POLIGOANE REGULATE ÎNSCRISE ÎN CERC latura, apotema și aria - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 5 octombrie 2026

Un poligon regulat are toate laturile și toate unghiurile congruente, iar vârfurile lui se află pe un cerc. În cercul de rază $R$ , latura triunghiului echilateral înscris este $R \sqrt{3}$ , a pătratului este $R \sqrt{2}$ , iar a hexagonului regulat este chiar $R$ . Mai jos găsești unghiul la centru, apotema, aria și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Elementele unui poligon regulat înscris și formulele de bază

Un poligon regulat are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente: triunghiul echilateral, pătratul, hexagonul regulat. Orice poligon regulat se poate înscrie într-un cerc, iar centrul $O$ al cercului se numește și centrul poligonului. Pentru un poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de rază $R$ , folosești următoarele elemente:

Hexagonul regulat înscris: unghiul la centru

A O B

are

60^{\circ}

, triunghiul

A O B

este echilateral, iar apotema

O M

cade în mijlocul laturii

B C

unghiul la centru, format de razele duse la capetele unei laturi. Vârfurile împart cercul în $n$ arce congruente, deci unghiul la centru are $\frac{360^{\circ}}{n}$ ;
apotema $a$ , distanța de la centru la o latură, adică perpendiculara $O M$ pe latură. Piciorul ei, $M$ , este mijlocul laturii;
perimetrul $P = n \cdot ℓ$ , unde $ℓ$ este latura.

Razele duse în vârfuri împart poligonul în $n$ triunghiuri isoscele congruente, cu baza $ℓ$ și înălțimea $a$ . Adunând ariile lor obții aria poligonului regulat:

$𝒜 =$ $\frac{P \cdot a}{2}$

Pentru cele trei poligoane din programă, latura și apotema se scriu direct cu raza:

poligonul	unghiul la centru	latura $ℓ$	apotema $a$
triunghi echilateral	$120^{\circ}$	$R \sqrt{3}$	$\frac{R}{2}$
pătrat	$90^{\circ}$	$R \sqrt{2}$	$\frac{R \sqrt{2}}{2}$
hexagon regulat	$60^{\circ}$	$R$	$\frac{R \sqrt{3}}{2}$

Nu trebuie să tocești tabelul. La hexagon, triunghiul $A O B$ are $O A = O B$ și unghiul la centru de $60^{\circ}$ , deci este echilateral: latura este egală cu raza, iar apotema este înălțimea acestui triunghi. La pătrat, diagonala este diametru, deci $ℓ^{2} + ℓ^{2} =$ ${(2 R)}^{2}$ , din teorema lui Pitagora. La triunghiul echilateral, centrul cercului este și centrul de greutate: el împarte înălțimea în $\frac{2}{3}$ (raza) și $\frac{1}{3}$ (apotema), deci înălțimea are $R + \frac{R}{2} =$ $\frac{3 R}{2}$ .

Exerciții rezolvate : poligoanele regulate înscrise în cerc

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Unghiul la centru și unghiul poligonuluiușor

Calculează unghiul la centru și măsura unui unghi al poligonului pentru un octogon regulat (8 laturi) și pentru un pentagon regulat (5 laturi), înscrise într-un cerc.

Rezolvare pas cu pas

Octogonul: vârfurile împart cercul în 8 arce congruente, deci unghiul la centru are $\frac{360^{\circ}}{8} =$ $45^{\circ}$ .
Triunghiul $A O B$ (cu $O A = O B$ ) este isoscel, deci unghiurile de la bază au câte $\frac{180^{\circ} - 45^{\circ}}{2} =$ ${67,5}^{\circ}$ .
Unghiul octogonului din $B$ este format din două astfel de unghiuri (de o parte și de alta a razei $O B$ ): $2 \cdot {67,5}^{\circ} =$ $135^{\circ}$ .
Pentagonul: unghiul la centru are $\frac{360^{\circ}}{5} =$ $72^{\circ}$ , unghiurile de la bază $\frac{180^{\circ} - 72^{\circ}}{2} =$ $54^{\circ}$ , iar unghiul pentagonului $2 \cdot 54^{\circ} =$ $108^{\circ}$ .

Răspuns: octogon: $45^{\circ}$ și $135^{\circ}$ ; pentagon: $72^{\circ}$ și $108^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Pătratul înscris, din razăușor

Pătratul $A B C D$ este înscris în cercul cu centrul $O$ și raza de $6$ cm. Calculează latura, perimetrul, apotema și aria pătratului.

Rezolvare pas cu pas

Diagonala $A C$ trece prin centru, deci este diametru: $A C = 12$ cm. Unghiul la centru $A O B$ are $\frac{360^{\circ}}{4} =$ $90^{\circ}$ .
În triunghiul dreptunghic isoscel $A O B$ : $A B^{2} =$ $6^{2} + 6^{2} =$ $72$ , deci $ℓ =$ $\sqrt{72} =$ $6 \sqrt{2}$ cm.
Perimetrul: $P =$ $4 \cdot 6 \sqrt{2} =$ $24 \sqrt{2}$ cm. Apotema este jumătate din latură: $a = 3 \sqrt{2}$ cm.
Aria: $𝒜 =$ $ℓ^{2} =$ $72$ cm². Verificare cu formula generală: $\frac{P \cdot a}{2} =$ $\frac{24 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2}}{2} =$ $\frac{144}{2} =$ $72$ cm².

Răspuns: $ℓ = 6 \sqrt{2}$ cm, $P = 24 \sqrt{2}$ cm, $a = 3 \sqrt{2}$ cm, $𝒜 = 72$ cm²

EXERCIȚIUL 3Hexagonul regulat, din razăușor

Hexagonul regulat $A B C D E F$ este înscris în cercul cu centrul $O$ și raza de $8$ cm. Calculează latura, perimetrul, apotema și aria hexagonului.

Rezolvare pas cu pas

Unghiul la centru are $\frac{360^{\circ}}{6} =$ $60^{\circ}$ , iar $O A = O B$ , deci triunghiul $A O B$ este echilateral: $ℓ = R = 8$ cm.
Perimetrul: $P = 6 \cdot 8 = 48$ cm.
Apotema este înălțimea triunghiului echilateral $A O B$ : $a =$ $\frac{8 \sqrt{3}}{2} =$ $4 \sqrt{3}$ cm.
Aria: $𝒜 =$ $\frac{P \cdot a}{2} =$ $\frac{48 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} =$ $96 \sqrt{3}$ cm². Același rezultat dau șase triunghiuri echilaterale de latură $8$ : $6 \cdot \frac{64 \sqrt{3}}{4} =$ $96 \sqrt{3}$ .

Răspuns: $ℓ = 8$ cm, $P = 48$ cm, $a = 4 \sqrt{3}$ cm, $𝒜 =$ $96 \sqrt{3}$ cm²

EXERCIȚIUL 4Triunghiul echilateral înscris, din razămediu

Triunghiul echilateral $A B C$ este înscris în cercul cu centrul $O$ și raza de $6$ cm, iar $A M$ este înălțimea lui. Calculează înălțimea $A M$ , apotema $O M$ , latura, perimetrul și aria triunghiului.

Punctul

O

este pe înălțimea

A M

; lungimile

A M

și

O M

se calculează, nu se citesc de pe desen.

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul echilateral, înălțimile sunt și mediane, iar centrul cercului circumscris coincide cu centrul de greutate $G$ . Deci $O$ se află pe $A M$ și $A O =$ $\frac{2}{3} \cdot A M$ .
$A O = R = 6$ cm, deci $A M =$ $\frac{3 \cdot 6}{2} =$ $9$ cm, iar apotema $O M = 9 - 6 = 3$ cm, adică $\frac{R}{2}$ .
Înălțimea triunghiului echilateral este $\frac{ℓ \sqrt{3}}{2}$ , deci $\frac{ℓ \sqrt{3}}{2} =$ $9$ și $ℓ =$ $\frac{18}{\sqrt{3}} =$ $\frac{18 \sqrt{3}}{3} =$ $6 \sqrt{3}$ cm, adică $R \sqrt{3}$ .
Perimetrul: $P =$ $3 \cdot 6 \sqrt{3} =$ $18 \sqrt{3}$ cm. Aria: $\frac{B C \cdot A M}{2} =$ $\frac{6 \sqrt{3} \cdot 9}{2} =$ $27 \sqrt{3}$ cm².

Răspuns: $A M = 9$ cm, $O M = 3$ cm, $ℓ = 6 \sqrt{3}$ cm, $P = 18 \sqrt{3}$ cm, $𝒜 =$ $27 \sqrt{3}$ cm²

EXERCIȚIUL 5Raza cercului, pornind de la pătratmediu

Un pătrat $A B C D$ are perimetrul de $40$ cm. Calculează raza cercului circumscris pătratului și apotema pătratului.

Rezolvare pas cu pas

Latura: $ℓ =$ $\frac{40}{4} =$ $10$ cm.
Din $ℓ = R \sqrt{2}$ : $R =$ $\frac{10}{\sqrt{2}} =$ $\frac{10 \sqrt{2}}{2} =$ $5 \sqrt{2}$ cm.
Altfel: diagonala pătratului este diametrul, $A C = 10 \sqrt{2}$ cm, iar raza este jumătate din ea.
Apotema este distanța de la centru la latură, adică jumătate din latură: $a = 5$ cm.

Răspuns: $R = 5 \sqrt{2}$ cm, $a = 5$ cm

EXERCIȚIUL 6Raza și apotema, pornind de la triunghiul echilateralmediu

Triunghiul echilateral $A B C$ are latura de $12$ cm. Calculează raza cercului circumscris și apotema triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Înălțimea: $h =$ $\frac{12 \sqrt{3}}{2} =$ $6 \sqrt{3}$ cm.
Centrul cercului este centrul de greutate, deci $R =$ $\frac{2}{3} \cdot h =$ $\frac{2 \cdot 6 \sqrt{3}}{3} =$ $4 \sqrt{3}$ cm.
Apotema este restul înălțimii: $a =$ $\frac{1}{3} \cdot h =$ $2 \sqrt{3}$ cm.
Verificare: $R \sqrt{3} =$ $4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} =$ $12$ cm, chiar latura dată, iar $a = \frac{R}{2}$ .

Răspuns: $R = 4 \sqrt{3}$ cm, $a = 2 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 7Trei poligoane în același cercgreu

În același cerc cu raza de $6$ cm se înscriu un triunghi echilateral, un pătrat și un hexagon regulat. Calculează perimetrele celor trei poligoane și ordonează-le crescător, fără să folosești aproximări.

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul: $ℓ_{3} = 6 \sqrt{3}$ cm, $P_{3} =$ $3 \cdot 6 \sqrt{3} =$ $18 \sqrt{3}$ cm.
Pătratul: $ℓ_{4} = 6 \sqrt{2}$ cm, $P_{4} =$ $4 \cdot 6 \sqrt{2} =$ $24 \sqrt{2}$ cm.
Hexagonul: $ℓ_{6} = 6$ cm, $P_{6} = 36$ cm.
Ca să compari exact, introduci factorii sub radical: $18 \sqrt{3} =$ $\sqrt{324 \cdot 3} =$ $\sqrt{972}$ , $24 \sqrt{2} =$ $\sqrt{576 \cdot 2} =$ $\sqrt{1152}$ , $36 = \sqrt{1296}$ .
$972 < 1152 < 1296$ , deci $P_{3} < P_{4} < P_{6}$ . Cu cât poligonul are mai multe laturi, cu atât perimetrul lui se apropie de lungimea cercului.

Răspuns: $P_{3} = 18 \sqrt{3}$ cm $< P_{4} = 24 \sqrt{2}$ cm $< P_{6} = 36$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: dreptunghiul din hexagongreu

Hexagonul regulat $A B C D E F$ are latura de $4$ cm și este înscris în cercul cu centrul $O$ . a) Calculează perimetrul hexagonului. b) Arată că $A D = 8$ cm. c) Arată că $A B D E$ este dreptunghi și calculează aria lui.

Unghiurile patrulaterului

A B D E

nu sunt marcate ca drepte: asta se demonstrează la punctul c).

Rezolvare pas cu pas

a) $P = 6 \cdot 4 = 24$ cm.
b) La hexagonul regulat, raza este egală cu latura: $R = 4$ cm. Arcul $A D$ cuprinde trei laturi, deci $m (∠ A O D) =$ $3 \cdot 60^{\circ} =$ $180^{\circ}$ : $A$ , $O$ , $D$ sunt coliniare și $A D$ este diametru, $A D = 2 \cdot 4 = 8$ cm.
c) La fel, $B E$ este diametru. Unghiurile $A B D$ , $B D E$ , $D E A$ , $E A B$ sunt înscrise în semicerc (cuprind diametrele $A D$ , respectiv $B E$ ), deci toate au $90^{\circ}$ : $A B D E$ este dreptunghi.
În triunghiul dreptunghic $A B D$ : $B D^{2} =$ $A D^{2} - A B^{2} =$ $64 - 16 =$ $48$ , deci $B D =$ $\sqrt{48} =$ $4 \sqrt{3}$ cm.
Aria dreptunghiului: $A B \cdot B D =$ $4 \cdot 4 \sqrt{3} =$ $16 \sqrt{3}$ cm².

Răspuns: a) $24$ cm; b) $A D = 8$ cm; c) $𝒜_{A B D E} =$ $16 \sqrt{3}$ cm²

Cum recunoști un exercițiu cu poligoane regulate înscrise

Apar cuvintele „triunghi echilateral”, „pătrat” sau „hexagon regulat” împreună cu „înscris în cerc”, „cerc circumscris” sau „raza cercului”.
Se cere latura, apotema, perimetrul sau aria pornind de la rază, ori raza pornind de la latură: folosești tabelul și îl verifici cu triunghiul format de două raze și o latură.
Se unesc vârfuri neconsecutive ale unui hexagon sau ale unui pătrat: caută diametrele și unghiurile înscrise în semicerc.

Greșeli frecvente la poligoanele regulate înscrise în cerc

Încurci latura triunghiului cu latura pătratului. Triunghiul are latura cea mai mare dintre cele trei, $R \sqrt{3}$ , pentru că are cele mai puține laturi. Pătratul are $R \sqrt{2}$ , hexagonul $R$ .
Iei raza drept apotemă. Raza merge din centru până într-un vârf, apotema din centru până la mijlocul unei laturi, perpendicular pe ea. Apotema este întotdeauna mai mică decât raza.
Pui toată înălțimea triunghiului echilateral drept rază. Centrul cercului împarte înălțimea în două părți: raza are $\frac{2}{3}$ din înălțime, iar apotema $\frac{1}{3}$ . La $R = 6$ cm, înălțimea are $9$ cm, nu $6$ cm.

Exersează : poligoanele regulate înscrise în cerc

Fișă de lucru: Poligoane regulate înscrise într-un cerc, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Fișă de lucru: Calculul elementelor în poligoanele regulate, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Cercul, clasa a VII-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre poligoanele regulate înscrise în cerc

Ce este apotema unui poligon regulat?

Este distanța de la centrul poligonului la una dintre laturi, adică lungimea perpendicularei duse din centru pe latură. Ea cade în mijlocul laturii și este folosită la arie: $𝒜 =$ $\frac{P \cdot a}{2}$ .

De ce latura hexagonului regulat este egală cu raza?

Două raze duse la capetele unei laturi formează un unghi la centru de $60^{\circ}$ . Triunghiul format este isoscel cu un unghi de $60^{\circ}$ , deci echilateral: latura este egală cu raza.

Pot calcula aria pătratului înscris fără latură?

Da. Diagonalele pătratului sunt diametre, deci au $2 R$ și sunt perpendiculare. Aria este $\frac{2 R \cdot 2 R}{2} =$ $2 R^{2}$ . Pentru $R = 6$ cm obții $72$ cm².

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Un poligon regulat înscris într-un cerc are toate vârfurile pe cerc. Cum se numește cercul în care este înscris poligonul regulat?
2. Un hexagon regulat este înscris într-un cerc cu raza $R$ . Care este lungimea laturii hexagonului regulat?
3. Un pătrat este înscris într-un cerc cu raza $R$ . Care este lungimea laturii pătratului?
4. Un poligon regulat cu $n$ laturi este înscris într-un cerc. Cât măsoară unghiul la centru corespunzător fiecărei laturi?
5. Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc cu raza $R$ . Care este lungimea laturii triunghiului echilateral?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 5 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

TANGENTA LA CERC: proprietăți și tangentele dintr-un punct exterior - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

RAZA CERCULUI ÎNSCRIS ÎN TRIUNGHI și centrul lui - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

LUNGIMEA CERCULUI formula L = 2πr - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

ECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b = 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

SISTEME DE ECUAȚII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

SISTEME DE ECUAȚII cu text, din viața de zi cu zi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună