ECUAȚII ÎN MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

O ecuație în mulțimea numerelor întregi se rezolvă la fel ca oricare alta, dar soluția poate fi și negativă, nu doar pozitivă: mulțimea $ℤ$ include $\dots,$ $- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $\dots$ . Mai jos găsești regula, greșelile frecvente și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum rezolvi o ecuație în mulțimea numerelor întregi

Mulțimea numerelor întregi, notată $ℤ$ , cuprinde toate numerele fără virgulă: negative, zero și pozitive, $\dots,$ $- 3,$ $- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $\dots$ . Când o problemă cere să rezolvi o ecuație în $ℤ$ , soluția poate fi oricare dintre acestea, nu doar un număr pozitiv.

Metoda de rezolvare nu se schimbă față de ce știi deja: muți termenii necunoscuți într-o parte, termenii cunoscuți în cealaltă, apoi împarți.

$a x + b =$ $c \Rightarrow$ $x =$ $\frac{c - b}{a}$

Regula semnului la mutare. Orice termen care trece peste semnul egal își schimbă semnul: din $+ b$ devine $- b$ , din $- c$ devine $+ c$ . Asta rămâne valabil indiferent dacă termenii sunt pozitivi sau negativi.

Ecuații cu paranteze. Când ecuația are un termen înmulțit cu o paranteză, distribui întâi înmulțirea, ținând cont de semn: $a (b + c) = a b + a c$ , iar $- (b + c) = - b - c$ . Abia după ce ai desfăcut parantezele muți termenii.

Când ecuația nu are soluție în $ℤ$ . Dacă, după ce izolezi $x$ , obții o fracție ireductibilă, ecuația nu are soluție în mulțimea numerelor întregi. Nu înseamnă că ai greșit calculul, ci că soluția aparține unei mulțimi mai mari, pe care o vei studia mai târziu.

Proba este obligatorie. Înlocuiești valoarea găsită înapoi în ecuația inițială și verifici că cei doi membri sunt egali.

Exerciții rezolvate : ecuațiile în mulțimea numerelor întregi

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Ecuație simplă cu soluție negativăușor

Rezolvă ecuația $2 x + 5 = - 1$ în mulțimea numerelor întregi.

Rezolvare pas cu pas

Mutăm 5 în dreapta, cu semn schimbat: $2 x = - 1 - 5$ .
Calculăm partea dreaptă: $2 x = - 6$ .
Împărțim la 2: $x = - 6 : 2 = - 3$ .
Probă: $2 \cdot (- 3) + 5 =$ $- 6 + 5 =$ $- 1$ . ✓

Răspuns: Soluția este $x = - 3$ .

EXERCIȚIUL 2Coeficient negativ pe lângă xușor

Rezolvă ecuația $- 3 x + 7 = 22$ în mulțimea numerelor întregi.

Rezolvare pas cu pas

Mutăm 7 în dreapta, cu semn schimbat: $- 3 x = 22 - 7$ .
Calculăm partea dreaptă: $- 3 x = 15$ .
Împărțim la $- 3$ : $x = 15 : (- 3) = - 5$ .
Probă: $- 3 \cdot (- 5) + 7 =$ $15 + 7 =$ $22$ . ✓

Răspuns: Soluția este $x = - 5$ .

EXERCIȚIUL 3Necunoscuta pe ambele părțimediu

Rezolvă ecuația $5 x - 8 = 2 x + 13$ în mulțimea numerelor întregi.

Rezolvare pas cu pas

Mutăm $2 x$ în stânga și $- 8$ în dreapta, cu semnele schimbate: $5 x - 2 x = 13 + 8$ .
Calculăm ambele părți: $3 x = 21$ .
Împărțim la 3: $x = 21 : 3 = 7$ .
Probă: $5 \cdot 7 - 8 = 27$ și $2 \cdot 7 + 13 = 27$ . ✓

Răspuns: Soluția este $x = 7$ .

EXERCIȚIUL 4Paranteză precedată de minusmediu

Rezolvă ecuația $- (x + 4) = - 3 x + 8$ în mulțimea numerelor întregi.

Rezolvare pas cu pas

Desfacem paranteza din stânga, unde minusul din față schimbă semnul fiecărui termen: $- x - 4 = - 3 x + 8$ .
Mutăm $- 3 x$ în stânga și $- 4$ în dreapta, cu semnele schimbate: $- x + 3 x = 8 + 4$ .
Calculăm ambele părți: $2 x = 12$ .
Împărțim la 2: $x = 12 : 2 = 6$ .
Probă: $- (6 + 4) = - 10$ și $- 3 \cdot 6 + 8 =$ $- 18 + 8 =$ $- 10$ . ✓

Răspuns: Soluția este $x = 6$ .

EXERCIȚIUL 5Distribuție înainte de rezolvaremediu

Rezolvă ecuația $3 (x - 2) = x + 10$ în mulțimea numerelor întregi.

Rezolvare pas cu pas

Distribuim înmulțirea cu 3 în stânga: $3 x - 6 = x + 10$ .
Mutăm $x$ în stânga și $- 6$ în dreapta, cu semnele schimbate: $3 x - x = 10 + 6$ .
Calculăm ambele părți: $2 x = 16$ .
Împărțim la 2: $x = 16 : 2 = 8$ .
Probă: $3 \cdot (8 - 2) =$ $3 \cdot 6 =$ $18$ și $8 + 10 = 18$ . ✓

Răspuns: Soluția este $x = 8$ .

EXERCIȚIUL 6Ecuație fără soluție în Zgreu

Rezolvă ecuația $5 x - 3 = 2 x + 4$ în mulțimea numerelor întregi și precizează dacă are soluție în $ℤ$ .

Rezolvare pas cu pas

Mutăm $2 x$ în stânga și $- 3$ în dreapta, cu semnele schimbate: $5 x - 2 x = 4 + 3$ .
Calculăm ambele părți: $3 x = 7$ .
Împărțim la 3: $x = \frac{7}{3}$ .
Fracția $\frac{7}{3}$ este ireductibilă și nu este un număr întreg.

Răspuns: Ecuația nu are soluție în mulțimea numerelor întregi, pentru că $x = \frac{7}{3}$ nu este un număr din $ℤ$ .

EXERCIȚIUL 7Două paranteze, soluție zerogreu

Rezolvă ecuația $2 (x + 3) - 5 = - (x - 1)$ în mulțimea numerelor întregi.

Rezolvare pas cu pas

Distribuim înmulțirea cu 2 în stânga: $2 x + 6 - 5 = - (x - 1)$ , adică $2 x + 1 = - (x - 1)$ .
Desfacem paranteza din dreapta, unde minusul din față schimbă semnul: $2 x + 1 = - x + 1$ .
Mutăm $- x$ în stânga și $1$ în dreapta, cu semnele schimbate: $2 x + x = 1 - 1$ .
Calculăm ambele părți: $3 x = 0$ , deci $x = 0$ .
Probă: $2 (0 + 3) - 5 =$ $6 - 5 =$ $1$ și $- (0 - 1) = 1$ . ✓

Răspuns: Soluția este $x = 0$ , care aparține mulțimii $ℤ$ , pentru că zero este un număr întreg.

EXERCIȚIUL 8Problemă cu un număr întreg și dublul săugreu

Suma dintre un număr întreg și dublul lui este $- 27$ . Află numărul.

Rezolvare pas cu pas

Notăm numărul căutat cu $x$ , iar dublul lui este $2 x$ .
Scriem ecuația din enunț: $x + 2 x = - 27$ .
Calculăm partea stângă: $3 x = - 27$ .
Împărțim la 3: $x = - 27 : 3 = - 9$ .
Probă: $- 9 + 2 \cdot (- 9) =$ $- 9 - 18 =$ $- 27$ . ✓

Răspuns: Numărul căutat este $x = - 9$ .

Cum recunoști o ecuație în mulțimea numerelor întregi

Enunțul precizează explicit „rezolvă în mulțimea numerelor întregi” sau „rezolvă în $ℤ$ ”, ceea ce înseamnă că soluția poate fi și negativă.
Ecuația are forma $a x + b = c$ sau se reduce la ea, eventual cu $x$ pe ambele părți sau cu paranteze de desfăcut.
După ce izolezi $x$ , trebuie să verifici dacă rezultatul este chiar un număr întreg; dacă e o fracție ireductibilă, ecuația nu are soluție în $ℤ$ .

Greșeli frecvente la ecuațiile în mulțimea numerelor întregi

Schimbi greșit semnul la mutarea termenilor. Orice termen care trece peste semnul egal își schimbă semnul: $+ 11$ devine $- 11$ , $- 7$ devine $+ 7$ . E cea mai frecventă sursă de greșeală, mai ales când te grăbești.
Crezi că o soluție negativă înseamnă că ai greșit. O soluție negativă, ca $x = - 5$ , este perfect validă în $ℤ$ . Nu o respinge doar pentru că e negativă; verific-o cu proba, ca pe orice altă soluție.
Distribui greșit semnul minus din fața unei paranteze. Când ai $- (x + 4)$ , minusul schimbă semnul fiecărui termen din paranteză: rezultă $- x - 4$ , nu $- x + 4$ . Fii atent mai ales când paranteza are deja un termen negativ înăuntru.

Exersează : ecuațiile în mulțimea numerelor întregi

Fișă de lucru: Ecuații în mulțimea numerelor întregi, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Numere întregi, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Inecuații în mulțimea numerelor întregiclasa a VI-a, subiectul următor

Din același capitol

Întrebări frecvente despre ecuațiile în mulțimea numerelor întregi

Ce înseamnă să rezolvi o ecuație în mulțimea numerelor întregi?

Înseamnă că soluția trebuie să fie un număr din $ℤ$ , adică negativ, zero sau pozitiv, dar fără virgulă. Metoda de rezolvare este aceeași ca la orice ecuație de gradul întâi.

Ce fac dacă găsesc o soluție negativă?

O accepți, dacă apare corect din calcul. Numerele negative sunt perfect valide în $ℤ$ ; nu există niciun motiv să le respingi doar pentru că sunt sub zero.

Ce înseamnă dacă rezultatul e o fracție?

Înseamnă că ecuația nu are soluție în mulțimea numerelor întregi. Nu ai greșit neapărat calculul, doar că soluția reală aparține unei mulțimi de numere mai mari, pe care o studiezi mai târziu.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 16. Ecuații în mulțimea numerelor întregi..

Exersează cu fișa de lucru: Ecuații în mulțimea numerelor întregi — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele valori este soluția ecuației $x + 5 = 3$ în mulțimea numerelor întregi?
2. Care este soluția ecuației $x - (- 4) = 7$ în mulțimea numerelor întregi?
3. Soluția ecuației $3 \cdot x = - 15$ în mulțimea numerelor întregi este:
4. Care este soluția ecuației $- 2 \cdot x + 3 = - 7$ în mulțimea numerelor întregi?
5. Ecuația $x + 9 = 4$ are soluție în mulțimea numerelor întregi? Dacă da, care este ea?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 13 iunie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

REGULA SEMNELOR la numere întregi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

PUTEREA UNUI NUMĂR ÎNTREG cu exponent natural - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

INECUAȚII CU MODUL - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

ECUAȚII ÎN ENUNȚURI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 5: Număr întreg

NUMERE RAȚIONALE, definiție și operații - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR RAȚIONALE cu fracții, zecimale și numere mixte - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună