INECUAȚII CU MODUL - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Modulul unui număr este distanța lui față de zero. Într-o inecuație, $| x | < a$ devine un singur interval, iar $| x | > a$ devine două intervale separate. Mai jos găsești regula pe scurt și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum transformi o inecuație cu modul într-un interval

Modulul unui număr întreg este distanța lui față de zero, pe axa numerelor, fără să conteze direcția: $| 3 | = 3$ și $| - 3 | = 3$ . Când modulul apare într-o inecuație, întrebarea devine „ce numere sunt la o anumită distanță de zero?", iar răspunsul este, de obicei, un interval întreg de numere, nu unul singur.

Cazul cu „mai mic decât" ( $<$ sau $\leq$ ). Dacă $| x | < a$ , cu $a > 0$ , atunci $x$ este între $- a$ și $a$ .

$| x | < a \Rightarrow$ $- a < x < a$

Cazul cu „mai mare decât" ( $>$ sau $\geq$ ). Dacă $| x | > a$ , cu $a > 0$ , atunci $x$ este fie mai mic decât $- a$ , fie mai mare decât $a$ : două ramuri separate, niciodată un singur interval.

$| x | > a \Rightarrow$ $x < - a sau x > a$

Când modulul conține o expresie, de exemplu $| 2 x - 1 | < 5$ , aplici aceeași regulă, dar peste toată expresia din interiorul modulului, apoi rezolvi inecuația dublă ca pe orice altă inecuație, cu aceleași operații în toate cele trei părți.

Atenție la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ. Ca la orice inecuație, dacă înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ, semnul inecuației se inversează: $<$ devine $>$ și invers. Regula asta nu ține de modul, dar apare des în ultimul pas al acestor exerciții.

Exerciții rezolvate : inecuațiile cu modul

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Modulul mai mic decât un numărușor

Rezolvă inecuația $| x | < 7$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru că inecuația are semnul $<$ , transformăm modulul într-un interval simplu: $- 7 < x < 7$ .
Nu mai sunt calcule de făcut, expresia din interiorul modulului este chiar $x$ .

Răspuns: Soluția este $- 7 < x < 7$ .

EXERCIȚIUL 2Modulul mai mare decât un numărușor

Rezolvă inecuația $| x | > 4$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru că inecuația are semnul $>$ , soluția are două ramuri separate: $x < - 4$ sau $x > 4$ .
Verificăm cu un exemplu din fiecare ramură: $| - 5 | = 5 > 4$ ✓ și $| 6 | = 6 > 4$ ✓.

Răspuns: Soluția este $x < - 4$ sau $x > 4$ .

EXERCIȚIUL 3Modul cu o expresie în interiormediu

Rezolvă inecuația $| x - 3 | < 5$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru că inecuația are semnul $<$ , transformăm modulul într-un interval dublu: $- 5 < x - 3 < 5$ .
Adunăm 3 în toate cele trei părți: $- 5 + 3 < x < 5 + 3$ .
Calculăm: $- 2 < x < 8$ .

Răspuns: Soluția este $- 2 < x < 8$ .

EXERCIȚIUL 4Interval închis, cu semnul ≤mediu

Rezolvă inecuația $| x + 2 | \leq 6$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru că inecuația are semnul $\leq$ , transformăm modulul într-un interval dublu închis: $- 6 \leq x + 2 \leq 6$ .
Scădem 2 în toate cele trei părți: $- 6 - 2 \leq x \leq 6 - 2$ .
Calculăm: $- 8 \leq x \leq 4$ .

Răspuns: Soluția este $- 8 \leq x \leq 4$ .

EXERCIȚIUL 5Modul cu o expresie mai complexămediu

Rezolvă inecuația $| 2 x - 1 | < 9$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru că inecuația are semnul $<$ , transformăm modulul într-un interval dublu: $- 9 < 2 x - 1 < 9$ .
Adunăm 1 în toate cele trei părți: $- 9 + 1 < 2 x < 9 + 1$ , adică $- 8 < 2 x < 10$ .
Împărțim toate cele trei părți la 2: $- 4 < x < 5$ .

Răspuns: Soluția este $- 4 < x < 5$ .

EXERCIȚIUL 6Modulul mai mare decât un număr, cu expresiegreu

Rezolvă inecuația $| 2 x + 3 | > 11$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru că inecuația are semnul $>$ , soluția are două ramuri separate: $2 x + 3 < - 11$ sau $2 x + 3 > 11$ .
Rezolvăm prima ramură: $2 x < - 11 - 3 = - 14$ , deci $x < - 7$ .
Rezolvăm a doua ramură: $2 x > 11 - 3 = 8$ , deci $x > 4$ .

Răspuns: Soluția este $x < - 7$ sau $x > 4$ .

EXERCIȚIUL 7Coeficient negativ, inversarea semnuluigreu

Rezolvă inecuația $| - 2 x + 5 | < 9$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru că inecuația are semnul $<$ , transformăm modulul într-un interval dublu: $- 9 < - 2 x + 5 < 9$ .
Scădem 5 în toate cele trei părți: $- 9 - 5 < - 2 x < 9 - 5$ , adică $- 14 < - 2 x < 4$ .
Împărțim toate cele trei părți la $- 2$ ; pentru că împărțim la un număr negativ, semnele inecuației se inversează: $\frac{- 14}{- 2} > x > \frac{4}{- 2}$ , adică $7 > x > - 2$ .
Scriem rezultatul în ordinea obișnuită, de la mic la mare: $- 2 < x < 7$ .

Răspuns: Soluția este $- 2 < x < 7$ .

EXERCIȚIUL 8Problemă aplicată cu temperaturigreu

Într-o zi de iarnă, temperatura $t$ , măsurată în grade Celsius, diferă cu cel mult 6 grade față de $- 10^{\circ}$ C. Scrie inecuația cu modul și află intervalul de temperaturi posibile.

Rezolvare pas cu pas

„Diferă cu cel mult 6 grade față de $- 10$ ” înseamnă că distanța dintre $t$ și $- 10$ este cel mult 6: $| t - (- 10) | \leq 6$ , adică $| t + 10 | \leq 6$ .
Pentru că inecuația are semnul $\leq$ , transformăm modulul într-un interval dublu închis: $- 6 \leq t + 10 \leq 6$ .
Scădem 10 în toate cele trei părți: $- 6 - 10 \leq t \leq 6 - 10$ .
Calculăm: $- 16 \leq t \leq - 4$ .

Răspuns: Temperatura poate fi orice valoare între $- 16^{\circ}$ C și $- 4^{\circ}$ C, inclusiv aceste valori.

Cum recunoști un exercițiu cu inecuații cu modul

În inecuație apare o expresie între bare de modul, $| \dots |$ , comparată cu un număr, folosind $<$ , $\leq$ , $>$ sau $\geq$ .
Semnul inecuației îți spune direct forma soluției: $<$ sau $\leq$ dau un singur interval, $>$ sau $\geq$ dau două ramuri separate.
În probleme aplicate, apar formulări ca „diferă cu cel mult”, „la o distanță de cel mult” sau „abaterea nu depășește”, care se traduc direct printr-o inecuație cu modul.

Greșeli frecvente la inecuațiile cu modul

Tratezi $| x | > a$ ca pe un singur interval. Când semnul este $>$ sau $\geq$ , soluția are întotdeauna DOUĂ ramuri separate, $x < - a$ sau $x > a$ , niciodată forma $- a < x < a$ , care e valabilă doar pentru $<$ sau $\leq$ .
Uiți să inversezi semnul la împărțirea cu un număr negativ. Dacă ajungi la o expresie de tipul $- 2 x < 4$ și împarți prin $- 2$ , semnul $<$ devine $>$ : rezultă $x > - 2$ , nu $x < - 2$ . Regula e valabilă la orice inecuație, nu doar la cele cu modul.
Aplici aceeași operație doar pe o parte a inecuației duble. Când ai $- a < expresie < a$ , orice operație (adunare, scădere, împărțire) trebuie făcută în toate cele trei părți deodată, nu doar în stânga sau doar în dreapta.

Exersează : inecuațiile cu modul

Fișă de lucru: Inecuații cu modul, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Numere întregi, clasa a VI-acu barem (PDF) Ecuații în mulțimea numerelor întregiexerciții rezolvate, aceeași mulțime de numere

Din același capitol

Întrebări frecvente despre inecuațiile cu modul

Ce este modulul unui număr?

Este distanța numărului față de zero, pe axa numerelor, fără să conteze semnul. $| 3 | = 3$ și $| - 3 | = 3$ , pentru că amândouă sunt la distanța 3 față de zero.

De ce inecuația

| x | > a

are două soluții separate?

Pentru că există numere „departe de zero” în ambele direcții: și cele mai mici decât $- a$ , și cele mai mari decât $a$ , toate având modulul mai mare decât $a$ .

Ce fac dacă am un coeficient negativ, ca la

| - 2 x + 5 |

Rezolvi la fel, transformi modulul într-un interval dublu, apoi izolezi $x$ ca la orice inecuație. Dacă la un moment dat împarți cu un număr negativ, nu uita să inversezi semnele inecuației.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 20. Inecuații cu modul..

Exersează cu fișa de lucru: Inecuații cu modul — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este mulțimea soluțiilor inecuației $| x | < 3$ ?
2. Care este mulțimea soluțiilor inecuației $| x | > 5$ ?
3. Care este mulțimea soluțiilor inecuației $| x - 2 | \leq 4$ ?
4. Care este mulțimea soluțiilor inecuației $| x + 1 | > 3$ ?
5. Câte numere întregi verifică inecuația $| x | \leq 2$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 2 septembrie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

PUTEREA UNUI NUMĂR ÎNTREG cu exponent natural - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

ECUAȚII ÎN MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

ECUAȚII ÎN ENUNȚURI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 5: Număr întreg

NUMERE RAȚIONALE, definiție și operații - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR RAȚIONALE cu fracții, zecimale și numere mixte - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

PUTEREA UNUI NUMĂR RAȚIONAL cu exponent întreg - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună