Școala Virtuală

NUMERE ÎNTREGI recapitulare completă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat
Share

Numerele întregi sunt numerele naturale și opusele lor: ℤ= {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. La înmulțire și împărțire, semnele egale dau plus, iar semnele diferite dau minus. Mai jos găsești toate regulile pe scurt și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Numerele întregi pe scurt

Mulțimea numerelor întregi. Numerele întregi sunt numerele naturale 0,1,2,3,… și opusele lor −1,−2,−3,…. Orice număr natural este și număr întreg, deci ℕ⊂ℤ.

  • Pozitive și negative: 1,2,3,… sunt întregi pozitivi, −1,−2,−3,… sunt întregi negativi. Numărul 0 nu este nici pozitiv, nici negativ. ℤ∗ înseamnă mulțimea numerelor întregi fără 0.
  • Axa numerelor: 0 este originea, numerele pozitive sunt la dreapta, cele negative la stânga. Un număr aflat mai la dreapta este mai mare.
  • Opusul lui a este −a: opusul lui 5 este −5, opusul lui −8 este 8, opusul lui 0 este 0. Suma dintre un număr și opusul lui este a+(−a)=0.
  • Modulul (valoarea absolută) este distanța de la număr până la origine: |a|=a dacă a≥0 și |a|=−a dacă a<0. De exemplu, |−7|=7, |4|=4. Modulul nu este niciodată negativ.
  • Compararea: orice număr pozitiv este mai mare decât 0, iar 0 este mai mare decât orice număr negativ. Dintre două numere negative, mai mare este cel cu modulul mai mic: −3>−9.
  • Adunarea: dacă numerele au același semn, aduni modulele și păstrezi semnul: (−6)+(−4)=−10. Dacă au semne diferite, scazi modulele și pui semnul numărului cu modulul mai mare: (−9)+5=−4.
  • Scăderea înseamnă adunarea cu opusul: a−b=a+(−b). De exemplu, 3−(−7)= 3+7= 10.

Înmulțirea și împărțirea (regula semnelor). Înmulțești sau împarți modulele, iar semnul îl stabilești așa:

(+)⋅(+)=+ (−)⋅(−)=+ (+)⋅(−)=− (−)⋅(+)=−

La împărțire semnele se stabilesc la fel. Împărțirea a:b se poate face în ℤ doar dacă b≠0 și |b| îl divide pe |a|. Mai multe exemple găsești la regula semnelor la numere întregi.

  • Puteri: un număr negativ la putere pară dă un rezultat pozitiv, la putere impară dă un rezultat negativ: (−2)4=16, (−2)3=−8. Atenție: −24=−16, pentru că puterea se calculează înaintea semnului. Pe larg: puterea unui număr întreg.
  • Ordinea operațiilor este aceeași ca la numere naturale: întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, la sfârșit adunările și scăderile, începând cu parantezele.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Numere naturale și opuseușor

Se consideră mulțimea A= {−9, −2, 0, 3, 11}. a) Scrie elementele lui A care sunt numere naturale. b) Scrie mulțimea B, formată din opusele elementelor lui A.

Rezolvare pas cu pas
  1. a) Numerele naturale sunt 0,1,2,3,…. Din A, acestea sunt 0, 3 și 11. Numerele −9 și −2 sunt întregi, dar nu sunt naturale.
  2. b) Schimbăm semnul fiecărui element: opusul lui −9 este 9, al lui −2 este 2, al lui 0 este 0, al lui 3 este −3, iar al lui 11 este −11.
  3. Scriem elementele în ordine crescătoare: B= {−11, −3, 0, 2, 9}.

Răspuns: a) 0, 3, 11; b) B= {−11, −3, 0, 2, 9}

EXERCIȚIUL 2Citirea pe axa numerelorușor

Pe axa numerelor de mai jos sunt reprezentate punctele A, B, C și D. a) Scrie numărul întreg corespunzător fiecărui punct. b) Care punct este cel mai departe de origine?

Axa numerelor de la −6 la 6 cu punctele A, B, C și D−6−5−4−3−2−10123456ABCD
Rezolvare pas cu pas
  1. a) Numărăm diviziunile pornind de la 0. A este la 5 unități la stânga, deci A corespunde lui −5. B corespunde lui −2, C lui 1, iar D lui 4.
  2. b) Distanța până la origine este modulul: |−5|=5, |−2|=2, |1|=1, |4|=4.
  3. Cel mai mare modul este 5, deci punctul A este cel mai departe de origine, chiar dacă numărul −5 este cel mai mic.

Răspuns: a) A(−5), B(−2), C(1), D(4); b) punctul A

EXERCIȚIUL 3Compararea și ordonareaușor

a) Compară numerele: −7 și −12; −3 și 2. b) Ordonează crescător numerele −4,  7,  −11,  0,  |−9|,  −1.

Rezolvare pas cu pas
  1. a) Ambele numere sunt negative, iar |−7|= 7<12= |−12|. Mai mare este cel cu modulul mai mic, deci −7>−12.
  2. Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv, deci −3<2.
  3. b) Calculăm întâi modulul: |−9|=9.
  4. Negativele, de la cel cu modulul cel mai mare: −11<−4<−1. Urmează 0, apoi pozitivele 7<9.

Răspuns: a) −7>−12, −3<2; b) −11<−4<−1<0<7<|−9|

EXERCIȚIUL 4Adunarea și scădereamediu

Calculează: a) (−15)+(+9); b) (−7)+(−13); c) 8−(−12); d) −20−6+31.

Rezolvare pas cu pas
  1. a) Semne diferite: scădem modulele, 15−9=6, și păstrăm semnul lui −15, care are modulul mai mare. Rezultatul este −6.
  2. b) Același semn: adunăm modulele, 7+13=20, și păstrăm semnul minus. Rezultatul este −20.
  3. c) Scăderea devine adunare cu opusul: 8−(−12)= 8+12= 20.
  4. d) Lucrăm de la stânga la dreapta: −20−6=−26, apoi −26+31=5.

Răspuns: a) −6; b) −20; c) 20; d) 5

EXERCIȚIUL 5Înmulțirea și împărțireamediu

Calculează: a) (−6)⋅(+4); b) (−5)⋅(−8); c) (−72):(−9); d) 56:(−7); e) (−2)⋅(−3)⋅(−5).

Rezolvare pas cu pas
  1. a) Semne diferite, rezultat negativ: (−6)⋅(+4)= −24.
  2. b) Semne egale, rezultat pozitiv: (−5)⋅(−8)=40.
  3. c) Semne egale: (−72):(−9)=8.
  4. d) Semne diferite: 56:(−7)=−8.
  5. e) Înmulțim pe rând: (−2)⋅(−3)=6, apoi 6⋅(−5)=−30. Regula rapidă: un număr impar de factori negativi dă un produs negativ.

Răspuns: a) −24; b) 40; c) 8; d) −8; e) −30

EXERCIȚIUL 6Puterile numerelor negativemediu

Calculează: a) (−3)4; b) (−2)5; c) −24; d) (−1)2026+(−1)2027.

Rezolvare pas cu pas
  1. a) Exponentul 4 este par, deci rezultatul este pozitiv: (−3)4=34=81.
  2. b) Exponentul 5 este impar, deci rezultatul este negativ: (−2)5=−32.
  3. c) Aici baza este 2, nu −2. Calculăm puterea, apoi punem minusul: −24=−16.
  4. d) 2026 este par, deci (−1)2026=1. 2027 este impar, deci (−1)2027=−1. Suma este 1+(−1)=0.

Răspuns: a) 81; b) −32; c) −16; d) 0

EXERCIȚIUL 7Ordinea efectuării operațiilorgreu

Calculează E= (−2)3⋅5−(−36):(−4)+ |−7|⋅(−1)9.

Rezolvare pas cu pas
  1. Puterile și modulul: (−2)3=−8, |−7|=7, (−1)9=−1.
  2. Înmulțiri și împărțiri: (−8)⋅5=−40, (−36):(−4)=9, 7⋅(−1)=−7.
  3. Expresia devine E=−40−9+(−7).
  4. Adunăm de la stânga la dreapta: −40−9=−49, apoi −49−7=−56.

Răspuns: E=−56

EXERCIȚIUL 8Ecuații în mulțimea numerelor întregigreu

Determină numărul întreg x în fiecare caz: a) −3⋅x+5=26; b) |x+1|= 4.

Rezolvare pas cu pas
  1. a) Scădem 5 din ambii membri: −3⋅x= 26−5= 21.
  2. Împărțim la −3: x=21:(−3)=−7. Verificare: −3⋅(−7)+5= 21+5= 26.
  3. b) Modulul este 4, deci numărul din modul este 4 sau −4: x+1=4 sau x+1=−4.
  4. Din x+1=4 obținem x=3. Din x+1=−4 obținem x=−5.
  5. Verificare: |3+1|= 4 și |−5+1|= |−4|= 4.

Răspuns: a) x=−7; b) x∈{−5,3}

Cum recunoști ce regulă aplici la numere întregi

  • Ai o adunare sau o scădere: transformi scăderea în adunare cu opusul, apoi te uiți dacă numerele au același semn sau semne diferite.
  • Ai o înmulțire, o împărțire sau o putere: aplici regula semnelor și calculezi separat cu modulele.
  • Ai un modul într-o ecuație, |x+a|= b cu b>0: scrii două cazuri, x+a=b și x+a=−b.

Greșeli frecvente

  • Aplici regula semnelor la adunare. (−5)+(−3) nu este +8. Regula „minus cu minus dă plus” este doar pentru înmulțire și împărțire. Corect: (−5)+(−3)=−8.
  • Confunzi −24 cu (−2)4. Fără paranteză, puterea se aplică doar lui 2: −24=−16. Cu paranteză, baza este −2: (−2)4=16.
  • Compari numerele negative ca pe cele pozitive. 12>7, dar −12<−7. Pe axă, −12 este mai la stânga, deci este mai mic.

Exersează

Fișă de lucru: Mulțimea numerelor întregi, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Numere întregi, clasa a VI-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Compararea și ordonarea numerelor întregi, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Care sunt numerele întregi?

Numerele naturale 0,1,2,3,… și opusele lor −1,−2,−3,…. Mulțimea lor se notează cu ℤ. Numere precum 12 sau 2,5 nu sunt întregi.

Zero este număr pozitiv sau negativ?

Niciuna. 0 este număr întreg și număr natural, dar nu este nici pozitiv, nici negativ. Opusul lui 0 este tot 0.

Ce diferență este între numerele naturale și numerele întregi?

Numerele întregi conțin toate numerele naturale și, în plus, numerele negative. De aceea ℕ⊂ℤ: orice număr natural este întreg, dar −3 este întreg fără să fie natural.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

  1. 1. Care dintre următoarele numere este un număr întreg negativ?

  2. 2. Mulțimea numerelor întregi este formată din:

  3. 3. Care este opusul numărului  −9 ?

  4. 4. Care afirmație despre numărul  0  este adevărată?

  5. 5. Care dintre următoarele afirmații despre opusul unui număr întreg este corectă?

Despre acest articol

Redactat de
Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează
Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema
Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat
, actualizat

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

UNGHI LA CENTRU: formula și arcul corespunzător - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 4: Noțiuni geometrice fundamentale

POZIȚIILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE ȘI ALE CERCURILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 4: Noțiuni geometrice fundamentale

COMPARAREA NUMERELOR ÎNTREGI ordonare și modul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR ÎNTREGI reguli și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

REGULA SEMNELOR la numere întregi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

PUTEREA UNUI NUMĂR ÎNTREG cu exponent natural - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

Prof. Alexandra Pavel

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună