca să găsești unul dintre unghiuri, scazi pe celălalt din suma corespunzătoare.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: La adunarea minutelor, elevii lasă suma ca atare — scriu $83^{'}$ în loc să transforme în grade și minute. Aud des: "păi am calculat bine minutele, nu?" Da, dar $83^{'}$ nu e o scriere corectă dacă depășește $60$ .

✅ Corect: Oricând suma minutelor e $\geq 60$ , transformi: $83^{'} = 1 ° 23^{'}$ . Adaugi $1 °$ la grade și rămâi cu $23^{'}$ . Asta e forma corectă: grade și minute separate, cu minutele mereu sub $60$ .

❌ Greșeala #2: La scădere, când minutele de sus sunt mai mici, mulți elevi pur și simplu scad invers — adică scad numărul mai mare din cel mai mic, fără să împrumute. De exemplu, la $50 ° 20^{'} - 18 ° 45^{'}$ , calculează $45^{'} - 20^{'} = 25^{'}$ în loc să împrumute corect.

✅ Corect: "Împrumuți" $1 °$ de la grade (deci $50 °$ devine $49 °$ ) și îl transformi în $60^{'}$ , pe care îi adaugi la $20^{'}$ : $20^{'} + 60^{'} = 80^{'}$ . Acum poți scădea: $80^{'} - 45^{'} = 35^{'}$ . Și grade: $49 ° - 18 ° = 31 °$ . Rezultat: $31 ° 35^{'}$ .

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Calculează suma $32 ° 15^{'} + 44 ° 30^{'}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Minute: 15^{'} + 30^{'} = 45^{'}

Grade: 32 ° + 44 ° = 76 °

Rezultat: 76 ° 45^{'}

Minutele nu depășesc 60, deci aduni direct grade cu grade și minute cu minute, fără nicio transformare.

Răspuns: $76 ° 45^{'}$

Exercițiul 2. Află măsura unghiului complementar al unui unghi de $63 ° 20^{'}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Unghiurile complementare au suma de $90 °$ , deci complementul se află scăzând din $90 °$ :

90 ° - 63 ° 20^{'}

Cum $90 °$ nu are minute, „împrumuți" $1 °$ de la grade și îl transformi în $60^{'}$ :

90 ° = 89 ° 60^{'}

60^{'} - 20^{'} = 40^{'}

89 ° - 63 ° = 26 °

Rezultatul e exact ca la scăderea cu împrumut din clasele mici, doar că aici „unitatea mare" e gradul, nu zecea.

Răspuns: $26 ° 40^{'}$

Exercițiul 3. Calculează $115 ° 10^{'} - 48 ° 55^{'}$ și verifică dacă rezultatul este un unghi obtuz.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Minutele de sus ( $10^{'}$ ) sunt mai mici decât cele de jos ( $55^{'}$ ), deci împrumuți $1 °$ de la grade:

115 ° 10^{'} = 114 ° 70^{'}

70^{'} - 55^{'} = 15^{'}

114 ° - 48 ° = 66 °

Rezultatul e $66 ° 15^{'}$ . Un unghi obtuz are măsura între $90 °$ și $180 °$ . Cum $66 ° 15^{'}$ e mai mic decât $90 °$ , unghiul e ascuțit, nu obtuz.

Răspuns: $66 ° 15^{'}$ ; este un unghi ascuțit, nu obtuz.

Exercițiul 4. Două unghiuri sunt suplementare. Unul dintre ele măsoară $128 ° 45^{'}$ . Află măsura celuilalt unghi.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Unghiurile suplementare au suma de $180 °$ , la fel ca la exercițiul 2, doar că suma de plecare e alta:

180 ° = 179 ° 60^{'}

60^{'} - 45^{'} = 15^{'}

179 ° - 128 ° = 51 °

La fel ca la complementare, transformi $180 °$ în $179 ° 60^{'}$ ca să poți scădea minutele.

Răspuns: $51 ° 15^{'}$

Exercițiul 5. Provocare: un unghi $α$ este de trei ori mai mare decât complementul său. Află măsura unghiului $α$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm complementul lui $α$ cu $90 ° - α$ și scriem condiția din enunț:

α = 3 \cdot (90 ° - α)

α = 270 ° - 3 α

4 α = 270 °

α = \frac{270 °}{4} = 67,5 ° = 67 ° 30^{'}

Verificare: complementul e $90 ° - 67 ° 30^{'} = 22 ° 30^{'}$ , iar $3 \cdot 22 ° 30^{'} = 67 ° 30^{'}$ . Corect.

Răspuns: $α = 67 ° 30^{'}$

Întrebări frecvente

De ce un grad are 60 de minute și nu 100?

Bună întrebare — și da, e puțin ciudat. Sistemul ăsta se numește sexagesimal și vine din Babilon, de acum câteva mii de ani. Babilonienii lucrau în baza 60 pentru că 60 se împarte exact la foarte multe numere: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Practic, era mai comod pentru ei. Noi am moștenit sistemul și l-am păstrat. Nu e logic în sens modern, dar asta e convenția — și trebuie s-o cunoști.

Cum știu dacă două unghiuri sunt complementare sau suplementare?

Le aduni și verifici suma. Dacă suma e $90 °$ , sunt complementare. Dacă suma e $180 °$ , sunt suplementare. Nu există altă metodă mai rapidă. Un truc ca să nu le confunzi: "complementare" sună a "complet" pentru un unghi drept — adică $90 °$ . "Suplementare" — suma e mai mare, $180 °$ . Ține minte asta și nu le vei mai inversa.

Pot să am un unghi cu măsura mai mare de 360°?

Din punct de vedere geometric, un unghi convențional e între $0 °$ și $360 °$ . Dar în matematică mai avansată (pe care o vei întâlni mai târziu), da — poți vorbi de unghiuri mai mari de $360 °$ , care reprezintă rotații multiple. Deocamdată, în clasele 5-8, lucrezi cu valori între $0 °$ și $360 °$ și nu vei întâlni excepții la această regulă în exerciții.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 8. Calcule cu măsuri de unghiuri..

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Textul narativ ficțional explicat cu exemple, clasele 5-8

9 august 2026

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună