de Echipa Școala Virtuală21 iulie 2026

Metoda comparației — cum rezolvi sisteme fără să greșești

Q: Ce fac dacă îmi iese o egalitate de tipul 0 = 0 sau 3 = 5?

Dacă obții 0=0 , sistemul are o infinitate de soluții — ecuațiile sunt de fapt aceeași dreaptă. Dacă obții o contradicție de tipul 3=5 , sistemul nu are soluții — dreptele sunt paralele. Niciuna nu înseamnă că ai greșit calculele, ci că sistemul are o natură specială.

Ai în față un sistem de două ecuații și te uiți la el ca la un puzzle cu prea multe piese. Știi că trebuie să afli x și y, dar de unde începi? Metoda comparației e una dintre cele mai logice căi — și, odată ce înțelegi ideea din spatele ei, n-o mai uiți. Practic, faci un lucru simplu: exprimi aceeași necunoscută din ambele ecuații, apoi pui expresiile față în față. Ca și când ai zice: „Dacă amândouă sunt egale cu același lucru, atunci sunt egale între ele." Sună logic, nu? E pentru că este logic. Nu e un truc magic, nu e o regulă inventată să te încurce — e o consecință directă a cum funcționează egalitățile. Hai să vedem cum merge asta concret, pas cu pas.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege logica din spatele metodei comparației — nu doar pașii
Vei ști să exprimi o necunoscută din fiecare ecuație a unui sistem
Vei ști să rezolvi un sistem complet folosind metoda comparației
Vei recunoaște greșelile cele mai frecvente și vei ști cum să le eviți

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, metoda comparației

Un sistem de ecuații are două ecuații și două necunoscute — de obicei $x$ și $y$ . Ideea metodei comparației e să „scapi" de una dintre necunoscute comparând două expresii echivalente. Concret: din prima ecuație, exprimi $y$ în funcție de $x$ . Din a doua ecuație, faci același lucru — exprimi tot $y$ în funcție de $x$ . Acum ai două expresii care sunt ambele egale cu $y$ . Deci... sunt egale între ele. Scrii egalitatea, rezolvi ecuația cu o singură necunoscută care rezultă, și gata — ai găsit $x$ . Apoi îl înlocuiești și găsești $y$ . E ca și când doi prieteni îți spun amândoi cât costă același produs — dacă spun sume diferite, ceva e greșit. Dacă spun același lucru, ai răspunsul.

💡 Regula de bază

Exprimi aceeași necunoscută din ambele ecuații ale sistemului, obții două expresii egale cu ea, le pui egale între ele și rezolvi ecuația rezultată. Dacă din prima ecuație $y = A$ și din a doua $y = B$ , atunci $A = B$ — aceasta e comparația.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda comparației: ${\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{matrix}$

🔢 Rezolvare

Pasul 1. Exprimăm $y$ din prima ecuație:

2 x + y = 7 ⟹ y = 7 - 2 x

Pasul 2. Exprimăm $y$ din a doua ecuație:

x - y = 2 ⟹ y = x - 2

Pasul 3. Comparăm — ambele expresii sunt egale cu $y$ , deci sunt egale între ele:

7 - 2 x = x - 2

Pasul 4. Rezolvăm ecuația în $x$ :

7 + 2 = x + 2 x

9 = 3 x

x = 3

Pasul 5. Înlocuim $x = 3$ în una dintre expresiile pentru $y$ :

y = x - 2 = 3 - 2 = 1

Răspuns:

x = 3, y = 1

✅ Explicație

Cheia e în pasul 3: nu am inventat nimic, am folosit doar faptul că ambele expresii valorează același lucru — pe $y$ . De acolo, totul devine o ecuație simplă cu o singură necunoscută. La final, am înlocuit în expresia mai simplă — din ecuația a doua — ca să evit calculele inutile. Poți verifica oricând: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ ✓ și $3 - 1 = 2$ ✓.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Exprimi $y$ din prima ecuație și $x$ din a doua — necunoscute diferite — și le pui egale între ele. Asta nu are nicio logică matematică: nu poți compara mere cu portocale.

✅ Corect: Alegi o singură necunoscută — fie $x$ , fie $y$ — și o exprimi din ambele ecuații. Abia apoi compari cele două expresii. Aceeași necunoscută, din ambele părți.

❌ Greșeala #2: După ce găsești $x$ , uiți să calculezi și $y$ — sau îl calculezi, dar nu verifici în ambele ecuații. Se întâmplă mai des decât crezi, mai ales când ești grăbit. Eu am pățit-o.

✅ Corect: Înlocuiește valoarea găsită în una dintre expresiile pentru $y$ și verifică perechea $(x, y)$ în ambele ecuații originale. Dacă ambele sunt adevărate, ai rezolvat corect.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Rezolvați prin metoda comparației: ${\begin{matrix} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{matrix}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1. Exprimăm $y$ din prima ecuație:

x + y = 5 \Rightarrow y = 5 - x

Pasul 2. Exprimăm $y$ din a doua ecuație:

x - y = 1 \Rightarrow y = x - 1

Pasul 3. Comparăm, ambele expresii sunt egale cu $y$ :

5 - x = x - 1

Pasul 4. Rezolvăm ecuația în $x$ :

5 + 1 = x + x \Rightarrow 6 = 2 x \Rightarrow x = 3

Pasul 5. Înlocuim în $y = x - 1$ :

y = 3 - 1 = 2

Verificare: $3 + 2 = 5$ și $3 - 2 = 1$ , ambele adevărate.

Răspuns: $x = 3, y = 2$

Exercițiul 2. Rezolvați prin metoda comparației: ${\begin{matrix} 3 x + y = 10 \\ x + 2 y = 5 \end{matrix}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1. Exprimăm $y$ din prima ecuație:

3 x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - 3 x

Pasul 2. Exprimăm $y$ din a doua ecuație:

x + 2 y = 5 \Rightarrow 2 y = 5 - x \Rightarrow y = \frac{5 - x}{2}

Pasul 3. Comparăm cele două expresii pentru $y$ :

10 - 3 x = \frac{5 - x}{2}

Pasul 4. Înmulțim ambele părți cu 2, ca să scăpăm de fracție, apoi rezolvăm:

20 - 6 x = 5 - x \Rightarrow 20 - 5 = 6 x - x \Rightarrow 15 = 5 x \Rightarrow x = 3

Pasul 5. Înlocuim în $y = 10 - 3 x$ :

y = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1

Verificare: $3 \cdot 3 + 1 = 10$ și $3 + 2 \cdot 1 = 5$ , ambele adevărate.

Răspuns: $x = 3, y = 1$

Exercițiul 3. Rezolvați prin metoda comparației: ${\begin{matrix} 2 x - 3 y = 8 \\ 5 x + y = 3 \end{matrix}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1. Exprimăm $y$ din a doua ecuație (are coeficientul 1, e mai simplu):

5 x + y = 3 \Rightarrow y = 3 - 5 x

Pasul 2. Exprimăm $y$ din prima ecuație:

2 x - 3 y = 8 \Rightarrow - 3 y = 8 - 2 x \Rightarrow y = \frac{2 x - 8}{3}

Pasul 3. Comparăm cele două expresii pentru $y$ :

3 - 5 x = \frac{2 x - 8}{3}

Pasul 4. Înmulțim ambele părți cu 3, apoi rezolvăm:

9 - 15 x = 2 x - 8 \Rightarrow 9 + 8 = 2 x + 15 x \Rightarrow 17 = 17 x \Rightarrow x = 1

Pasul 5. Înlocuim în $y = 3 - 5 x$ :

y = 3 - 5 \cdot 1 = 3 - 5 = - 2

Verificare: $2 \cdot 1 - 3 \cdot (- 2) = 2 + 6 = 8$ și $5 \cdot 1 + (- 2) = 3$ , ambele adevărate.

Răspuns: $x = 1, y = - 2$

Exercițiul 4. Rezolvați prin metoda comparației: ${\begin{matrix} 4 x + 2 y = 10 \\ 3 x - y = 5 \end{matrix}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1. Exprimăm $y$ din a doua ecuație:

3 x - y = 5 \Rightarrow y = 3 x - 5

Pasul 2. Exprimăm $y$ din prima ecuație:

4 x + 2 y = 10 \Rightarrow 2 y = 10 - 4 x \Rightarrow y = 5 - 2 x

Pasul 3. Comparăm:

3 x - 5 = 5 - 2 x

Pasul 4. Rezolvăm ecuația în $x$ :

3 x + 2 x = 5 + 5 \Rightarrow 5 x = 10 \Rightarrow x = 2

Pasul 5. Înlocuim în $y = 3 x - 5$ :

y = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1

Verificare: $4 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 10$ și $3 \cdot 2 - 1 = 5$ , ambele adevărate.

Răspuns: $x = 2, y = 1$

Exercițiul 5. Provocare: Rezolvați prin metoda comparației: ${\begin{matrix} 2 (x + y) = 16 \\ 3 x - 2 y = 4 \end{matrix}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1. Prima ecuație are o paranteză, o desfacem întâi și simplificăm:

2 (x + y) = 16 \Rightarrow 2 x + 2 y = 16 \Rightarrow x + y = 8 \Rightarrow y = 8 - x

Pasul 2. Exprimăm $y$ din a doua ecuație:

3 x - 2 y = 4 \Rightarrow - 2 y = 4 - 3 x \Rightarrow y = \frac{3 x - 4}{2}

Pasul 3. Comparăm:

8 - x = \frac{3 x - 4}{2}

Pasul 4. Înmulțim ambele părți cu 2, apoi rezolvăm:

16 - 2 x = 3 x - 4 \Rightarrow 16 + 4 = 3 x + 2 x \Rightarrow 20 = 5 x \Rightarrow x = 4

Pasul 5. Înlocuim în $y = 8 - x$ :

y = 8 - 4 = 4

Pasul suplimentar față de exercițiile anterioare e desfacerea parantezei, la un sistem cu paranteze, simplifică mereu complet fiecare ecuație înainte să exprimi o necunoscută. Verificare: $2 (4 + 4) = 16$ și $3 \cdot 4 - 2 \cdot 4 = 4$ , ambele adevărate.

Răspuns: $x = 4, y = 4$

Întrebări frecvente

Cum știu ce necunoscută să exprim mai întâi?

Uită-te la coeficienți. Dacă una dintre necunoscute apare cu coeficientul 1 în cel puțin o ecuație — de exemplu, simplu $y$ fără nimic în față — e mai ușor s-o exprimi pe aceea. Calculele vor fi mai scurte și riscul de greșeală mai mic. Nu e o regulă fixă, e doar o alegere practică.

Metoda comparației e mai grea decât substituția?

De fapt, sunt aproape identice ca logică. La substituție, exprimi o necunoscută și o înlocuiești direct. La comparație, exprimi aceeași necunoscută din ambele ecuații și le egalezi. Unii elevi găsesc comparația mai vizuală tocmai pentru că pui față în față două expresii — e mai clar de unde vine egalitatea.

Ce fac dacă îmi iese o egalitate de tipul 0 = 0 sau 3 = 5?

Dacă obții $0 = 0$ , sistemul are o infinitate de soluții — ecuațiile sunt de fapt aceeași dreaptă. Dacă obții o contradicție de tipul $3 = 5$ , sistemul nu are soluții — dreptele sunt paralele. Niciuna nu înseamnă că ai greșit calculele, ci că sistemul are o natură specială.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 2. Metoda comparației.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună