INTERSECȚIA GRAFICELOR A DOUĂ FUNCȚII și intersecția cu axele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 6 octombrie 2026

Ca să afli unde se întâlnesc graficele funcțiilor $f$ și $g$ , rezolvi ecuația $f (x) = g (x)$ : soluția este abscisa punctului de intersecție, iar ordonata o calculezi cu $f (x)$ sau cu $g (x)$ . Mai jos găsești și intersecția cu axele, legătura cu sistemele de ecuații, cazul dreptelor paralele și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum afli punctul comun a două grafice

Un punct $M (x_{0}, y_{0})$ se află pe graficul lui $f$ dacă $f (x_{0}) = y_{0}$ , și pe graficul lui $g$ dacă $g (x_{0}) = y_{0}$ . Ca să fie pe amândouă, trebuie ca $f (x_{0}) = g (x_{0})$ . În figură, $f (x) = x + 1$ și $g (x) = - 2 x + 4$ : din $x + 1 = - 2 x + 4$ iese $x = 1$ , iar $f (1) = 2$ , deci graficele se intersectează în $M (1, 2)$ .

Graficele lui

f

și

g

au un singur punct comun,

M (1, 2)

. Liniile punctate arată coordonatele lui pe axe.

$M (x_{0}, y_{0}) \in G_{f} \cap G_{g} ⟺$ $f (x_{0}) =$ $g (x_{0}) =$ $y_{0}$

Pașii, de fiecare dată:

Scrii ecuația $f (x) = g (x)$ și o rezolvi. Soluția $x_{0}$ este abscisa punctului comun.
Calculezi ordonata $y_{0} = f (x_{0})$ .
Verifici că și $g (x_{0}) = y_{0}$ . Dacă nu iese, ai greșit la pasul 1.

Intersecția cu axele este un caz particular. Axa $O x$ este „graficul” lui $y = 0$ , deci punctul de pe $O x$ are $f (x) = 0$ . Axa $O y$ conține punctele cu abscisa $0$ , deci punctul de pe $O y$ este $(0, f (0))$ .

Legătura cu sistemele. A căuta punctul comun al dreptelor $y = f (x)$ și $y = g (x)$ este același lucru cu a rezolva sistemul format din cele două ecuații. Soluția sistemului $(x_{0}, y_{0})$ sunt chiar coordonatele punctului de intersecție.

Câte puncte comune pot avea două drepte? Dacă $f (x) = a x + b$ și $g (x) = c x + d$ :

pentru $a \neq c$ , dreptele se intersectează într-un singur punct;
pentru $a = c$ și $b \neq d$ , dreptele sunt paralele: ecuația $f (x) = g (x)$ nu are soluție;
pentru $a = c$ și $b = d$ , cele două funcții sunt egale, iar graficele coincid.

Exerciții rezolvate : intersecția graficelor

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Unde taie graficul axeleușor

Se consideră funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = 2 x + 6$ . Află punctele $A$ și $B$ în care graficul funcției intersectează axa $O x$ , respectiv axa $O y$ .

Rezolvare pas cu pas

Pe axa $O x$ , ordonata este $0$ : $2 x + 6 = 0$ , deci $x = - 3$ și $A (- 3, 0)$ .
Pe axa $O y$ , abscisa este $0$ : $f (0) =$ $2 \cdot 0 + 6 =$ $6$ , deci $B (0, 6)$ .
Verificare: $f (- 3) = - 6 + 6 = 0$ .

Răspuns: $A (- 3, 0)$ pe $O x$ , $B (0, 6)$ pe $O y$

EXERCIȚIUL 2Punctul comun a două drepteușor

Se consideră funcțiile $f,$ $g : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = 3 x - 1$ și $g (x) = x + 5$ . Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor lor.

Rezolvare pas cu pas

Pui condiția $f (x) = g (x)$ : $3 x - 1 = x + 5$ .
Treci termenii: $3 x - x = 5 + 1$ , deci $2 x = 6$ și $x = 3$ .
Ordonata: $f (3) = 9 - 1 = 8$ . Verificare cu cealaltă funcție: $g (3) = 3 + 5 = 8$ .

Răspuns: graficele se intersectează în punctul $(3, 8)$

EXERCIȚIUL 3Două drepte care nu se întâlnescușor

Se consideră funcțiile $f,$ $g : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = 2 x - 3$ și $g (x) = 2 x + 1$ . Arată că graficele lor nu au niciun punct comun.

Desenul sugerează că dreptele sunt paralele, dar un desen nu este o demonstrație: două drepte aproape paralele se pot întâlni în afara foii. Răspunsul se justifică prin calcul.

Rezolvare pas cu pas

Cauți un punct comun: $2 x - 3 = 2 x + 1$ .
Scazi $2 x$ din ambii membri și obții $- 3 = 1$ , o propoziție falsă, oricare ar fi $x$ .
Ecuația nu are soluție, deci graficele nu au puncte comune. Explicația: ambele funcții au același coeficient $a = 2$ , dar termeni liberi diferiți, deci dreptele sunt paralele.

Răspuns: ecuația $f (x) = g (x)$ nu are soluție, deci graficele sunt drepte paralele

EXERCIȚIUL 4Intersecție cu un coeficient fracționarmediu

Determină punctul de intersecție a graficelor funcțiilor $f,$ $g : ℝ \to ℝ$ , $f (x) =$ $\frac{x}{2} + 1$ și $g (x) = - x + 4$ .

Rezolvare pas cu pas

Pui condiția $\frac{x}{2} + 1 =$ $- x + 4$ și înmulțești totul cu $2$ , ca să scapi de numitor: $x + 2 = - 2 x + 8$ .
Rezolvi: $3 x = 6$ , deci $x = 2$ .
Ordonata: $f (2) = 1 + 1 = 2$ . Verificare: $g (2) = - 2 + 4 = 2$ .

Răspuns: $(2, 2)$

EXERCIȚIUL 5Sistemul de ecuații văzut ca două dreptemediu

Rezolvă sistemul ${\begin{matrix} x + y = 4 \\ 3 x - y = 8 \end{matrix}$ cu ajutorul graficelor. Figura arată dreptele obținute din cele două ecuații. Citește de pe ea punctul comun, apoi confirmă prin calcul.

Pe figură,

f

corespunde primei ecuații, iar

g

celei de-a doua. Punctul comun se citește de pe rețea, dar se confirmă obligatoriu prin calcul.

Rezolvare pas cu pas

Scoți $y$ din fiecare ecuație: din prima, $y = - x + 4$ ; din a doua, $y = 3 x - 8$ . Acestea sunt funcțiile $f (x) = - x + 4$ și $g (x) = 3 x - 8$ .
Pe figură, dreptele se întâlnesc în punctul de pe rețea cu abscisa $3$ și ordonata $1$ .
Calcul: $- x + 4 = 3 x - 8$ , deci $4 x = 12$ , $x = 3$ și $y = - 3 + 4 = 1$ .
Verificare în sistem: $3 + 1 = 4$ și $3 \cdot 3 - 1 = 8$ .

Răspuns: soluția sistemului este $x = 3$ , $y = 1$ , adică punctul $(3, 1)$

EXERCIȚIUL 6Graficele se întâlnesc pe o axămediu

Se consideră funcțiile $f,$ $g : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = 2 x + m - 1$ și $g (x) = - x + 5$ , unde $m$ este un număr real. a) Află $m$ pentru care graficele se intersectează pe axa $O y$ . b) Află $m$ pentru care graficele se intersectează pe axa $O x$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Pe axa $O y$ , abscisa punctului comun este $0$ , deci $f (0) = g (0)$ : $m - 1 = 5$ , de unde $m = 6$ .
b) Pe axa $O x$ , ordonata punctului comun este $0$ . Graficul lui $g$ taie $O x$ acolo unde $- x + 5 = 0$ , adică în $x = 5$ .
Și graficul lui $f$ trebuie să treacă prin $(5, 0)$ : $f (5) = 0$ , adică $10 + m - 1 = 0$ , deci $m = - 9$ .
Verificare: pentru $m = - 9$ , $f (x) = 2 x - 10$ , iar $f (5) = 0 = g (5)$ .

Răspuns: a) $m = 6$ ; b) $m = - 9$

EXERCIȚIUL 7Trei drepte care trec prin același punctgreu

Se consideră funcțiile $f,$ $g,$ $h : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x + 1$ , $g (x) = - 2 x + 7$ și $h (x) = m x - 1$ . Determină numărul real $m$ pentru care cele trei grafice trec prin același punct.

Rezolvare pas cu pas

Afli întâi punctul comun al graficelor lui $f$ și $g$ : $x + 1 = - 2 x + 7$ , deci $3 x = 6$ și $x = 2$ ; $f (2) = 3$ . Punctul este $P (2, 3)$ .
Graficul lui $h$ trebuie să treacă și el prin $P$ : $h (2) = 3$ , adică $2 m - 1 = 3$ .
Rezolvi: $2 m = 4$ , deci $m = 2$ .
Verificare: $h (x) = 2 x - 1$ și $h (2) = 4 - 1 = 3$ . Cele trei drepte sunt concurente în $P (2, 3)$ .

Răspuns: $m = 2$ , iar punctul comun este $P (2, 3)$

EXERCIȚIUL 8Cât de departe este punctul de intersecție de originegreu

Graficele funcțiilor $f,$ $g : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = 2 x - 2$ și $g (x) = - x + 7$ se intersectează în punctul $M$ . Calculează distanța de la originea $O$ a sistemului de axe la punctul $M$ .

Rezolvare pas cu pas

Afli $M$ : $2 x - 2 = - x + 7$ , deci $3 x = 9$ și $x = 3$ ; $f (3) = 6 - 2 = 4$ . Verificare: $g (3) = - 3 + 7 = 4$ . Deci $M (3, 4)$ .
Distanța dintre $O (0, 0)$ și $M (3, 4)$ o calculezi cu formula distanței dintre două puncte: $O M =$ $\sqrt{{(3 - 0)}^{2} + {(4 - 0)}^{2}}$ .
$O M =$ $\sqrt{9 + 16} =$ $\sqrt{25} =$ $5$ .

Răspuns: $M (3, 4)$ și $O M = 5$

Cum recunoști un exercițiu cu intersecția graficelor

Apar două funcții și se cer „coordonatele punctului comun” sau „punctul în care se intersectează graficele”: scrii direct $f (x) = g (x)$ .
Se cer punctele în care graficul „taie” sau „intersectează” axele: pentru $O x$ pui $f (x) = 0$ , pentru $O y$ calculezi $f (0)$ .
Se dă un sistem de două ecuații și ți se cere să-l rezolvi „grafic”: scoți $y$ din fiecare ecuație și cauți punctul comun al celor două drepte.

Greșeli frecvente la intersecția graficelor

Te oprești după ce afli $x$ . Punctul de intersecție are două coordonate. După ce rezolvi $f (x) = g (x)$ , calculezi și ordonata, $f (x_{0})$ , apoi scrii punctul ca pereche $(x_{0}, y_{0})$ .
Inversezi axele la intersecția cu axele. Pentru axa $O x$ pui $f (x) = 0$ , nu $x = 0$ . Pentru axa $O y$ pui $x = 0$ . Ține minte: pe $O x$ , ordonata este $0$ .
Crezi că orice două drepte se intersectează. Dacă funcțiile au același coeficient al lui $x$ și termeni liberi diferiți, ecuația $f (x) = g (x)$ duce la o propoziție falsă: dreptele sunt paralele și nu au punct comun.

Exersează : intersecția graficelor

Fișă de lucru: Intersecția reprezentărilor grafice ale funcțiilor, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Funcții, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Intersecția reprezentărilor grafice, partea a 2-aclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre intersecția graficelor

Trebuie să desenez graficele ca să aflu punctul de intersecție?

Nu. Calculul cu $f (x) = g (x)$ îți dă punctul exact. Desenul te ajută să verifici că rezultatul are sens, dar coordonatele cu fracții sau cu radicali nu se pot citi precis de pe el.

Ce înseamnă dacă îmi iese o propoziție adevărată, cum ar fi

5 = 5

Înseamnă că ecuația $f (x) = g (x)$ este adevărată pentru orice $x$ : cele două funcții sunt egale, iar graficele lor coincid. Au o infinitate de puncte comune, nu unul singur.

Ordonata o calculez cu

f

sau cu

g

Cu oricare dintre ele: în punctul de intersecție, $f (x_{0})$ și $g (x_{0})$ sunt egale. Calculează cu funcția mai simplă, apoi verifică rezultatul cu cealaltă.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Ce reprezintă punctul de intersecție a graficelor a două funcții $f$ și $g$ ?
2. Care este metoda corectă pentru a găsi abscisa punctului de intersecție al graficelor funcțiilor $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = x + 3$ ?
3. Graficele funcțiilor $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = x + 3$ se intersectează în punctul:
4. Graficele funcțiilor $f (x) = 3 x - 2$ și $g (x) = 3 x + 1$ se intersectează în:
5. Graficele funcțiilor $f (x) = x^{2}$ și $g (x) = x + 2$ se intersectează în punctele de abscisă obținute rezolvând ecuația:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 6 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

GRAFICUL UNEI FUNCȚII și punctele de pe grafic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

FUNCȚIA LINIARĂ f(x) = ax + b, graficul și rolul lui a și b - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

ARIA LATERALĂ, ARIA TOTALĂ ȘI VOLUMUL CONULUI circular drept - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

TRUNCHIUL DE CON generatoare, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

VOLUMUL ȘI ARIA SFEREI: formule, emisfera și raza - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună