GRAFICUL UNEI FUNCȚII și punctele de pe grafic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 7 octombrie 2026

Graficul unei funcții $f : A \to B$ este mulțimea tuturor perechilor $(x, f (x))$ , cu $x \in A$ , iar un punct $M (a, b)$ este pe grafic exact atunci când $f (a) = b$ . Mai jos găsești definiția, cum arată graficul unei funcții definite pe o mulțime finită, testul de apartenență a unui punct și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Graficul ca mulțime de puncte

Pentru fiecare $x$ din domeniu, funcția îți dă o singură valoare $f (x)$ . Perechea $(x, f (x))$ este un punct al sistemului de axe $x O y$ . Toate aceste puncte, luate împreună, formează graficul funcției. În figură, funcția $f : {- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3} \to ℝ$ , $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ are cinci elemente în domeniu, deci graficul ei are exact cinci puncte.

Graficul are cinci puncte izolate, câte unul pentru fiecare element al domeniului. Punctele nu se unesc între ele.

$G_{f} =$ ${(x, f (x)) | x \in A}$

Reprezentarea geometrică a graficului înseamnă desenarea acestor puncte în sistemul de axe. Forma desenului depinde de domeniu și de formulă:

dacă domeniul este o mulțime finită, graficul este format din puncte izolate, pe care NU le unești între ele;
dacă domeniul este $ℝ$ sau un interval, graficul este o linie continuă; pentru o funcție de forma $a x + b$ , această linie este o dreaptă.

Punct de pe grafic. Testul de apartenență este întotdeauna același:

$M (a, b) \in G_{f} ⟺$ $f (a) =$ $b$

Calculezi funcția în abscisa punctului și compari rezultatul cu ordonata. Testul funcționează în ambele sensuri: dacă știi că un punct este pe grafic, scrii egalitatea $f (a) = b$ și o folosești ca ecuație, de exemplu pentru a afla un parametru din formulă.

O proprietate a oricărui grafic. Fiecare $x$ are o singură imagine, deci pe graficul unei funcții nu pot exista două puncte diferite cu aceeași abscisă. Două puncte cu aceeași ordonată pot exista: în figură, $B (0, 1)$ și $D (2, 1)$ .

Exerciții rezolvate : graficul unei funcții

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Scrii graficul ca mulțime de perechiușor

Se consideră funcția $f : {- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2} \to ℝ$ , $f (x) = x^{2} - 1$ . Scrie graficul funcției ca mulțime de perechi și spune câte puncte are.

Rezolvare pas cu pas

Calculezi valoarea funcției în fiecare element al domeniului: $f (- 2) = 4 - 1 = 3$ , $f (- 1) = 1 - 1 = 0$ , $f (0) = - 1$ , $f (1) = 0$ , $f (2) = 3$ .
Formezi perechile $(x, f (x))$ : $G_{f} =$ ${(- 2, 3),$ $(- 1, 0),$ $(0, - 1),$ $(1, 0),$ $(2, 3)}$ .
Domeniul are $5$ elemente, deci graficul are $5$ puncte. Observă că $f (- 2) = f (2)$ : două puncte au aceeași ordonată, ceea ce este permis.

Răspuns: $G_{f} =$ ${(- 2, 3),$ $(- 1, 0),$ $(0, - 1),$ $(1, 0),$ $(2, 3)}$ , adică $5$ puncte

EXERCIȚIUL 2Aparține punctul graficului?ușor

Se consideră funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = 4 x - 5$ . Care dintre punctele $A (2, 3)$ , $B (- 1, - 1)$ , $C (0, - 5)$ , $D (\frac{1}{2}, - 3)$ aparțin graficului funcției?

Rezolvare pas cu pas

$A (2, 3)$ : $f (2) = 8 - 5 = 3$ , egal cu ordonata, deci $A \in G_{f}$ .
$B (- 1, - 1)$ : $f (- 1) =$ $- 4 - 5 =$ $- 9 \neq - 1$ , deci $B \notin G_{f}$ .
$C (0, - 5)$ : $f (0) = - 5$ , deci $C \in G_{f}$ .
$D (\frac{1}{2}, - 3)$ : $f (\frac{1}{2}) =$ $2 - 5 =$ $- 3$ , deci $D \in G_{f}$ .

Răspuns: $A$ , $C$ și $D$ aparțin graficului; $B$ nu

EXERCIȚIUL 3Citești funcția de pe graficușor

Figura reprezintă graficul unei funcții $f$ , definite pe o mulțime finită. a) Scrie domeniul funcției. b) Află $f (- 1)$ și $f (1)$ . c) Pentru ce $x$ are loc $f (x) = 0$ ? d) Calculează $f (- 2) + f (2)$ .

Rezolvare pas cu pas

Citești coordonatele punctelor pe rețea: $A (- 2, 1)$ , $B (- 1, 3)$ , $C (0, 2)$ , $D (1, - 1)$ , $E (2, 0)$ .
a) Domeniul este mulțimea absciselor: ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .
b) Punctul cu abscisa $- 1$ este $B$ , deci $f (- 1) = 3$ . Punctul cu abscisa $1$ este $D$ , deci $f (1) = - 1$ .
c) Singurul punct cu ordonata $0$ este $E$ , deci $f (x) = 0$ pentru $x = 2$ . d) $f (- 2) + f (2) =$ $1 + 0 =$ $1$ .

Răspuns: a) ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ; b) $f (- 1) = 3$ , $f (1) = - 1$ ; c) $x = 2$ ; d) $1$

EXERCIȚIUL 4Afli parametrul dintr-un punct al graficuluimediu

Se consideră funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = 3 x + m$ , unde $m$ este un număr real. Știind că punctul $A (2, 4)$ aparține graficului, află $m$ , apoi determină ordonata punctului de pe grafic cu abscisa $- 1$ și abscisa punctului de pe grafic cu ordonata $10$ .

Rezolvare pas cu pas

$A (2, 4) \in G_{f}$ , deci $f (2) = 4$ : $6 + m = 4$ , de unde $m = - 2$ . Funcția este $f (x) = 3 x - 2$ .
Punctul cu abscisa $- 1$ are ordonata $f (- 1) = - 3 - 2 = - 5$ .
Punctul cu ordonata $10$ are abscisa dată de ecuația $3 x - 2 = 10$ , deci $3 x = 12$ și $x = 4$ .

Răspuns: $m = - 2$ ; punctele $(- 1, - 5)$ și $(4, 10)$

EXERCIȚIUL 5Punctul cu coordonate egale sau opusemediu

Se consideră funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = 3 x - 8$ . a) Determină punctul de pe grafic care are coordonatele egale. b) Determină punctul de pe grafic care are coordonatele numere opuse.

Rezolvare pas cu pas

a) Punctul are forma $P (t, t)$ . Fiind pe grafic, $f (t) = t$ : $3 t - 8 = t$ , deci $2 t = 8$ și $t = 4$ . Punctul este $P (4, 4)$ .
Verificare: $f (4) = 12 - 8 = 4$ .
b) Punctul are forma $Q (t, - t)$ . Atunci $f (t) = - t$ : $3 t - 8 = - t$ , deci $4 t = 8$ și $t = 2$ . Punctul este $Q (2, - 2)$ .
Verificare: $f (2) = 6 - 8 = - 2$ .

Răspuns: a) $P (4, 4)$ ; b) $Q (2, - 2)$

EXERCIȚIUL 6Punct de pe graficul unei funcții cu ramurimediu

Se consideră funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x + 2$ pentru $x \leq 1$ și $f (x) = 5 - 2 x$ pentru $x > 1$ , al cărei grafic este desenat mai jos. Stabilește, prin calcul, care dintre punctele $A (- 1, 1)$ , $B (3, - 1)$ , $C (0, 5)$ , $D (2, 4)$ aparțin graficului.

Punctele din enunț nu sunt desenate. Decizia se ia prin calcul, cu ramura potrivită abscisei fiecărui punct.

Rezolvare pas cu pas

Pentru fiecare punct, alegi întâi ramura după abscisă, apoi calculezi. $A (- 1, 1)$ : $- 1 \leq 1$ , deci $f (- 1) = - 1 + 2 = 1$ . $A \in G_{f}$ .
$B (3, - 1)$ : $3 > 1$ , deci $f (3) = 5 - 6 = - 1$ . $B \in G_{f}$ .
$C (0, 5)$ : $0 \leq 1$ , deci $f (0) = 2 \neq 5$ . $C \notin G_{f}$ . Capcană: cu ramura greșită ai fi obținut $5 - 0 = 5$ .
$D (2, 4)$ : $2 > 1$ , deci $f (2) =$ $5 - 4 =$ $1 \neq 4$ . $D \notin G_{f}$ . Și aici ramura greșită ar fi dat $2 + 2 = 4$ .

Răspuns: $A$ și $B$ aparțin graficului; $C$ și $D$ nu

EXERCIȚIUL 7Un punct prin care trec toate graficelegreu

Pentru fiecare număr real $m$ se consideră funcția $f_{m} : ℝ \to ℝ$ , $f_{m} (x) =$ $(m + 1) x - 2 m$ . Arată că toate aceste grafice trec printr-un același punct și determină acest punct.

Rezolvare pas cu pas

Rescrii formula grupând termenii care conțin $m$ : $f_{m} (x) =$ $m x + x - 2 m =$ $m (x - 2) + x$ .
Valoarea nu depinde de $m$ atunci când paranteza $x - 2$ este $0$ , adică pentru $x = 2$ .
Atunci $f_{m} (2) =$ $m \cdot 0 + 2 =$ $2$ , oricare ar fi $m$ . Deci punctul $M (2, 2)$ aparține tuturor graficelor.
Verificare pe două cazuri: pentru $m = 0$ , $f_{0} (x) = x$ și $f_{0} (2) = 2$ ; pentru $m = 3$ , $f_{3} (x) = 4 x - 6$ și $f_{3} (2) = 2$ .

Răspuns: toate graficele trec prin $M (2, 2)$

EXERCIȚIUL 8Puncte ale graficului la distanța 5 de originegreu

Se consideră funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x + 1$ . Determină punctele graficului funcției care se află la distanța $5$ de originea $O$ a sistemului de axe.

Rezolvare pas cu pas

Un punct al graficului are forma $P (x, x + 1)$ . Cu formula distanței dintre două puncte: $O P^{2} =$ $x^{2} + {(x + 1)}^{2}$ .
Condiția $O P = 5$ devine $x^{2} + {(x + 1)}^{2} = 25$ , adică $2 x^{2} + 2 x + 1 = 25$ , deci $x^{2} + x - 12 = 0$ .
Descompui: $x^{2} + x - 12 =$ $(x + 4) (x - 3)$ , deci $x = 3$ sau $x = - 4$ .
Pentru $x = 3$ : $P_{1} (3, 4)$ , iar $O P_{1} =$ $\sqrt{9 + 16} =$ $5$ . Pentru $x = - 4$ : $P_{2} (- 4, - 3)$ , iar $O P_{2} =$ $\sqrt{16 + 9} =$ $5$ .

Răspuns: $P_{1} (3, 4)$ și $P_{2} (- 4, - 3)$

Cum recunoști un exercițiu cu punct de pe grafic

Enunțul spune „punctul ... aparține graficului”, „graficul trece prin punctul ...” sau „punctul ... este pe grafic”: scrii imediat $f (a) = b$ .
Domeniul este o mulțime finită, scrisă între acolade: graficul are atâtea puncte câte elemente are domeniul și se desenează ca puncte izolate.
Punctul are coordonatele legate între ele (egale, opuse, una dublul celeilalte) sau se află la o distanță dată: notezi abscisa cu o literă și scrii ordonata cu ajutorul funcției.

Greșeli frecvente la graficul unei funcții

Unești punctele graficului unei funcții definite pe o mulțime finită. Dacă domeniul este ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ , funcția nu are valori între aceste numere. Graficul este format doar din puncte izolate.
Inversezi coordonatele la testul de apartenență. Pentru $M (a, b)$ calculezi $f (a)$ , funcția în ABSCISĂ, și compari cu ordonata $b$ . Nu calculezi $f (b)$ .
La funcția cu ramuri, alegi ramura după ordonată. Ramura se alege după abscisa punctului, din condiția scrisă lângă fiecare formulă. Altfel poți „confirma” un punct care nu este pe grafic.

Exersează : graficul unei funcții

Fișă de lucru: Exerciții care folosesc noțiunea de punct de pe grafic, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Funcții, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Exerciții cu punct de pe graficclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre graficul unei funcții

Graficul unei funcții este întotdeauna o dreaptă?

Nu. Graficul unei funcții de forma $a x + b$ , definite pe $ℝ$ , este o dreaptă. Pe o mulțime finită, graficul este format din puncte izolate, iar pentru alte formule, cum ar fi $x^{2}$ , punctele nu stau pe o dreaptă.

Cum verific rapid dacă un desen poate fi graficul unei funcții?

Te uiți dacă există două puncte unul deasupra celuilalt, adică cu aceeași abscisă. Dacă există, desenul nu este graficul unei funcții, pentru că un $x$ ar avea două valori.

Care este diferența dintre „graficul” și „reprezentarea geometrică a graficului”?

Graficul este mulțimea de perechi $(x, f (x))$ , adică un obiect scris cu numere. Reprezentarea geometrică este desenul acestor perechi ca puncte în sistemul de axe $x O y$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele definiții descrie corect graficul unei funcții $f : A \to B$ ?
2. Fie funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = 2 x - 1$ . Care dintre punctele de mai jos aparține graficului funcției $f$ ?
3. Graficul unei funcții $f : ℝ \to ℝ$ este reprezentat geometric în planul $x O y$ . Ce condiție trebuie să îndeplinească o dreaptă verticală față de acest grafic?
4. Care dintre următoarele mulțimi de puncte din plan NU poate fi graficul unei funcții?
5. Fie $f : {1, 2, 3} \to ℝ$ , $f (1) = 4$ , $f (2) = 0$ , $f (3) = - 2$ . Câte puncte are graficul acestei funcții?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 7 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULARE: enunț, demonstrații și aplicații - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

FUNCȚIA MATEMATICĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

FUNCȚIA LINIARĂ f(x) = ax + b, graficul și rolul lui a și b - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

INTERSECȚIA GRAFICELOR A DOUĂ FUNCȚII și intersecția cu axele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

ARIA LATERALĂ, ARIA TOTALĂ ȘI VOLUMUL CONULUI circular drept - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună