FUNCȚIA LINIARĂ f(x) = ax + b, graficul și rolul lui a și b - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

1. $f(x)=5x-2$ are forma $ax+b$, cu $a=5$ și $b=-2$.
2. $g(x)=$ $-x=$ $(-1)\cdot x+0$, deci $a=-1$ și $b=0$. $h(x)=$ $4=$ $0\cdot x+4$, deci $a=0$ și $b=4$: este funcția constantă.
3. $k(x)=x^2+1$ conține $x^2$, deci nu are forma $ax+b$: nu este funcție liniară.
4. La $p$ desfaci paranteza: $p(x)=2x-6$, deci $a=2$ și $b=-6$.

Răspuns: liniare: $f$ ($5$; $-2$), $g$ ($-1$; $0$), $h$ ($0$; $4$), $p$ ($2$; $-6$); $k$ nu este liniară

1. Alegi valori pare pentru $x$, ca să nu apară fracții: $f(-2)=-1-2=-3$, $f(0)=-2$, $f(2)=-1$, $f(4)=0$.
2. Obții punctele $(-2,-3)$, $(0,-2)$, $(2,-1)$, $(4,0)$. Două ar fi fost suficiente; al treilea și al patrulea îți arată dacă ai greșit un calcul, pentru că toate trebuie să fie pe aceeași dreaptă.
3. Le reprezinți în sistemul de axe $xOy$ și le unești cu o dreaptă prelungită la ambele capete, pentru că domeniul este tot $ℝ$.
4. Control: $a={\displaystyle \frac{1}{2}}>0$, deci dreapta trebuie să urce de la stânga la dreapta, iar $b=-2$, deci taie $Oy$ în $(0,-2)$.

Răspuns: dreapta care trece prin $(-2,-3)$, $(0,-2)$, $(2,-1)$ și $(4,0)$

1. $f$: $a=3>0$, deci dreapta urcă. $g$: $a=-\mathrm{0,5}<0$, deci dreapta coboară. $h$: $a=0$, deci $h$ este constantă, iar dreapta este orizontală.
2. De la $x=2$ la $x=7$, $x$ crește cu $5$, deci $f(7)-f(2)=$ $3\cdot 5=$ $15>0$. Așadar $f(2)<f(7)$: dreapta urcă.
3. La $g$: $g(7)-g(2)=$ $-\mathrm{0,5}\cdot 5=$ $-\mathrm{2,5}<0$, deci ordinea se inversează: $g(2)>g(7)$.
4. Verificare prin calcul: $f(2)=1$, $f(7)=16$; $g(2)=1$, $g(7)=-\mathrm{1,5}$.

Răspuns: graficul lui $f$ urcă, al lui $g$ coboară, al lui $h$ este orizontal; $f(2)<f(7)$, $g(2)>g(7)$

1. $A$ este pe axa $Oy$, deci $b=f(0)=5$.
2. $B$ este pe grafic, deci $f(2)=-1$: $2a+5=-1$, adică $2a=-6$ și $a=-3$.
3. Funcția este $f(x)=-3x+5$. Verificare: $f(2)=-6+5=-1$.
4. Cum $a=-3<0$, dreapta coboară, ceea ce se vede și pe figură: de la $A$ la $B$, dreapta merge în jos.

Răspuns: $a=-3$, $b=5$, $f(x)=-3x+5$; dreapta coboară

1. a) Domeniul este un interval mărginit, deci graficul este un segment din dreapta $y=x-1$.
2. Capetele: $f(-1)=-2$, deci $(-1,-2)$, desenat cu punct plin, pentru că $-1$ aparține domeniului. $f(3)=2$, deci $(3,2)$, desenat cu punct gol, pentru că $3$ nu aparține domeniului.
3. b) Pornești de la domeniu: $-1\le x<3$. Scazi $1$ din toți membrii: $-2\le x-1<2$.
4. Deci $-2\le f(x)<2$, adică $f(x)\in [-2,2)$. Valoarea $-2$ se obține pentru $x=-1$, iar $2$ nu se obține, pentru că $3$ nu este în domeniu.

Răspuns: a) segmentul cu capetele $(-1,-2)$ (plin) și $(3,2)$ (gol); b) $f(x)\in [-2,2)$

1. $P(2,1)$ aparține graficului, deci $f(2)=1$: $(m-2)\cdot 2+5=$ $1$.
2. Rezolvi: $(m-2)\cdot 2=-4$, deci $m-2=-2$ și $m=0$.
3. Funcția devine $f(x)=-2x+5$. Verificare: $f(2)=-4+5=1$.
4. Coeficientul lui $x$ este $-2<0$, deci dreapta coboară.

Răspuns: $m=0$, $f(x)=-2x+5$; graficul coboară

1. a) Funcția este constantă când coeficientul lui $x$ este $0$: $2m-6=0$, deci $m=3$. Atunci $f(x)=3$.
2. b) Graficul urcă atunci când coeficientul lui $x$ este pozitiv: $2m-6>0$, adică $2m>6$, deci $m>3$, adică $m\in (3,\infty )$.
3. c) Graficul trece prin $O(0,0)$ când $f(0)=0$. Dar $f(0)=m$, deci $m=0$.
4. Pentru $m=0$, $f(x)=-6x$: o dreaptă prin origine, care coboară.

Răspuns: a) $m=3$; b) $m\in (3,\infty )$; c) $m=0$

1. a) Din enunț: $a+b=5$ și $-2a+b=-1$. Scazi a doua ecuație din prima: $3a=6$, deci $a=2$, iar $b=5-2=3$. Așadar $f(x)=2x+3$.
2. b) Pornești de la $-1\le x\le 2$. Înmulțești toți membrii cu $2$, un număr pozitiv, deci sensul inegalităților rămâne: $-2\le 2x\le 4$.
3. Aduni $3$ la toți membrii: $1\le 2x+3\le 7$, adică $1\le f(x)\le 7$, ceea ce trebuia arătat.
4. Control la capete: $f(-1)=-2+3=1$ și $f(2)=4+3=7$, deci ambele margini chiar sunt atinse.

Răspuns: a) $f(x)=2x+3$; b) din $-1\le x\le 2$ rezultă $1\le 2x+3\le 7$